函数值域的求法
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2023年2月14日发(作者：长高秘诀)-1-
求函数值域的解题方法总结（16种）
在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
一、观察法：
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例:求函数x323y的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出x3-2的值域。
解：由算术平方根的性质知0x3-2，故3x3-23。
点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值
的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数
的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。
练习：求函数5x0xy的值域。（答案：5,4,3,2,1,0
）
二、反函数法：
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例：求函数
2x
1x
y
的值域。
点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数
2x
1x
y
的反函数为：
y
y
1
12
x，其定义域为
1y
的实数，
故函数y的值域为Ry1,y|y
。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这
种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数
x-x
-xx
1010
1010
y
的值域。（答案：1y1-y|y或
）。
三、配方法：
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函
数的值域。
例：求函数2xx-y2的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由02xx-2可知函数的定义域为2x1-|x
。此时2xx-2=
-2-
4
9
2
1
-x-
2
2
3
2xx-02
，即原函数的值域为
2
3
y0|y
点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域
对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：
x4-155-x2y
的值域。（答案：3y|y
）
四、判别式法：
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数
的值域。
例:求函数
2
2(1)
(2)(1)
x
y
xx
的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原
函数的值域。
解：由
2
2(1)
(2)(1)
x
y
xx
=
2
(2)(1)xx
=
2
2
32xx
得
23220yxyxy
∵当
0y
时，-2=0，不成立
当
0y
时，由0，得2(3)4(22)yyy=280yy
∴
8y
或
0y
由于
0y
∴函数
2
2(1)
(2)(1)
x
y
xx
的值域为|80yyy或。
点评：把函数关系化为二次方程0yx，F
，由于方程有实数解，故其判别
式为非负数，可求得函数的值域。常适用于
fexdx
cbxax
y
2
2
及
edxcxbaxy2
。
练习：求函数
2
2
y=
3
x
x
的值域。（答案：33
|
33
yy
）。
五、最值法：
-3-
对于闭区间ba，
上的连续函数xfy
，可以求出xfy
在区间ba，
内
的较值，并与边界bfaf，
作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。
例：已知01xx33-x-x222，且满足
1yx
，求函数
x3xyz
的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可
求出函数的值域。
解：
01xx32
，上述分式不等式与不等式
03-x-x22
同解，解之得
2
3
x1-
，又
1yx
，将y=1-x代入
x3xyz
中，得
2
3
x1-x4-xz2，
42-x-z2
且
2
3
1-x，
，函数z在区间
2
3
1-，
上连续，故只需比较边
界的大小。
当x=-1时，z=-5；当
2
3
x
时，
4
15
z
。
函数z的值域为
4
15
z5-|z
。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也
可通过求值而获得函数的值域。
练习：若
x
为实数，则函数5-x3xy2的值域为()
A.,
B.，7
C.，0
D.，5
(答案：D）
六、单调法:
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例：求函数
x3-1-x4y
的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即x3-1-xg
，xgxfy
其定义域为
3
1
x
，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,x3-1-xg
,(
3
1
x
),易知它们在定义域内为增函数，从而
xgxfy
=x3-1-x4在定义域为
3
1
x
上也为增函数，而且
-4-
3
4
3
1
g
3
1
fy
,因此，所求的函数值域为｛y|y≤
3
4
｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区
间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值
域。
练习：求函数
x-43y
的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形
式，进而求出值域。
例：求函数
1x23-xy
的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，
确定原函数的值域。
解：设
1x2t
（t≥0）,则
2
1-t
x
2
。
于是
2
7
4
2
1
4
2
1t
3-
2
1-t
y
2
2
t
.
所以，原函数的值域为｛y|y≥
2
7
-
｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最
值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它
的应用十分广泛。
练习：求函数
x-1-xy
的值域。（答案：｛y|y≤
4
3
-
｝）
八、构造法:
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例：求函数
8x4-x5x4xy22
的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为2
222x-212xxf
构作一个长为4、宽为3
的矩形ABCD，再切割成12个边长为1的正方形。
设HK=x,则
EK
=2-x,KF=2+x,AK=2
22x-2
,KC=12x2
。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
-5-
点评：对于形如函数bx-caxy2
2
(a,b,c均为正数)，均可通过
构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数459y2
2xx
的值域。（答案：｛y|y≥
25
｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函
数，进而求出原函数的值域。
例：已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数22yxz的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，
k
3
1-y
4
3-x
(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
13k5k3143xz222
22ky
。
当
5
3
-k
时，
5
3
x
,
5
4
-y
时，
1z
min
原函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通
过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，
具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=y-x22的值域。（答案：
｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）。
十、利用多项式的除法
例：求函数
1x
2x3
y
的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：
1x
2x3
y
=
1x
1
-3
。
∵
0
1x
1
，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如
dcx
bax
y
的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数
1-x
1-x2
y
的值域。（答案：y≠2）
十一、不等式法
例：求函数
13
3
y
x
x
的值域。
-6-
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为x-1
x
3
logy
,由对数函数的定义知
0
x-1
x
（1-x≠0）解得，0＜x<1。
函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求
出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
练习：求函数
1-2
2
y
x
x
的值域，（答案：0y1y|y或
）。
十二、图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例:求函数22-x1xy
的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为y=-2x+1(x≤-1)
y=3(-1 y=2x-1(x>2) 画出其图像可得函数值y≥3。 函数值域[3，＋∞]。 点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数 形结合的思想。是解决问题的重要方法。 十三、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例1:求函数 x x e e1 y 的值域。 解：由原函数式可得： 1-y 1y ex ∵ 1 1y y 解得： 1y1- 故所求函数的值域为(-1,1) 例2:求函数 3-sinx cosx y 的值域。 解：由原函数式可得：，可化为： 即 0ex y3xcosxsiny y3)x(xsin1y2 1y y3 )x(xsin 2 -7- ∵ ∴ 即 解得： 故函数的值域为 十四、数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题 目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例1:求函数的值域。 解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例2:求函数的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，， 故所求函数的值域为 例3:求函数的值域。 解：将函数变形为： Rx ]1,1[)x(xsin 1 1y y3 1 2 4 2 y 4 2 4 2 , 4 2 22)8x()2x(y |8x||2x|y )8(B 10|AB||8x||2x|y 10|AB||8x||2x|y ],10[ 5x4x13x6xy22 2222)10()2x()20()3x(y )0,x(P)1,2(B),2,3(A 43)12()23(|AB|y22 min ],43[ 5x4x13x6xy22 2222)10()2x()20()3x(y -8- 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成， 根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两 距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例3的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点 坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。 十五、一一映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一 个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例：求函数的值域。 解：∵定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 十六、多种方法综合运用 例1：求函数的值域。 )1,2(B)0,x(P |BP||AP|y 'P'ABP 26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22 26y26 26|AB|||BP||AP|| ]26,26( )1,2( )1,2( )0c( dcx bax y 1x2 x31 y 2 1 x 2 1 x|x或 1x2 x31 y 3y2 y1 x 2 1 3y2 y1 x 2 1 3y2 y1 x 2 3 y 2 3 y或 , 2 3 2 3 , 3x 2x y -9- 解：令，则 （1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例2：求函数的值域。 解： 令，则 ∴当时， 当时， 此时都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。 )0t(2xt 1t3x2 0t 2 1 t 1 t 1 1t t y 2 1x 2 1 y0 2 1 ,0 42 432 xx21 xxx2x1 y 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21 y 2 2 2 2 x1 x x1 x1 2 tanx 2 2 2 2 cos x1 x1 sin 2 1 x1 x 2 1sin 2 1 sinsin 2 1 cosy22 16 17 4 1 sin 2 4 1 sin 16 17 y max 1sin 2y min 2 tan 16 17 ,2 sin