矩阵的性质
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2023年2月10日发(作者：图像融合)第３６卷第１期 Ｊ
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版
ｕｒａ１ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ
Ｊａｎ．２０１０
ｌ － １
文章编号：ｌ ００３—２８４３（２０１ Ｏ）Ｏ１．００ １ ６－０５
正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵的性质
刘兴祥，黄美愿
（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００）
摘要：Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵在酉空间、酉变换及复二次型中都有很重要的地位．一方面是对称矩阵的自然推广；另一方面它
在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位．文中主要给出正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵子式阵正定性的判定、正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩
阵行列式、迹的多个不等式以及有关Ｈａｄａｍａｒｄ乘积的行列式的不等式，同时也给出正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型的标准型．
关键词：正定胁ｒｍｉｔｅ矩阵；行列式；迹；子式阵；不等式；正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型
中图分类号：Ｏ２４１．６ 文献标识码：Ａ
１ 引言
Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵是在研究酉空间时给出的，与欧几里德空间中实对称矩阵一样，因而也可以说实对称矩阵是
它的特例．Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵与正定矩阵是矩阵理论中比较重要的概念，它们在数学、物理中有许多重要的应用．以
下对正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵若干性质以及正定Ｈｅｒｍｉｔｅ－７欠型的共轭相合标准型进行研究．
在以下文中约定： Ⅳ表示 的共轭转置、 表示 的转置、 表示 的共轭、ｄｅｔＡ表示 的行列式、
ｔｒＡ表示 的迹、，表示单位矩阵、Ｆ７ ”表示数域 上秩为 的ｍ ｘ 阶矩阵、ｃ表示复数域．
２预备知识
定义１ｏ，２１设Ａ∈Ｃ ，Ａ＝Ａ ，则称 为Ｉ＂ｌ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵．如果对任意Ｘ∈Ｃ 且Ｘ≠０，都有
Ｘ爿ＡＸ＞０
，则称 为 阶正定的Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵．
定义２［。 设 为 阶Ｈｅｒｍｉｔｅ阵，ｉｇＸ＝（Ｘｉ，…，Ｘ ） ∈Ｃ ，则称
ｆ（ｘ１，…，Ｘｎ）＝ａｎＸｌＸ１＋ １２Ｘ１Ｘ２＋…＋ａｌｎｘｌｘ．
＋ ｌｘ２ｘＩ＋ａ２２ｘ２Ｘ２＋…＋ ＂ ＋…＋ａ．１ Ｘ１＋ａｎ２ ｘ２＋…＋
＝∑∑口 ，＝ ＡＸ．
为 元Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型，并称 为 元Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型 （ ，…， ）的矩阵，同时称Ａ的秩为，２元
ｆ 二次型 （ ，…， ）的秩．如果对任意ｏ≠ ＝ ，．．．， ∈ ，都有 ， ）＝ ＞０，则称ｆ为
阶正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型．
定义３ 设 ，Ｂ∈Ｃ ”，如果存在Ｐ∈ 有Ｐ Ｐ＝Ｂ，那么就称Ｂ共轭相合于 （也称 与Ｂ共轭
相合）．
定义４设正定的Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型厂（ ）与ｆ（Ｙ）的矩阵分别为 与 ，且存在Ｐ∈ ／４尸：Ｂ，则称
收稿日期：２００９．１２－０５
作者简介：刘兴祥（１９６４．），陕西合阳人，延安大学副教授，研究方向：矩阵理论及其在数学建模中的应用
第１期 刘兴祥等：正定 ｒ ｆ 矩阵的性质 １７
定义５［５ 设Ａ Ｅ Ｆｎ￣ｎ， 的 －１）阶子式ｄｅｔ Ｊ （其中１
１≤ ≤Ｊ２ … Ｊｋ ）作元素构成的 ＝ 阶矩阵称为 的尼阶子式阵，其记做
一 铷
定义６ｔ ＇ｍ 一个满足条件 Ａ＝ＡＡ ＝Ｉ的矩阵 ∈Ｃ…叫做酉矩阵．
定义７Ｉ６１设Ａ．Ｂ∈ｒ ．则称
ａｌｎｂ１
月
，
ｂ，
∈Ｃ ”为 和Ｂ的Ｈａｄａｍａｒｄ积（或ｓｃｈｕｒ积）
引理１【ｊ Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型ｆ（Ｘ）＝ ＡＸ经线性变换 ＝ＣＹ（其中Ｃ∈Ｃ ）仍化成Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型，
且其秩不变．
引理２…设Ａ∈Ｃ ”为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，￣，ｓＪＡ是正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵当且仅当存在Ｐ∈Ｃ 有Ａ＝Ｐ Ｐ．
引理３［ ｊ设Ｐ∈ｃ ，若Ａ∈Ｃ 为正定的Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则Ｐ 尸也为正定的Ｈｅｒｍｉｔｅ￣
阵．
引理４ 设 ∈Ｃ ，则 （ Ⅳ）＝［ （ ）】 ．
引理５【５Ｊ设 ∈ｃ ，则 ＝ ∽ ，且 与 （ ）的可逆性相同．
引理６【６ｊ设 、Ｂ∈Ｃ 为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则Ｂ 的所有特征值是正的．
引理７『ｓ】设 、Ｂ∈Ｃ 为正定的Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则存在酉矩阵Ｐ∈Ｃ ，使得Ｐ Ｐ和Ｐ 剧 同为对
角阵，当且仅当ＡＢ＝ＢＡ．
引理８ （Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式）若实数 ，，Ｙ，非负，且０＜Ｐ＜ｌ，则
月 月
ｊ ［∑（ ，＋Ｙｉ） ］ ［∑ ］ ＋［∑ ］ ．
引理９ 若实数 ，Ｙ 非负，＿Ｒ１≤Ｐ ２，则
∑（＿＋ ）
—生土——————～
∑（一＋ ）
，＝ｌ
∑
∑
Ｊ－—『三Ｌ一
∑Ｙ，
引理１０ 若 、Ｂ∈Ｃ…为正定 沈矩阵，＿Ｒｔｒ（Ａ）＞０，ｔｒ（Ｂ）＞０，则
ｔｒ（Ａ＋Ｂ） ，，ｔｒ（Ａ） 。ｔｒ（Ｂ）
十 ‘
引理１ １【。】对于任何Ａ∈Ｃ 及 ∈Ｒ，均有ｔｒ（ｃ￣Ａ）＝ｃ￣ｔｒ（Ａ）．
引理１２ 剐设 ＝ ），Ｂ＝ ）∈ ＝ｌ，Ｚ．．； 为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ￣，则
ｄｅｔＡｄｅｔＢ ｄｅｔ（Ａ。Ｂ） （１－Ｉ以船）（兀ｂ船）．
＝ｌ ＝Ｉ
３主要结果
３．１正定 ｒｍｉｔｅ二次型
６；６
口
—．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ｌ ＝
ｏ
一
∑
＜一
１８ 西南民族大学学报・自然科学版 第３６卷
定理１ 正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型
．厂（ ＝ ／ 经线性变换 ＝ＣＹ［Ｃ∈Ｃ ］，仍化成正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次
型，且其秩不变．
证明由引理１知ｆ（Ｙ）仍为Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型且其秩不变．又因为
ｆ（ｘ）＝Ｘ ＡＸ＝（ｃＹ） Ａ（ＣＹ）＝】， （Ｃ ＡＣ）Ｙ＝ｆ（Ｙ）
当ｆ（Ｘ）为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型时，由定义２知：对任意 ＝（ ，…， ） ∈Ｃｎ划且 ≠０，都有
ｆ（ｘａ，…， ）＝ ＞Ｏ．而当】，： ，…， ）ｒ∈Ｃ 且】，≠０时，Ｘ＝ＣＹ∈Ｃ ，且 ≠０．
故ｆ（Ｙ）＝（Ｃ】，）ⅣＡ（ＣＹ）＝ ＡＸ＝ｆ（Ｘ）＞０．即ｆ（Ｙ）也为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型．因此当ｆ（Ｘ）为正定
Ｈｅｒｍｉｔｅ 次型时，厂（】，）也为正定Ｈｅｒｍ ｉｔｅ二次型．
定理２正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型厂（ ＝ 都可经过共轭相合变换 ＝ＰＹ，Ｐ∈Ｃ： ，化成共轭相合标准
型ｆ（Ｙ）＝ＹｌＹ１＋Ｙ２Ｙ２＋…＋ ．
证明 由引理２知，存在尸∈Ｃ 有 ＝ Ｐ，即 ： ，＝（ ） ．即存在 ＝Ｑ∈ｃ７， ，使得
Ｉ＝（＝） Ａ（＝）．
一 ～
令Ｘ＝ＱＶ，则＿厂（ ＝ ＝（Ｑ】，） （Ｑ
＝ （ Ｑ）ｙ＝ ∥＝ 】厂＝ＺＺ＋Ｙ２Ｙ２＋…＋
即 ｆ（Ｙ）＝ＹｌＹ１＋Ｙ２Ｙ２＋…＋Ｙ ．
因为每个正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型完全被它的系数矩阵（正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵）所确定，所以研究正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二
次型同研究正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵是相当的．
３．２正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵
定理３共轭相合的两个Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵 与Ｂ有相同的正定性．
证明 由，２阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵 、Ｂ共轭相合可得，存在Ｐ∈ ，使得Ｂ＝Ｐ ＡＰ由引理３可得， 与Ｂ有
相同的正定性．
定理４正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵 的ｋ阶子式阵 （ ）仍为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵．
证明 由于 为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，即Ａ＝Ａ ．故 （Ａ）＝ （ ）＝［ （ ）］爿，再由定义１知： （ ）为
Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵．又因为 为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，所以由引理２知：存在Ｐ∈Ｃ ，使得Ａ＝Ｐ Ｐ．从而
（ ）＝ （ 尸）＝ （ ） （ ＝［ （ ］ （
因此，结合引理４与引理２可得：Ｃ （ ）也为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵．
定理５设 、Ｂ∈Ｃ ”为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则
ｄｅｔ［ｔＡ＋（１一ｆ）Ｂ］ （ｄｅｔ ） （ｄｅｔＢ）卜 ， ∈ｌ ０，ｌ １．
证明 因为 、Ｂ均为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，且，∈ｌ ｏ，１ Ｉ，所以ｔＡ＋（１一ｔ）Ｂ仍为Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵．
从而，ｄｅｔ［ｔＡ＋（１一ｆ）Ｂ］，ｄｅｔＡ，ｄｅｔＢ均为实数，故不等式有意义．
令Ｃ＝Ｂ～Ａ，则由引理６可得：ｃ有正特征值 ， ，…， ．将不等式左边变形为：
ｄｅｔ［Ｂ（ｔＢ。。Ａ＋（１一，），）］＝ｄｅｔ［ｔＣ＋（１一ｔ）Ｉ］
于是不等式等价于：
ｄｅｔ［ｔＣ＋（１一 （ｄｅｔ Ａ） （ｄｅｔ Ｂ ） ∈ｆ０
，１１．
＝［ｄｅｔ（Ｂ ） 】＝（ｄｅｔＣ）
将行列式表示成特征值的乘积可进一步得到等价形式：兀［ ＋（１一ｆ）］ 兀 ，ｆ∈［０，１】・
ｉ＝１ １
为此只须证明， ＋（１一ｆ） ，ｆ∈ｆ０，１１．
第１期 刘兴祥等：正定 ・， ｆ 矩阵的性质 ｌ９
ｃ７ｒ（１）＋（１一Ｏｆ（Ｏ） （ｒ），，∈［ｏ，１］
推论ｌ设 、Ｂ为 阶正定 矩阵，Ｄｉｄｅｔ（ 芒） ．
注释特殊的当，＝ １
，且 －－［ａ］，Ｂ＝［乃］ ，ｂ＞ｏ时，推论１中的不等式变形为：
≥ ， ，ｂ＞ｏ．
（２）
（ ：： ≤ ！垒： ２＋
．
证明 （１）由引理７可得：存在酉矩阵Ｐ∈ ，使得Ａｏ＝Ｐ ＡＰ和 ＝ＰＨＢＰ同为对角阵．记
ｃｏ＝尸 ，则易知： ＋ ＝Ｃｏ ．分别设 ｍ， ，Ｃ０ 对角线上的元素依次为： ．．， ，
，…， ， ，…， ．
由Ａ、Ｂ、Ｃ的正定性知：Ｃｏ酉相似于对角线上元素依次为：（ １） ，…，（ ） 的对角阵．
故（ｔｒＣ） ＝ ） ＝［∑（ ，＋ ，） ］ ．
（ｔｒｃ） ＝ ） ＝【∑（ ，） 】 ≥［∑（ ，） ｒ＋［∑（ ） 】
，
（ｃ ） （ ｃ） ∑
ｉ＝１
（ 十 ）
ｃ
（ （ ＋
” ｍ＋ｌ
（ｃ －、
一
∑
ｉ＝１
（ 。）
ｃ （ ｃ） １
＂ ｍ＋１ ∑（ ＋ ）
—ｆ＿ｌ
一— ———Ｔ
∑（ ＋ ）
ｉ＝１
２０ 西南民族大学学报・自然科学版 第３６卷
∑（ ）ｉ
＜生！
—— Ｆ／ １ ∑（ ）
∑（ Ｂ）
＋ ——Ｔ
ｌ
∑（ ） ：—ｔｒ（Ａ—ｒｅ＋１）
ｌｒＡ ｔｒＢ
定理７设 ＝１，Ｚ 』｝）为 阶正定胁， 矩阵， ∈Ｒ （ｆ－１，２，…， ）为实数，则
喜 ． ｆ＝ｌ ‘ ｆ，
利用引理１０、引理ｌ１及数学归纳法可以证明．
定理８设４∈ （ｆ＝１，２，…， 为正定 ｆ 阵，Ａｉ＝（ａｓ （ ，，＝ｌ，２，…，，２），则
ｋ ｋ Ｉ－Ｉｄｅｔ Ａｉ＜ｄｅｔ（Ａ１。Ａ２…．。Ａｋ）≤兀（兀 ’）．
ｉ＝ｌ ｉ＝ｌ ｊ＝ｌ
利用引理１ ２及数学归纳法可以证明．
４结束语
总之，从正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵出发，探讨了有关正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型的共轭相合标准型、正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵
行列式、迹的多个不等式，以及与共轭相合有关的重要性质．当然，正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵和正定Ｈｅｒｍｉｔｅ二次型在
实际生活中也有着广泛的理论应用，例如在控制论、优化理论、微分方程等，这又有待于进一步的探讨．
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Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ
ＬＩＵ Ｘｉｎｇ—ｘｉａｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｍｅｉ—ｙｕａｎ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙａｈ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｈ’ａｎ ７１６０００，ＲＲ．Ｃ．）
Ａｂｓｔｒａｅｔ：Ｈｅｒｍｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ ｈｏｌｄｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ ｕｎｉｔａｒｙ ｓｐａｃｅ，ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ．
Ｏｎ ｔｈｅ ｏｎｅ ｈａｎｄ．ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｍａｔｒｉｘ；ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ．ｉｔｓ ｒｏｌｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｍａｔｒｉｘ ｉＳ
ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｌｕｒａ１．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ｛ｕｄｇｍｅｎｔ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂ－ｔｙｐｅ ａｒｒａｙ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ
ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ，ｓｅｖｅｒａｌ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ａｎｄ ｔｒａｃｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ，ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ａ
ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ Ｈａｄａｍａｒｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ
Ｈｅｒｍｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；ｔｒａｃｅ；ｓｕｂ—ｔｙｐｅ ａｒｒａｙ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ