垂直渐近线怎么求

垂直渐近线怎么求

-闪烁的小星星简谱

2023年2月15日发(作者：法定代表人授权书)

第１７卷第２期

２０１５年２月

天津职业院校联合学报

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｉａｎｊ ｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｓ

Ｎｏ．２ Ｖｏ１．１７

Ｆｅｂ．２０１５

渐近线问题研究

董春芳，石德刚

（天津冶金职业技术学院，天津 ３００４００）

摘要： 现今高等数学、数学分析教材中关于渐近线内容的研讨不尽完善，比较含糊，存在欠缺．为此，本文完善

了渐近线的定义，依据本文给出的渐近线的定义求函数曲线的渐近线时，不会丢失渐近线．同时，本文对函数曲线与

其渐近线的交点、函数的无穷间断点与函数曲线的垂直渐近线的关系、函数曲线的水平渐近线和斜渐近线的关系进

行了系统的研讨．本文阐明了求函数曲线的渐近线的步骤和方法，指出不用斜渐近线的系数公式可以直接用斜渐近

线的定义，将求斜渐近线的系数转化成求含有参数的极限．

关键词： 垂直渐近线；水平渐近线；斜渐近线；交点；无穷间断点；系数公式

中图分类号：Ｏ１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—５８２Ｘ（２０１５）０２—００９３—０４

渐近线是高等数学中一个重要概念，函数曲线的渐近线对确定函数曲线的走向、形状有着非常重要的

意义．若一条函数曲线存在渐近线，求出该函数曲线的渐近线就可以知道这条函数曲线无限延伸时的走向

及变化趋势，进而可以更加全面和更加细致地研究函数曲线的性态．同时，研讨函数曲线的渐近线对函数

极限概念的进一步理解也是很有帮助的．

一

、垂直渐近线

定义１若ｌｉｍｆ（ｘ）一ｏｏ（土ＯＯ）或ｌｉｍｆ（ｘ）一＋∞（一∞）或ｌｉｍｆ（ｚ）：＋Ｏ０（一Ｏ０），则称直线 一面

为曲线Ｙ一＿厂（ｚ）的垂直渐近线．

ｒ ， 三三＝０

例 直线ｚ—ｏ是曲线Ｙ一 、 一亩、 一亩和 一 。ｇ： ｎ＞ｏＸ 且口≠ 及 一１ ， ＜０ｌ Ｚ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ一．ｚ＜【Ｊ

Ｊ ｚ，ｚ三三三０ ｆｌｏｇ：（０＜口＜１），Ｘ＞０ ｆｌｏｇ：（ａ＞１）， ＞０

、

一１一 ，ｚ＜。、 一１ ， ｚ＜。、 一 一丢， ｚ＜。的垂直渐近线。直线

一要是曲线Ｙ：ｔａｎｘ的垂直渐近线．

曲线Ｙ一厂（ ）可能有无数条垂直渐近线．例如，直线ｚ一 ＋ （忌∈ｚ）都是曲线ｙ—ｔａｎｘ的垂直

渐近线．

ｒ－ｚ，ｚ Ｏ

曲线与其垂直渐近线可能有一个交点。例如，曲线，（ｚ）一｛ ，ｚ＜ｏ与其垂直渐近线ｚ—ｏ交于点

（０，０）．

由函数Ｙ—ｆ（ｘ）的无穷间断点的定义知，在函数Ｙ一，（ｚ）的无穷间断点处，曲线Ｙ一厂（ｚ）一定存

收稿日期：２０１４—１１—１１

作者简介：董春芳（１９８２一），女，天津人，讲师，研究生在读，研究方向：数学与应用数学；石德刚（１９６０一），

男，天津人，副教授，本科，教研室主任，研究方向：高等数学教学研究。

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在垂直渐近线．但是曲线Ｙ—ｆ（ｘ）的垂直渐近线并不一定出现在函数 —ｆ（ ）的无穷间断点处．例如，

曲线Ｙ—ｌｎｘ在函数 —ｌｎｘ定义区间（０，＋∞）的端点ｚ一０处有垂直渐近线ｚ一０．但是点 一０并不

是函数Ｙ—ｌｎｘ的间断点．因为此时，在点ｚ一０的左侧，函数Ｙ—ｌｎｘ无定义．

二、水平渐近线

定义２若ｌｉｍｆ（ｘ）一Ａ或ｌｉｒａｆ（ｚ）：Ａ或ｌｉｒａｆ（ｘ）一Ａ，则称直线 —Ａ为曲线Ｙ—ｆ（ｚ）的水平

渐近线．

曲线 一厂（ｚ）若有水平渐近线，则最多有两条水平渐近线．

例２直线 一０是曲线Ｙ一 和Ｙ—ａ （ｎ＞０且＆≠１）的水平渐近线。曲线Ｙ—ａｒｃｔａｎｘ有两条

水平渐近线Ｙ一鲁和Ｙ一一鲁．

当曲线Ｙ—ｆ（ｘ）以直线 —Ａ为水平渐近线时，曲线Ｙ—ｆ（ｘ）既可以从直线Ｙ－二Ａ的上方趋近于

直线Ｙ—Ａ，也可以从直线Ｙ—Ａ的下方趋近于直线 —Ａ，还可以直线 一Ａ的上、下两方交错地趋近

于直线 —Ａ．

曲线Ｙ一＿厂（ｚ）与它的水平渐近线Ｙ—Ａ可能没交点，也可能有一个乃至有多个交点，甚至可能有无

ｆｚ，ｚ ０

穷多个交点・例如，曲线厂（ｚ）一｛ ， ＜０与其水平渐近线 —ｏ交于点（０，０）；曲线ｆ（ ）一

１．ｚ

ｆｓｉｎｘ，ｚ ０

｛ ，ｚ＜０ 与其水平渐近线 一０交于点（ ，ｏ）（忌∈Ｎ）・

【ｚ

三、斜渐近线

定义３若ｌｉｒａ［＿厂（ ）一（甜＋ｂ）］一０（ｎ≠０）或ｌｉｒａ［厂（ｚ）一（衄＋ｂ）］一０（“≠０）或

ｌｉｍ［，（ｚ）一（甜＋ｂ）］：０（ｎ≠０），则称直线Ｙ—ａｓｃ十ｂ（ａ≠０）为曲线 一厂（ ）的斜渐近线．

由ｌｉｍＥｆ（ｚ）一（ａｚ＋６）］一０与具有极限的函数与无穷小的关系得厂（ｚ）一（甜＋ｂ）一０＋ａ（其中

ｌｉｍ 一０）从而有－厂（ｚ）一衄一６＋ ， 一ａ＋ｂ ＋ ．

对上面两式取ｚ一∞时的极限，并用极限的四则运算法则与无穷小的代数性质得求斜渐近线的系数

公式ａ—ｌｉｍ ，ｂ—ｌｉｍＥｆ（ｚ）一 ］．

曲线 —ｆ（ｘ）若有斜渐近线，则最多有两条斜渐近线．

综上所述，求曲线 一ｆ（ｘ）的渐近线的步骤如下：

１．求出函数 —ｆ（ｘ）的定义域。

２．根据定义域的不同情况，结合函数 一厂（ ）的极限，确定曲线Ｙ—ｆ（ｘ）的渐近线．

（１）在函数 —ｆ（ｘ）的无穷间断点处，曲线 一＿厂（ ）存在垂直渐近线．

（２）若函数Ｙ—ｆ（ｘ）在定义域（一∞，＋∞）上连续，则曲线Ｙ—ｆ（ｘ）不存在垂直渐近线．

（３）若函数Ｙ—ｆ（ｘ）的定义域为有限区间或有限区间的并及无限区间或无限区间的并，考察函数Ｙ

ｆ（ｘ）在有限区间的端点处及无限区间的有限端点处的左极限或右极限，若函数Ｙ—ｆ（ ）趋于无穷大

或正无穷大或负无穷大，则在该有限端点处曲线 一厂（－ｚ）存在垂直渐近线．

（４）若函数 一，（ｚ）的定义域为有限区间或有限区间的并，则曲线 —ｆ（ｘ）不存在水平渐近线和

斜渐近线．

（５）若函数Ｙ—ｆ（ｘ）的定义域为无限区间或无限区间的并，考察当 一一∞时和当ｚ一＋∞时函数Ｙ

—ｆ（ｚ）的极限：１若函数 ＝ｆ（ｓｃ）的两个极限都存在并且相等，则曲线Ｙ一 （．２Ｃ）存在一条水平渐近

线；２若函数Ｙ—ｆ（ｘ）的两个极限都存在但是不相等，则曲线Ｙ一－厂（ｚ）存在两条水平渐近线；３若函数Ｙ

—ｆ（ｘ）的一个极限存在，则曲线Ｙ—ｆ（ｘ）存在一条水平渐近线；４若函数Ｙ一 （－ｚ）的两个极限都不存

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在，则曲线Ｙ一／‘（ ）不存在水平渐近线；５若函数Ｙ一／。（ｚ）的两个极限或一个极限趋于无穷大或正无穷

大或负无穷大，则需要进一步考察曲线Ｙ—ｆ（ｘ）在该方向上是否存在斜渐近线．

例３求曲线Ｙ—ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ的渐近线．

解由函数Ｙ—ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ在定义域（一ｏ。，＋Ｏ０）上连续知，曲线Ｙ—ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ不存在垂直渐近线．

由

…

ｌｉｍ（ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ） ∞知，曲线Ｙ—ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ不存在水平渐近线・

由函数Ｙ—ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ中含有函数ａｒｃｔａｎｘ，且ｌｉｒａａｒｃｔａｎｘ—一旦９、ｌｉｍａｒｃｔａｎｘ一要知，应分ｚ一一

一∞ …十∞

Ｏ０和 一＋ｏ。两种情形求曲线Ｙ—ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ的斜渐近线．

口 一ｌｉｍ 譬 一ｌｉｍ＿ｘ＋ａｒｃｔａｎｘ一１，６ 一ｌｉｍ Ｆｆ（ｚ）一口 ｚ］一ｌｉｍ［（ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ）一 ］＝一号．

…． 一∞ Ｌ 一∞ 一

同理可得ａｚ一 一１、６ｚ一 ｌ

—ｉｍ ｍｆ（ｘ）一ｎｚｚ］一号． — 十∞ 一十∞

所以，当ｚ一一∞时，曲线 —ｚ＋ａｒｃｔａｎｘ的斜渐近线为直线 —ｚ一詈；当ｚ一＋∞时，曲线３，一ｚ

＋ａｒｃｔａｎｘ的斜渐近线为直线Ｙ—ｚ十要．

若忘记了求斜渐近线的系数公式，可以直接用斜渐近线的定义，将求斜渐近线的系数转化成求含有参

数的极限．下面以例３为例予以说明：

由 １ ｉｍ

＋ Ｉｆ（ｘ）一（ａｚｚ＋ｂｚ）］一 ［（ｚ＋ａｒｃｔａｎｚ）一（ａ２ｚ＋ｂｚ）］（∞一∞型不定式，令￡一专

一 ［（÷＋叭ｔ ｎ÷）一（。 了１＋ ）］一 兰 一。和 一。知，

（１＋ｔａｒｃｔａｎ １￡一ａｚ—ｂ２ｔ）一１一ｎｚ—ｏ ａｚ一１，进而有

。一 ｌ

—ｉｍ Ｉｆ（ｚ）一（ａ２ｘ＋６ｚ）］一 （ａｒｃｔａｎ １￡一６ｚ）一号一６ｚ ６ｚ一号．

同理可得ａｌ一１、ｂ 一号．

所以，当．ｚ一－－ｏ０时，曲线Ｙ： ＋ａｒｃｔａｎｘ的斜渐近线为直线Ｙ—ｚ一詈；当 一＋ｏ。时，曲线．），一ｚ

＋ａｒｃｔａｎｘ的斜渐近线为直线Ｙ— ＋ ．

由水平渐近线和斜渐近线的定义知，在同一方向上（ｚ一一∞或ｚ一＋∞或ｚ一∞），曲线Ｙ：厂（ｚ）不

可能同时存在水平渐近线和斜渐近线，但是在不同方向上，曲线Ｙ＝厂（ ）可以同时存在水平渐近线和斜

渐近线．

例４求曲线 一 ＋Ｉｎ（１＋矿）的渐近线．

解函数Ｙ：１

ｚ

＋１ｎ（１＋ｅｘ）的定义域为（一ｏ。，０）Ｕ（Ｏ，＋ｏｏ）．

由ｌｉｍｌ ＋Ｉｎ（１＋Ｐ ）ｌ—Ｏ０知，直线Ｘ一０为曲线Ｙ一÷＋Ｉｎ（１＋ｅ ）的垂直渐近线．

ｚ ０ Ｉ－ｚ Ｉ

由ｌｉｍ 一。与函数Ｙ一１＋１ｎ（１＋ｅｘ）中含有函数ｅ 及ｌｉｍｅ 一ｏ

、ｌｉｍ 一＋∞知，应分 一一∞

和ｚ一＋。。两种情形求曲线Ｙ一１ ｑ－Ｉｎ（１＋ｅｘ）的水平渐近线和斜渐近线．

由ｌｉｒａ ｌ ＋ｌｎ（１＋Ｐ ）ｌ一０知，当ｚ一一∞时，直线Ｙ一０为曲线Ｙ一＿＝＿１＋Ｉｎ（１＋Ｐ ）的水平渐近

一∞Ｉ ｌ 一

线．

由ａ 一 ［ ．３５＋ 一＋∞ Ｚ 一＋∞Ｌ １ｎ（１＋ｅ ） ］一 ｌｉｍ １ｎ（１＋ｅ ）一 一

和ｂ—ｌｉｍ［，（－ｚ）一衄］＝ｌｉ ｌ÷＋ｌｎ（１＋ｅ ）一ｚ ｌ— ！ Ｅｌｎ（１＋矿）一 ］

一＋∞ 一十 １＾ Ｊ —Ｔ

：ｌｉｍ Ｅ１ｎｅ （１＋ｅ－ｘ）一ｚ］一１ｉｍ［１ｎｅ ＋Ｉｎ（１＋Ｐ一）一ｚ］一ｌｉｍｌｎ（１＋ｅ一）一。知，当ｚ一十Ｏ０时，

＋∞ 一十∞ …

直线 ＝ｚ为曲线 一１

ｚ

＋１ｎ（１＋ ）的斜渐近线

参考文献：

Ｅｌｉ张会凌，李忠义．轨迹与方程［Ｍ］．兰州：兰州大学出版社，１９９６．

［２３梅向明，刘增贤，门树慧．高等几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８．

Ｅ３］李晓萍．平面曲线的切线与渐近线［Ｉ］．工科数学，２０００，（ｏ６）．

［４］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３

［５］吴纪桃，漆毅．高等数学［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００６．

Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｌｉｎｅ

ＤＯＮＧ Ｃｈｕｎ—ｆａｎｇ，ＳＨＩ Ｄｅ—ｇａｎｇ

（Ｔｉａｎｊｉｎ Ｍｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ，３００４００）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｌｉｎｅ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ａｄｖａｎｃｅｄ ｍａｔｈ ｍａｔｅｒｉａｌ ａｎｄ ｍａｔｈ ａｎａｌｙｓｉｓ

ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ，ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｐｅｒｆｅｃｔ，ａｍｂｉｇｕｏｕｓ ａｎｄ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｔｒｉｅｓ ｔＯ

ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｌｉｎｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｂｅ ｌｏｓｔ ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｔｏ

ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｌｉｎｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｍａｄｅ ｏｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ａｓｐｅｃｔｓ—ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｌｉｎｅ，ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ

ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｖｅｒｔｉｃａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ，ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ

ａｓｙｍｐｔｏｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｏｂｌｉｑｕｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｓｔｅｐｓ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ

ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｌｉｎｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ．Ｉｔ ａｌｓｏ ｓｔａｔｅｓ ｔｈａｔ，ｂｙ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｓｉｎｇ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｏｂｌｉｑｕｅ ａｓ—

ｙｍｐｔｏｔｅ ｏｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｏｂｌｉｑｕｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ，ｗｅ ｃａｎ ｆｉｎｄ ｌｉｍｉｔ ｗｉｔｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｔｈｅｒ

ｔｈａｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｏｂｌｉｑｕｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｅｒｔｉｃａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ；ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ；ｏｂｌｉｑｕｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｅ；ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ；

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒｍｕｌａ

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