求函数定义域

求函数定义域

-锦官新城

2023年2月14日发(作者：障碍跑教案)

1

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=xtan中

2



kx；y=xcot中x≠kπ等等。

(6)0x中x0

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：

（1）直接法

（2）图象法（数形结合）

（3）函数单调性法

（4）配方法

（5）换元法（包括三角换元）

（6）反函数法（逆求法）

（7）分离常数法

（8）判别式法

（9）复合函数法

（10）不等式法

（11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析

1、定义域问题

例1求下列函数的定义域：

①

2

1

)(





x

xf；②23)(xxf；③

x

xxf





2

1

1)(

2

例2求下列函数的定义域：

①

14)(2xxf

②

21

43

)(

2







x

xx

xf

②

)(xf

x

1

1

1

1

1





④

xx

x

xf







0)1(

)(

⑤

373

1

32





x

xy

例3若函数

a

axaxy

1

2的定义域是R，求实数a的取值范围

例4若函数

)(xfy

的定义域为[1，1]，求函数)

4

1

(xfy)

4

1

(xf的定义

域

3

例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

练习：设

)(xf

的定义域是[3，2]，求函数

)2(xf

的定义域

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。

2,

2

5

）

练习：

已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

4

若yfx

的定义域是0,2，则函数121fxfx

的定义域是

（）

Ａ．1,1

Ｂ















2

1

,

2

1

Ｃ．













1,

2

1

Ｄ．

1

0,

2







已知函数

1

1

x

fx

x







的定义域为Ａ，函数yffx





的定义域为Ｂ，则

（）

Ａ．

ABB

Ｂ．B

A

Ｃ．

ABB

Ｄ．

AB

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a



0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数)0(k

x

k

y的定义域为{x|x



0}，值域为{y|y



0}；

二次函数

)0()(2acbxaxxf

的定义域为R，

当a>0时，值域为{

a

bac

yy

4

)4(

|

2



}；当a<0时，值域为{

a

bac

yy

4

)4(

|

2



}.

例1求下列函数的值域

①y=3x+2(-1x1)②

）（3x1

x3

2

)(xf

③

x

xy

1

（记住图像）

例2求下列函数的最大值、最小值与值域：

5

①

142xxy

；②

]4,3[,142xxxy

；

③

]1,0[,142xxxy

；④

]5,0[,142xxxy

；

练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

2、求函数5,0,522xxxy

的值域

例3求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

例4求函数xxy12的值域

练习：求函数y=√x-1–x的值域。

6

例5（选）求函数

xxy53

的值域

例6（选不要求）求函数21xxy

的值域

小结：（1）若题目中含有1a，则可设

)0,cos(

22

,sin







aa或设

（2）若题目中含有

122ba

则

sin,cosba

，其中

20

（3）若题目中含有21x，则可设

cosx，其中

0

（4）若题目中含有21x，则可设

tanx，其中

22









（5）若题目中含有

)0,0,0(ryxryx

，则可设

22sin,cosryrx

其中















2

,0





例7求13xxy的值域

例8求函数)1,0(239xyxx的值域

7

例9求函数

xx

y

22

3

1















的值域

例10求函数

)0(2xyx的值域

例11求函数

2

1







x

x

y的值域

例12求函数

13

3





x

x

y的值域

8

练习：y=

12

12





x

x

；（y∈(-1，1)）.



例13函数

1

1

2

2







x

x

y

的值域

例14求函数

342

5

2



xx

y的值域

例15函数1

1



x

xy的值域

例16(选)求函数)1(

1

222







x

x

xx

y的值域

例17（选）求函数)22(

1

222







x

x

xx

y的值域

9

练习：

1、

)0(9

1

2

2x

x

xy

；

2、

342

5

2



xx

y

3、求函数的值域

①

xxy2

；②242xxy

4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

5、求函数xxy142的值域

6、（选）求函数

6

65

2

2







xx

xx

y

的值域