2024年2月22日发(作者：)
（第一个资料）
Poincare圆盘模型一个神奇的双曲世界 今年恰逢PKU数学文化节十周年其间开办的很多讲座我都去了。去听讲座的人好像都是数院的我恐怕是唯一一个中文系的。考虑到我和中文系的MM没有共同话题因此每一次听讲座时我都会顺便四处打望看看有没有数院的美女下来可以和她“交谈”一下。有趣的是我的做法与常人所想的恰好相反据说数院的已经盯上中文系的MM了而我一个中文系的竟然反过来去找数院的MM。 昨天有一个关于非欧几何的讲座这是目前所有的讲座中最为精彩的一次。讲座里提到了Poincaré的一个双曲几何模型感觉非常有意思在这里和大家分享一下。 在所有的双曲几何模型中Poincaré的圆盘模型可能是最有趣的一个。这个双曲世界存在于一个有限的平面区域里整个世界限制在一个单位圆的范围内。这个世界中有两个最重要的物理定律一假如某物体X离原点O距离为d那么该物体的温度为1-d^2二物体的大小与温度成正比。这样假如某个人从这个世界的中心走向边缘那么他的温度会从1慢慢变成0同时整个人慢慢变小。他自身大小改变的同时周围的物体也等比例地放大或缩小而这个世界里的人视野有限看不见远处的东西因此他不会觉得自己变小了或者变大了。因此在这个世界里物理学家们能够很轻易地发现第一定律但要发现第二定律则非常具有挑战性探索第二定律的过程必然很曲折并且很可能出现哥白尼时代的故事。 对于我们来说这个世界是有界的但对于这个世界中的人来说这个世界是无穷大的。因为离原点越远人就越小于是相对来说他们所看到的空间也就越大。当人的位置趋于边界时物体大小趋于0此时的空间将变得无穷大因此这个世界中的物体永远无法到达边界。同时离原点越远的话越接近“绝对零度”这将非常不适宜生物的生存因此人们大多居住在原点离原点越远城市规模越小更远的地方则完全没有开发过只适合于疯狂的冒险家进行极限运动。于是这个世界中的物理学家很自然地得到这个结论世界是无穷大的。
下面就神奇了。现在考虑某个人想从A点走到B点。如果按照红色的线段直直地走过去所走的路程并不是最短的因为这条路线离原点较远。聪明的人会发现我先往原点方向走一点然后再到B点去这样走的路程更短一些。我们猜想最短路线很可能是一条偏向于原点的弧线就好像原点把直线段“吸”过去了一样。之所以产生这种奇怪的现象是因为离原点越远物体就越小人的步子也变小了相对来说实际空间就变大了。因此对我们来说距离相等的两点对他们来说离原点越远其实际距离越大。因此我们有必要重新定义这个双曲世界中“距离”的概念。由于物体大小与1-d^2成正比因此我们可以定义如果在离原点距离为d的位置上有一个充分小的位移在我们看来距离为Δx那么在这个世界中的实际距离就是Δx/(1-d^2)。这样就可以算出从A到B的最近路线是一条垂直于边界的圆弧蓝色的那条。于是在这个世界中“直线段”已经不再是我们熟悉的直线段了而是一条条的弧线还包括整个圆的直径。而我们眼中的直线在他们看来就是曲线。
这个世界中的几何满足欧式几何的前面四个公设但不满足第五公设。比如两点确定一条直线因为过两点的圆弧只有一条垂直于这个世界的边界而直线可以无限延长因为离边界越近两点的实际距离越大你永远走不到尽头。但是这个世界不满足第五公设。从图2可以看到过一点可以作无数条直线不与已知直线相交从图3可以看到三角形的内角和小于180度。下面这幅图片可以帮助你更好地理解这个双曲模型。这是该平面上的一个三角形剖分里面的所有三角形都是等边三角形而且所有这些三角形都是一样大的。你可以看到7个等边三角形共用一个顶点这说明三角形的内角和小于180度。 另外值得一提的是这个构想很适合写成一篇科幻小说。记得大刘的那篇科幻吗一群电子器件诞生在某颗星球的内核然后探索物理定律历经重重困难最终冲破了它们那个世界
的“天然外壳”看到了外面的世界并相信我们整个宇宙也处于一个更大的星体内。这个双曲几何模型也很适合写出这样的小说来比如以物理史书的方式叙述从古至今若干个传奇人物的故事讲述他们是如何从一些奇怪的现象出发通过各种试验证明自己的猜想顶住社会各方面的压力执著地探索宇宙的奥秘。小说中的人物可以带着读者一起进行探索最后才告诉读者这个宇宙的本质是什么。
第二个资料
庞加莱圆盘模型
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庞加莱圆盘模型的大斜方截 {3,7} 镶嵌。
双曲圆盘的双曲三角形镶嵌-7-阶三角形镶嵌（order-7 triangular tiling）。
几何中，庞加莱模型（Poincaré disk model），也叫共形圆盘模型（conformal disk
model），是一个 n-维双曲几何模型，这个几何中的点在 n 维圆盘（或球）中，几何中的“直线”（准确地说是测地线）是这个圆盘中垂直于边界的圆周，或圆盘的
直径。庞加莱圆盘模型、克莱因模型以及欧亨尼奥·贝尔特拉米提出的庞加莱半空间模型一起，被贝尔特拉米用来证明双曲几何与欧几里得几何的相容性等价。
目录
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1 距离函数
2 度量形式
3 与双曲面模型的关系
4 过两点的直线
5 庞加莱圆盘模型中的角
6 艺术作品
7 另见
8 参考文献
[编辑]距离函数
如果 u 和 v 是赋以通常欧几里得范数的 n 维向量空间 Rn 中两个向量，两者范数都小于 1，则我们可以定义一个等距不变量为：
这里 ||*|| 表示通常的欧几里得范数。那么距离函数是
这样的距离函数对任何两个范数小于 1 的向量有定义，将这样的向量集合变为一个度量空间，这是一个具有常曲率 -1 的双曲空间模型。这个模型具有共形性质，双曲空间中两条曲线相交的角度与在这个模型中的欧几里得角度相同。
[编辑]度量形式
庞加莱圆盘模型的度量形式是：
[编辑]与双曲面模型的关系
庞加莱圆盘模型，和克莱因模型一样，都与双曲面模型射影相关。如果我们有双曲面模型中双曲面的上叶中一点 [t, x1, ..., xn]，这样就定义了双曲面模型中一点，我们可以通过与 [-1, 0, ..., 0] 连接一条直线将其投影到超曲面 t = 0 上，所得是庞加莱圆盘模型中的对应点。
[编辑]过两点的直线
解析几何中一个基本构造是寻找过两个定点的一条直线。在庞加莱圆盘模型中，平面上的直线定义为具有如下性质的圆周之一部分
这是垂直于单位圆周的圆周的一般形式，或就是直径，可以证明这是连接这两点（双曲）距离最短的曲线，即测地线。给定圆盘中不在同一直径上两点 u 和 v，我们可以求出过这两点的圆周，得到
如果点 u 和 v 在圆盘的边界上但不是直径的端点，上面的公式简化成
[编辑]庞加莱圆盘模型中的角
我们可用一个公式计算出端点（理想点）为单位向量 u 与 v 以及端点为 s 与 t 的两条圆弧相交的角度。因为理想点在克莱因模型和庞加莱圆盘模型是一样的，两个模型中的公式是一样的。
如果两条直线都是直径，那么 v = −u 和 t = −s，则我们只要找出这两个单位向量的角度，角度 θ 的公式为
如果 v = -u 但 t≠ -s，用楔积表示，公式变为
这里
如果两条弦都不是直径，得到一般的公式
这里
利用比内-柯西恒等式（Binet–Cauchy
identity）以及这些向量都是单位向量的事实，我们可只使用点积将上面的表达式写成
[编辑]艺术作品
毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪的画作 Circle Limit IV 是庞加莱圆盘的一个艺术形象化。
[编辑]另见
双曲几何
克莱因模型
庞加莱半平面模型
庞加莱度量
伪球
双曲面模型
逆几何
[编辑]参考文献
1，James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
2，Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta,
Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
3，Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993
双曲几何
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示意图
双曲几何又名罗氏几何（罗巴切夫斯基几何），是非欧几里德几何的一种特例，专门研究当平面变成鞍马型之后，平面几何倒底还有几多可以适用，以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的曲率是负数。
目录
从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理
Gauss-Bonnet定理
结论
整体的Gauss-Bonnet定理更加优美
几何中的核心概念
Nash嵌入定理
Riemanan几何
展开
从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理
Gauss-Bonnet定理
结论
整体的Gauss-Bonnet定理更加优美
几何中的核心概念
Nash嵌入定理
Riemanan几何
展开
编辑本段从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理
早在高斯十五岁时，他就构想了一种几何，这种几何中欧几里得几何中的第五公设不再成立，他把这个几何称为“星空几何”，或许他预计到这种几何在浩瀚星空中可能实现。
但是我们都知道，真正公开地、系统地提出这个几何的是Lobachevskii（有些英文文献是Lobachevsky，俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别。）所以这种几何被称作“Lobachevskii几何（Lobachevskian Geometry），也称为双曲几何（Hyperbolic Geometry）。在双曲几何中，三角形内角和不再等于180度。但是我们需要的不仅是这个定性结果，而
是要确定内角和与180度的偏差程度，即所谓的“角盈”，角度的盈余，当然这个盈余是广义上的盈余，如果差别为负数，那么就是负的盈余了：）
编辑本段Gauss-Bonnet定理
描述这个差别的就是著名的（局部）Gauss-Bonnet定理，它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起。曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π，如果这个多边形的 边界曲线是测地线，那么测地曲率就为0，这时候测地曲率的积分就为零，计算将大大简化。如果是测地三角形，那么我们马上可以得出三角形内角和公式的推广 。由于内角与外角的互补关系，所以公式将变为：三角形内角和减去π等于Gauss 曲率K在在三角形所围曲面上的积分。
编辑本段结论
于是我们可以知道：
如果K等于零，那么这刚好就是平面三角形，角盈为零，三角形内角和等于π；
如果K大于零，那么这就是类似于球面上的三角形，角盈为正，三角形内角和大于π；
如果K小于零，那么这就是类似于伪球面上的三角形，角盈为负，三角形内角和小于π。
因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化两次（第一次先让多边形边界曲线的测地曲率为零，第二次让多边形为三角形）后仍然得出这三个优美结果，直接推广了三角形内角和公式。
编辑本段整体的Gauss-Bonnet定理更加优美
紧致定向的二维Riemann流形M（可以粗略地看为是曲面的推广）的Gauss曲率的积分值等于2πχ（M），其中χ（M）是M的 Euler示性数，典型的整体的离散值，而Gauss曲率可以连续取值的局部值。这里，测地曲率的线积分被直接抵消，我们想想复变函数中证明多连通域的Cauchy积分定理时辅助线积分的互相抵消得出得优美结果（实际上我们在证明多连通域的 Grenn定理时就有这个方法了），就可以类推想象这个结果。只是在整体Gauss- Bonnet定理的证明中是用了著名的“三角剖分”把区域分称一个个三角形，抵消线积分（在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分），而多连通域的Cauchy积分定理中是将多连通区域划分成一个个单连通区域。我们从这里 也可以看出数学中很多领域的研究有着异曲同工之妙。这样一个公式就巧妙地将起两个迥异的重要概念完美结合。
编辑本段几何中的核心概念
后来，曲率经过Riemann的推广成为几何中的核心概念，Euler示性数经过Poincare的推广后成为拓扑学中的核心概念，这两个概念在整体微分几何中巧妙结合，而这种巧妙的结合就是由于Chern关于高维复流形（complex manifold）上的Gauss-Bonnet定理的直接的、内蕴的推广。果然应了“龙生龙，凤生凤，老鼠儿子会打洞”这句俗话。伟大的定理，经过伟大的推广，产生更加伟大的学科。
编辑本段Nash嵌入定理
当年Weil和Allendorff用分块切割嵌入高维Euclidean空间中证明推广这个定理时，Nash嵌入定理还未出现，所以前提首先就不成立。在加上一个内蕴的优美结果 却用外蕴的方式来推广，实在很令人不满意。所以Chern一到美国，Weil就把这个想法告诉Chern，并断定这个定理一定有内蕴的证明方法。Chern很快就完成这个证明了。当时数一数二的数
学大师Weyl看了这个结果后惊为神来之笔，赞叹祝贺。Weil则断定这是几何学里程碑式的伟大工作。
编辑本段Riemanan几何
在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提 到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann
Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何
（Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。
正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。
Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。
大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应 该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。”
他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。
我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。
说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果 他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：）
我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能
在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。”
编辑本段英国的Clifford
实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也 时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。
我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题，因为它和双曲几何（Hyperbolic Geometry）一样是non-Euclidean Geometry，但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic
Geometry的实质性跨越，双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零，只是平行发展而已，我并没有贬低Riemann的意思，椭圆几何只是上面说的“狭义的Riemanan几何”，仅仅凭借广义的Riemann几何学，Riemann的伟大已经不再需要这个安慰奖了，何况他还是其他多项无上的光荣：Riemann面，Riemann假设等等。
