2024年2月20日发(作者：)
第21专题讲座一-边际与弹性分析精华模拟题2009
1. 某种产品每台售价100元，成本60元。商家为扩大销售量，决定凡购买量超过100台以上部分,
按每台降价1%出售(例如：若销售量为101台，销售量比100台多出一台，于是多售出的一台
售价为99元；若销售量为102台，多售出二台，多售出的二台，每台售价为98元，以此类推)。
但每台最低售价为75元。商家最大供应量为150台，并且都能售完。问销售量为多少时，商家
所获利润最大？
解：设销售量为x,每台售价为P(x)。总成本为C(x)=60x (x取正整数)
由于价格不低于75元，即 P(x) = 100-3-100)x1275
当 P(x)=75 元时，x=125 (台)
总收益函数
100% 0 < X < 100
R(x) = J [100-(x-100) x l](x —100) +10000 100 75(x-100)+ 10000 100% 75x + 2500 利润函数 40x 0 L(x) = R(x) - C(x) = ] 40x — (x —100)2 i00 15x + 2500 125 40 0 L(x) = ^40-2%+ 200 100 15 令L(x)=0 125 0 125 125 125 =< lOOx-(x-lOO)2 100 得驻点 x=120 (台) L(x) lx=120=-2<0 于是x=120时，L(x)取得极大值 L (120) =4400 (元) 又L (150) =15x150+2500=4750 (元)当销售量为150台时所获利润最大。 2. 设某种商品的社会需求量Q = f(p) (p为商品的价格)，其弹性E,=-^二(月>0)，当p=10 256- p 时，Q=156o 一个工厂生产这种商品，其日总成本函数C (Q) =4Q+2000,求该厂日产量Q为 解：由 E,=—Q 史2. 得 0 + c：" 2 =。 于是 Q =。」豪了必=0(256 —,2) Q 256-p~ 256-7?" 又由 p = 10 时 Q = 156nC = l 故 2 = 256-7? 利润 L(p) = R(Q) - C(2) = (256 -p-) p- 4(256 — /) — 200 =-/?3+4/?+256/9-4x256-2000 32 以p)= —3p2+8p + 256. 令 以p) = 0n3p2—8p —256 = 0 得 p=%- = 10.7 (负数舍去) t(10.7) = (—6〃 + 8)1冲).7<0 故 P=10.7 时，利润最大，此时 Q = 256 — /=142.2(单位) 7 3. _ 设某企业生产一种产品，其成本C(Q) = §Q3—16Q2+100。+ 1000,平均收益 1 41 R{Q) = a--bQ (a〉0,24〉b〉0),当边际收益MR=44,需求价格弹性Ep =—时，取得最大 利润。求取得最大利润时，产品的产量及常数a与b的值。 解：收益函数R(Q) =函Q) = aQ*Q2 当取得最大利润时，边际收益等于边际成本。 艮iMR = MC,MR = R =a-bQ 于是：44 = C'(Q) = 2Q2—32Q + 100 d~C dQ2 Q2-160 + 28 = 0 得 0=2,Q=14. = 40-32 祭抑=一》＜0祭抑=56-32 = 24〉0 U d-R U 当Q=14时，#＜竺，企业利润取得极大值 d-C dQ; dQ~ = -》＜0 丝二 l°_,= 8-32 = -24＜0 dQ2 Q- dQ- Q- 44 = P(1 —§),解得 P = 82. .十 1 19 由于耕= A(Q) = P(1——) Ep 82 = a--bxl4 ＜ 2 44 = a-bxl4 又由于R(Q) = P 于是当Q = 14时 L(Q) = R(Q)-C(Q) 利润函数 解方程组得A",a = 120.当Q=2时得b=38不满足0 =noe-yg--e+16。-looe-iooo 23IQ 2 =2oe+ye-je-iooo. 186 L(e) = 20 + —e-2Q- 2393 2 。 令 L'(Q) = 0,得驻点Q = 14,Q = --(舍去)又 7 故产量Q=14时企业取得最大利润。 lim L(Q) =-1000 = L(0) Q-o+ limL(Q) = -3 QTO+ 3. 自动生产线上加工的零件的内径X (mm )服从正态分布N(〃,l),内径小于10或大于12mm的 为不合格品，其余为合格品。每件产品的成本为10元，内径小于10mm的可再加工成合格品， 尚需加工费5元。全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元。问零件的平均内径〃取何 值时，销售一个零件的平均销售利润最大？ 解：每件产品的销售利润L与自动生产线加工的零件的内径X (mm)有如下关系： 5,若X < 10, L = L(X) = J10,若 10 EL-10P(10 平均利润为 =10[①(12 — 〃)-0(10-//)] + 50(10-//) -10[l- 0(12-//)] =200(12 -甬-50(10- ")-10, 其中中3)是标准正态分布函数，中G) = 9(X)—标准正态密度。因此，有 dEL(x)= —20伽12-//) + 5^(10- //) = 0, djU 20 5 22—— e + .——e =0, (12-//)2 (10-〃)2 4e 2 = e 2 ; (12 —")2—(10 —#)2 =2in4;ll 一〃 = ln2. 即当〃 = =11-In 2 r 10.31〃?〃?时平均利润最大。 4. 某企业生产一种产品，其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润的大小，费用分别为x (万元)及y (万元)。产品的产量。=关竺+迎Z,其利润是产量Q的[再扣除工资福利费 ' y 及培训费。1.求在企业资金充足时，x, y分别为多少时，利润最大;4 + x 9 + 5 八 2.在工资福利费与培训费总和不超过55万元时，应如何分配这两种费用，使企业利润最大。 解：(1)利润函数 _ z 、1 ,3125% 500) 顷,y) = 2 (-——+— x—y 5 4 + x 9 + y /得口 4 + x = 25 x 2 x = 46(万元) n = -625.x 100y y = 21(万元) 4 + x ------- 9 + y1 -------- 9 + y = 10x3 x — y 6L 625x4 ,八 办(4 + x)2 'dL— ,—1 = 0 世 100x9 (9 + .r)2 裕^I T = -625X4X2(4 + X)'3 土 = 0 dxdy —= —100x9x2(9+ 顽 dy 在点（46, 21）处卜泡疽 B = gu = 0 Q2C = %|fVO T B2-AC<0,XA<0 dy »=2i 于是当x=46 （万元），y=21 （万元）时，利润L （x, y）取得极大值。 lim L(x,y) = -lim L（x, y°） = -co X—>4-00 GO XT+oo ' lim L（x0,y） = -GO yT+oo ' 故 当x=46 y—（万元），>4-00 y=21 （万元）时，利润最大。 （2）作拉格朗日函数 3F(x, y)= 、 匚1 3125% 500y 5 4+x ( ----------- 9+y ) _》_ y + 4(x + y _ 55) ' 625x lOOy = ---- H- ---- x- y + 2(x + y — 55) 4+x 9+y 冗(2)=窘号-1 +洋0(1) (4 + x) (9+y) x + y =55 100x9 625x4 ， 。=° (9 + y)2 (4 + x)2 由(1)式2=1 -------------- 代入(2)式得 -------- = ---- (4 + x)' 9+y 4 + x 3x-5y = 33 < x + y =55 得 3(4 + x) = 5(9 + y) 点(38.5, 16.5)是唯一驻点，由实际问题得知，当工资福利费用为万元，培训费为16.5 ) 得 38.5x = 38.5(万元),y =16.5(万元 万元时，使企业利润最大。 5. 已知某垄断厂商生产某产品的成本为0,其产品的需求价格弹性E(P) = -其中Q是该产品 的产量，P为其价格，已知当Q=0 Dt P=10o (I) 试求价格函数：将P表示成Q的函数； 解：(I)设Q=Q (P),由价格弹性的定义可知 dP Q- 2.求厂商利润最大化时的产量和利润。 巴.他= 一!，且由初始条件P (0)=10,用分离变量法求解方程并代入已知条件可得P = 10e「与 Q (II)厂商利润可以表示为 〃(P,Q) = P・Q —C = 10e 2.Q —0 Q2 Q2 一阶条件得到 勿(Q) = 10e「°-10Q・Qe「3=0 得Q=1 (Q=T不合题义，舍去) 7v = 10e~ 此时其利润为 评注 厂商取得最大利润时价格弹性为T,这可以用来验证题目所得结果是否正确，其实此题可 以令e = -1,直接解得Q=l。 6. 某商品交易市场上的税收收入与交易的成交额之间的关系经统计资料分析为：税收的收入随成 交额增加的增长率等于税收收入的立方与成交额立方的2倍的差、再除以成交额与税收收入平 方之积的3倍。若成交额为x=l (万元)时，税收收入y=2 (百元)，试求该商品市场的税收收 入与成交额之间的函数关系。 解：依题设，税收收入y (百元)与成交额x (万元)的函数关系满足的微分方程： 3 虫=土碧 dx 3xy 设〃贝 0 —= w + xw x dx 3 且y⑴=2 (')3 — 2 此方程即为虫=—— dx 3(—)2 x 原方程变为 u + xu =-―= 3u 1£^ = _2— ln(l + "3)= in_r2+inC 艮口 1 + M3 =-^ l + w X :.X3 + y3 = Cx 将y⑴=2代入得C =9 1 + (2)^ =_£ X X X 所求函数关系为 y3 =9x-x3 7. 设某商品的价格与需求量之间具有线性关系。当价格从2元上升到4元时，产品的需求量从1000 件下降到800件。1.求需求函数； 2.求当价格为10元时的需求弹性并说明其经济意义。 解：(I)设需求量为Q、价格为P,则需求函数为Q=a+bP P=2 时，Q=1000, a + 2b = 1000 代入得 。+ 48 = 800 八、、g P=4 时，Q=800 F,n 解得 a=1200> b=-100 t Q=1200-100P. (ID 需求弹性为 T]d =-^.- = —当 P=10 时，〃疽M_ = 5. d dP Q 12-p d 12-10 这说明当价格为10元时，价格增加1%,则需求量减少5%；价格减少1%,则需求量增加5%。 8. 某地区研究消费需求量时，发现在稳定条件下，需求量y只与消费者个人收入x有关。经测算, 消费需求增长率对消费者个人收入增长率之比的平均弹性为0.5,且当消费者收入x=l时，消费 需求量y=e。1.求需求量y与个人收入x之间的函数关系； 2.求消费者个人收入为3时的消费需求量。 解：(I)设消费者的需求量为y,消费者的收入为x。则消费需求量增长率对消费者个人收入增长 率之比即为y对x的弹性。 亘3)=知=上・曳 x y dx 将题设条件代入得 处= 0.5公 y C = 4e 其平均弹性为 于是得 虹亘(x)dx y 解此方程得 y = Ce°'5x，代入初始条件得 :.所求函数关系为 y = &e。& (II)当x=3时的消费需求量为 9. y = = e? a 7.4 设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数f(x,y) = 60x3/4/4o假定每单位劳动力费用100 元，每单位原料费用200元，现有资金30000元用于生产。为得到最多的产品，应如何安排劳 动力和原料？ 解：本问题为求函数f(x,y) = 60x3/4y〃4在条件100x+200y=30000下的极值。设 F(x, y) = 60x3/4y1/4 + 2(100% + 200y -30000) F； =45x-l/4y1/4 +1002 = 0 贝lj< F； =15x3/4y-3/4 +2002=0 100x + 200y = 30000 由于x=225、y=37.5为函数的唯一驻点，且实际问题有最大值，故它是最大值点。即安排劳动 力225个单位、原料为37.5个单位时，能得到最多的产量。 10. 某商场的销售成本y和存贮费用s均是时间t的函数。随着t的增长，销售成本的变化率等于存 贮费用的倒数与常数5之和。而存贮费用的变化率为存贮费用的L倍的相反数。若当t=0时， 3 销售成本y=0,存贮费用s=10,试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系。 解：由题设，有 ^ = - + 5 -s dt s 解微分方程②得：s = c^ 由初始条件 si,=°=io 得 G=io 将上式代入①中得：^ = -J+5 dt 10 由初始条件 vL=o=。 得C2 =- 11. CI) ① ② — = -3 dt t :.S = 10疽 3 2 解得 y = 3 3/z 3 y = —e + 5t ------- + G 解得 x=225 y=37.5 某种商品的需求函数是尸=20-4x ,企业的平均成本C(x) = 2 , 若向企业每单位商品征收税款t,试求其最大利润和税收最大时的t值; (II) 求当征收25%的销售税时，企业的最大利润。 解：(I)由题设条件得收入函数 R(x) = Px = 20x-4x2 成本函数为 C(x) = xC(x) = 2x 征税后的利润函数为： 令l(x) = 0 得工=里兰 8 L(x) = (IS-t)-Sx L(x) = -S<0 x =— 是函数L(x)唯一驻点，同时在驻点处L(x)取极大值，故它也是函数的最大值点。 8 此时相应的税收函数为 尸=丝二丑，令尸=0解得t=9 8 ，， 1 :.t = 9是函数T (t)的唯一驻点且在驻点处T (t)取极大值，故它也是T (t) ■: T =— —<0 4 当t=9时，利润和税收同时达最大。 的最大值点。 (II)当征收25%的销售税后，利润函数为 L (x) = (1-0.25)7?(x) - C(x) = 13x-3x2 £；(%) = 13-6x Lj (x) = 一6 v 0 ...X = 是唯一极值点且函数在驻点处取极大值，故此极大值也是函数的最大值。 6 所以当x = ?时，利润最大。最大利润为 右(?)=皆 12.某工厂要在一年内以相同的批量分批生产2400件产品，产品的单位成本为6元。但每生产一批 产品需要调整机器费用160元，在生产过程中，在制品占用资金的银行年利率为10%o若全年 所需费用等于全年所需机器调整费用与在制品占用资金利息的总和，问批量为多大时，才能使 全年所需费用最少？ 解:设批量为X件,则全年所需的机器调整费为160X丝四，在制品占用资金利息为6xl0%・x = 0.6x, M 担 b 160x2400 八厂 、 总费用 y = --------------- 0.6% (0 < x) x ， 160x2400 八， “ 2x160x2400 2x160x2400 >() %3 y = --------- 2—+°・6， y = (8OO)3 令y=0 得尤= 800 .•.当x=800时,函数取极小值。由于函数只有一个驻点，此极小值即为函数的最小值。故当批 量为800时',总费用最省。 13.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资料，销售收入R (万元) 与电台广告费用X (万元)及报纸广告费用y (万元)之间的关系有如下的经验公式 R = 15 +14% + 32y - 8xy - 2x2 -10y2 (I) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略; CII) 若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。 13 令以 x) = 0 Mx = — 6 解：(I)由题设利润函数为 L(x, y) = R — (尤 + y) = 15 +13尤 + 3 ly — Sxy - 2x2 -10y2 —= 13-8y-4x = 0 dx —— = 31 —81 —20y = 0 •3 =弓=-4<0, dx2 B2-AC = -16 B = 解得 x=0.75, y=1.25 = -8 dxdy C = q = -20 dy .・.在x=0.75, y=1.25处，L取极大值,亦即最大值。 故最优广告策略是电台广告费投入0.75 （万元），报纸广告费投入1.25 （万元）。 （II）当广告费用限定为x+y=1.5 （万元）时，问题即为求利润函数L在约束条件x+y=1.5下 的极值。由拉格朗日乘数法有 L(x, y) = 15 + 13x + 31y-8xy-2x2 -10y2 +2(x + y-1.5) —= 13-8y-4x + 2 = 0 dx & —— = 31 —8i —20y + 4 = 0 dy x+ y = 1.5 得 x=0, y=1.5 由于问题本身有最大值，且函数只有一个驻点，故驻点处的函数值即为最大值。所以把全 部广告费1.5万元都投入报纸广告是最优策略。 