沪教版六年级数学上册同步精品讲义

2024年2月13日发(作者：)

整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．

知识点1、整数的意义和分类

（1）自然数：零和正整数统称为自然数；

（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．

正整数自然数

整数零负整数

【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．

（1）最小的自然数是1 ；

（2）最小的整数是0；

（3）非负整数是自然数；

（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；

（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．

【例2】把下列各数放入相应的圈内：

315，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，．

5

正整数

【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；

（2）试比较正整数、负整数、零的大小；

（3）试比较负整数、自然数的大小．

【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．

负整数

整数 自然数

【例5】有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：

152，试求这三个自然数．

知识点2、整除的意义

整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．

【例6】老师问：“当a4.5时，b0.9时，a能被b整除吗？”

一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a能被b整除．”

你认为对吗？

【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．

18和9（ ）

14和6（ ）

15和30（ ）

17和35（ ）

0．4和4（ ）

9和0．5（ ）

【例8】已知下列除法算式：

【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内．

（1）30÷10； （2）7÷25；

（4）18÷3；

（6）3．9÷0．3；

57÷7=8……1；

22÷5=4.4；

21÷7=3；

0÷3=0；

22÷0.2=110；

2÷4=0.5．

（1）表示能除尽的算式有哪几个？

（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？

（3）35÷0．1；

（5）0．4÷2；

（7）27÷9；

（8）16÷4．

除数能整除被除数的：________________________________________；

【例10】若两个整数a、b (ab)都能被整数 c

整除，它们的和、差、积也能被 c

整除吗？为什么？

【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求这个两位数．

【例12】15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？

【例13】2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明能够除尽的：________________________________________________．

年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？

【例14】学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：

组别

人数

一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？

知识点3、因数和倍数的意义

整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．

【例15】有一个算式6379，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．

【例16】分别写出12、19和36的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依次写3个）．

1

3

2

11

3

6

4

8

5

10

6

12

7

4

8

7

9

13

10

8

【例17】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出．

（1）6和9； （2）27和51．

【例18】从小到大依次写出10个2的倍数：_____________________________________；

从小到大依次写出10个3的倍数：_____________________________________；

其中__________________________既是2的倍数，又是3的倍数．

【例19】已知：A235，B335，则A和B相同的因数有哪些？

【例20】一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？

【例21】两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？

【例22】1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？

【例23】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次．现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？

【例24】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？

【例25】一筐苹果，2个一拿或3个一拿或4个一拿或5个一拿都正好拿完没有余数，问这筐苹果最少有多少个？

【例26】小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？

【例27】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”4是(125)10．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如58的“完美指标”是(124)8以我们说8比10完美．

根据上述材料，回答下面问题：

（1）5的“完美指标”是____________；

（2）6的“完美指标”是____________；

（3）9的“完美指标”是____________．

7474，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所8585

（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．

知识点4

1、能被2整除的数

能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；

能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．

2、能被5整除的数

能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．

3、能同时被2、5整除的数

能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．

【例28】已知：11，15，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？

【例29】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被5整除的数有_____________．

【例30】在圈内写出满足条件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760．

【例31】三个连续的偶数的和是54，则其中最小的一个是______．

【例32】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“√”，奇数则打“×”．

86（ ）

86（ ）

86（ ）

96（ ）

157（ ）

96（ ）

157（ ）

96（ ）

157（ ）

【例33】12399910001001的和是奇数还是偶数？请说明理由．

【例34】用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数2，有几种不同的排法？要使这个数能被5整除，有几种不同的排法？

【例35】下面的乘式的积中，末尾有多少个0？

1232930．

【习题1】 先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？

－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．

整数

正整数

【习题2】 一个三位数46最小填______．

【习题3】 判断题：

(1) 若mn2，则n一定能整除m．（ ）

(2) 整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b． （ ）

(3) 因为6.370.9，所以6.3是7的倍数．（ ）

(4) 因为整数7421中包含了数字2，所以7421一定能被2整除．（

）

，能被2整除时，中最大填______；能被5整除时，中 负整数

自然数

【习题4】 已知A2357，那么A的全部因数的个数是(

A．10个

【习题5】 一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？

【习题6】 如果(n)表示n的全部因数的和，如(4)1247，则(18)(21)_________．

）

D．16个 B．12个 C．14个

【习题7】 用0、2、5、8这四个数字组成的四位数中，能被2整除的数有多少个？

【习题8】 先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍数？（写出具体过程）

（1）9062；

（2）12805； （3）158506．

【作业1】 是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．

【作业2】 78的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内．

奇数

【作业3】 求26以内能被5整除的所有数的和．

【作业4】 在黑板上，先写出三个自然数1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和．照这样进行100次后，黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是奇数还是偶数？

【作业5】 求1000以内能同时被3、5整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和．

偶数

【作业6】 一个大于1的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数？

【作业7】 张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，她习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上，这样就可以随时算出有没有差错．有一次她数了数桌上的硬币，是36枚1角．她对司机说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道为什么吗？

【作业8】 凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所得的差是0或是11的倍数时，这个数就是11的倍数．下列各数，哪些是11的倍数？

(1)64273 (2)208549 (3)77360822

分解素因数

内容分析

分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解前面两大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数．通过这节课的学习一方面为我们后面学习公倍数和最小公倍数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．

知识结构

模块一：素数与合数

知识精讲

知识点1、素数与合数

（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；

（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；

（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类．

例题解析

【例36】判断37，39，47和49是素数还是合数．

【例37】下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？

6，13，18，31，51，67，87，120．

【例38】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：

(1)

(2)

(3)

(4)

【例39】已知字母p、q分别代表一个素数，并且p + q = 99，你能知道p、q这两个数相乘的积是多少吗？

【例40】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．

(1) 所有的偶数是合数，所有的奇数是素数；

(2) 某数是3的倍数，这个数一定是合数；

(3) 一个合数至少有3个因数；

(4) 在所有的素数中，只有2是偶数，其余的素数都是奇数；

(5) 一个自然数，如果不是素数，就一定是合数；

(6) 两个素数的和一定是合数；

(7) 大于2的合数都是偶数；

(8) 一个大于1的自然数，如果有小于本身的因数，那么这个数一定是合数．

是奇数又是素数的数是（

是奇数不是素数的数是（

是素数而不是奇数的数是（

是合数而不是偶数的数是（

）；

）；

）；

）．

【例41】用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小和最大分

别是多少

【例42】一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少？

【例43】已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长方形的面积至多是多少个平方厘米？

【例44】三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？

师生总结

1、 最小的素数是几？最小的合数是几？

2、 最小的偶素数是几？

3、 如何判断一个正整数是不是素数？

1、分解素因数

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．

把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．

2、口算法分解素因数

例如：728922233．

3、短除法分解素因数

形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．

用短除法分解素因数的步骤如下：

（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；

（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；

（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．

【例45】把24分解素因数的正确算式是（ ）

5

35

7

模块二：分解素因数

知识精讲

例题解析

A．24234

B．242223

D．24226 C．2412223

【例46】在等式46n2223中，4和6都是n的（ ），2和3都是n的（ ）

A．素因数

【例47】把以下各数分解素因数：

35，72，105，108，238．

B．素数 C．因数 D．合数

【例48】请把2、3、5、7、14、15这六个数分成两组，使每组数的乘积相等．

【例49】如果a表示全部素因数的和，如6235，试求3510的值．

【例50】下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和．

【例51】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共有多少种分法？

【例52】把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920．这篮苹果共有多少个？

【例53】有a个人都属鸡，而且生日都是3月20日．某年，他们的年龄数的乘积为207025，

□□×□□=1995．

师生总结

1、 分解素因数的方法有哪些？

2、归纳总结短除法分解素因数的步骤．

1、公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．

2、最大公因数

几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．

3、两个数互素

如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．

4、求最大公因数

求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．

【例54】求出下列各组数的公因数．

模块三：公因数和最大公因数

知识精讲

例题解析

（1）14和42；

（2）121和44； （3）28和56； （4）17和9．

【例55】指出下列哪组中的两个数互素．

（1）3和5； （2）6和9； （3）14和15； （4）18和1．

【例56】找出下列各数的公因数与最大公因数．

（1）84、28、60；

【例57】下列说法中，正确的个数有（ ）个

①2是4和16的一个公因数；

②12是24和36的最大公因数；

③如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数；

④1和任何正整数互素．

（2）12、16、20．

A．0 B．1 C．2 D．3

【例58】已知m、n、p都为自然数，且np2，mn12，那么m、n、p的最大公因数是多少？

【例59】已知两个数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数．

【例60】将长、宽、高分别是120厘米，90厘米，60厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，锯成的木块棱长最长是多少？共可以锯成多少块？

【例61】学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？

【例62】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本，如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本，如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？

师生总结

1、两个整数的最大公因数的方法有哪些？

2、互素的两个整数具有什么样的特征？

【习题1】 下列说法中，正确的个数有（ ）个

②任何一个自然数至少有2个因数；

④两个素数的和一定是偶数；

D．3

随堂检测

①一个自然数，不是质数就是合数；

③90分解素因数是90=529；

A．0

B．1

C．2

【习题2】 将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？

【习题3】 下列各数中是否含有相同的公因数，若含有请指出，并求出最大公因数．

（1）6和9；

【习题4】 已知两个数的和是107，它们的乘积是1992，这两个数分别是多少？

【习题5】 两个正整数的和是50，他们的最大公因数是5，这两个数的差的最大值是几？

（2）27和51； （3）28、42和56．

【习题6】 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组．如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵．这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

【习题7】 某农副食品店销售三级别的大米，已知一级大米150斤，二级大米180斤，三

级大米210斤的价格都是450元，现需将这三种大米分别按整斤数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元？

【习题8】 “九九重阳节敬老节”将至，幸福小区组织一批老年人决定分乘若干辆至多可乘44人的大巴前去郊游．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？

【习题9】 甲乙两人射箭，规定每射一箭得到的环数是0~10这10个数中的一个整数，他们各射5靶，每人得到的环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环，求甲、乙各自的总环数．

【习题10】 有a、b、c、d四个数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是96，这四个数的最大公因数是多少？

【作业1】 求出下列每组数的最大公因数．

（2）104和182； （3）13和52； （4）160和185．

课后作业

（1）48和72；

【作业2】 已知四个小于10的自然数，它们的积是360．已知这四个数中只有一个是合数，求这四个数．

【作业3】 已知：A235，B335，则A和B的公因数有哪些，最大公因数是几？

【作业4】 将下列各数分解素因数．

36，81，143，437，663

【作业5】 两个数的和为90，两个数的最大公因数是15，求这两个数．

【作业6】 已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少？

【作业7】 用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？

【作业8】 288人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在15至35之间．有哪些分法？

【作业9】 有三根绳子，一根长36米，一根长16米，一根长24米．要把它们剪成同样长的小段做跳绳，每小段要尽量长，一共能剪成多少根跳绳？

【作业10】 从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条后，剩下木板的面积是108

平方分米，则锯下的木条面积是多少平方分米？

分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．

知识点1：

1、公倍数与最小公倍数

公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；

最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．

2、最小公倍数的求法

求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；

如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；

如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．

【例63】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．

【例64】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．

【例65】求下列各组数的最小公倍数．

i.

【例66】若m2235，n2337，则m、n的最小公倍数为___________．

【例67】求10，12和15的最小公倍数．

【例68】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？

8和15； （2）9和45； （3）19和21．

【例69】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？

师生总结

4、 求最小公倍数的方法有哪些？

5、 求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？

【例70】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市

购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？

【例71】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？

【例72】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当

种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？

【例73】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？

【例74】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）

知识点2：两数的最大公因数与最小公倍数的关系

已知数a和数b，两数的最大公因数为m，最小公倍数为n，则：abmn

【例75】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．

（1）48和18；

【例76】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．

【例77】如果甲数235，乙数237，那么甲数与乙数的最大公因数是________，

最小公倍数是_________．

【例78】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？

【例79】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．

（1）两个数的公倍数的个数是有限的．

（2）30是15和10的最小公倍数．

(

(

)

)

（1）4、8和12； （2）15、75和90．

（2）27和81．

（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．

（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．

【例80】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？

(

(

)

)

【例81】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？

请用你所发现的规律接下面的问题：

（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？

（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？

【例82】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？

【例83】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？

【例84】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？

【例85】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x、y、z的最小公倍数为60，x和y的最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？

【例86】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会）

【习题11】 如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是______，最小公倍数是______．

【习题12】 自然数b的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）

【习题13】 11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．

【习题14】 求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．

【习题15】 一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？

【习题16】 已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．

【习题17】 在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？

【习题18】 用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？

【习题19】 若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？

【习题20】 被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？

【习题21】 一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，

那么这筐苹果最少应有多少个？

【习题22】 小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？

【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：

1与299（

13与52（

6与15（

【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数．

【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．

（1） 36和84；

【作业4】已知甲数357A，乙数37A，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值．

（2）12，15和18．

）

）

）

12与36（

10与14（

22与66（

）

）

）

12与13（

21与49（

25与35（

）

）

）

【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数．

【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？

【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？

【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？

【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？

【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？

【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．

【作业12】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．

单元练习：数的整除

内容分析

数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的，通过本章的学习，学生需要理解整除的意义，理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的概念，掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法，难点是利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题．目的在于，通过丰富的实例，体验数学与日常生活的密切联系，感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题，从而增强应用数学的意识，体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解．

奇数

偶数

素数

一个整数

合数

分解素因数

知识结构

能被2整除的数的特征

能被5整除的数的特征

数的整除

整除

因数

倍数

整数间的关系

互素

公因数

公倍数

最大公因数

最小公倍数

【练习1】下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（ ）

A．4和9

B．16和64

D．7.2和3.6

选择题

C．1.6和3.2

【练习2】下列说法中正确的个数是（ ）

（1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；

（2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除；

（3）一个正整数的因数至少有两个．

A．0个

【练习3】一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（ ）外都可以

A．加上1

【练习4】下列式子中，分解素因数正确的是（ ）

A．90529

C．11555

【练习5】大于2 的两个素数的乘积一定是（ ）

A．素数

【练习6】素数中偶数的个数是（ ）

A．0个

B．1个 C．2个 D．3个

B．合数 C．素因数 D．偶数

B．633371

D．12223

B．减去3 C．乘以2 D．除以2

B．1个 C．2个 D．3个

【练习7】两个不等于1的正整数a与b的积一定是（ ）

A．奇数 B．偶数 C．合数 D．素数

【练习8】下列数中是3的倍数的是（ ）

A．370 B．371 C．372 D．373

【练习9】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【练习10】下列说法中，正确的个数是（ ）

（1）一个奇数与一个偶数，一定互素；

（2）任何一个合数至少有3个因数；

（3）两个数有公因数1，这两个数一定互素；

（4）两个素数的和一定是偶数；

（5）一个自然数不是偶数就是奇数；

（6）一个自然数不是素数就是合数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【练习11】下列说法中，正确的个数是（ ）

（1）能被1和它本身整除的数都是素数；

（2）素数的平方一定是合数；

（3）一个数是2的倍数，一定是合数；

（4）如果两个数互素，就没有公因数；

（5）两个素数必定是互素数；

（6）两个奇数必定是互素数；

（7）两个合数必定不是互素数；

（8）两个偶数必定不是互素数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【练习12】小于10的不是素数的正整数是（ ）

A．2、4、6、8 B．2、4、6、8、1

）

C．4、6、8、9、1 D．4、6、8、9

【练习13】下列说法中，正确的个数是（ ）

（1）相邻两个正整数的乘积，就是它们的最小公倍数；

（2）甲数和乙数都是它们的最小公倍数的因数；

（3）因为4276，所以42是倍数，7是因数；

（4）自然数除了1和0之外，不是素数，就是合数；

（5）1与任何自然数都是互素数；

（6）数a除以数b，如果商是5，那么数a一定能被数b整除．

A．1个

【练习14】已知m235，则m的因数共有（ ）个

A．3

【练习15】16、24和30的公因数有（ ）个

A．0

【练习16】下列各数中，不是12和15的公倍数的是（ ）

A．60

【练习17】下列各组数中，最大公因数最小的是（ ）

A．2和6

B．15和25

D．9和18

B．120 C．300 D．30

B．1 C．2 D．3

B．5 C．8 D．10

B．2个 C．3个 D．4个

C．100和101

【练习18】下列各组数中，不是互素数的是（ ）

A．28和29

C．66和154

B．97和100

D．37和97

【练习19】幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，则每组最多有（ ）个小朋友

A．69

【练习20】一筐苹果，2个一拿还剩1个，3个一拿还剩2个，4个一拿还剩3个，5个一拿还剩4个，则这筐苹果最少应有（ ）

A．31

【练习21】4.80.224，所以说4.8能被0.2 ______．（填“整除”或“除尽”或“除不尽”）

【练习22】能整除6的数有____________．

【练习23】能同时被2、3、5整除的最小的三位数是______；

在200内，能同时被3和5整除的最大奇数是______．

【练习24】一个奇数与一个偶数的差一定是______．（“奇数”或“偶数”）

【练习25】10以内的素数中，减去2后还是素数的有____________．

【练习26】一个数百位上数字是最小的合数，十位上数字是最小的素数，个位上数字是最小的自然数，那么这个三位数是______．

【练习27】已知A2235，那么A、B两数的最大公因数是______，

B2337，

【练习28】一个数能被3、6、7整除，这个数最小是______．

B．59 C．61 D．121

B．46 C．23 D．6

【练习29】已知A23m，如果A、B的最大公因数是14，则m =______．

B25m，

【练习30】三个连续奇数的和是111，夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是_________．

【练习31】由0、4、1三个数字组成的数字不重复的三位数中，能被5整除的有___个．

【练习32】两个素数的和是21，那么这两个素数的积是______．

【练习33】28和42相同的素因数是____________．

【练习34】三个正整数的积是84，其中两个数的和等于第三个数，那么这三个数分别是___________________．

【练习35】在小于10的正整数中，两个互素的合数有_____________________．

【练习36】一对互素数的最小公倍数是36，那么这两个数的和是______．

【练习37】有3个不同的自然数组成一个等式：□＋△＋○＝□×△－○，这三个数中最多有______个奇数．

【练习38】用96朵红花和72朵黄花做成花束，如果各束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，那么每束花里至少有______朵花．

【练习39】一个房间长和宽分别是360厘米、450厘米，如用正方形地砖铺设，为使地砖都整块使用，且地砖的表面积尽量大（边长不超过1米），则应用边长为______厘米的地砖铺设．

【练习40】9月9日，哥哥从学校打电话向奶奶问好，姐姐来看望奶奶，妹妹为奶奶打扫房间．如果妹妹每隔3天打扫一次房间，哥哥每隔5天打一次电话，姐姐每隔6天看望奶奶一次，则下次是____月____日，问好、看望、打扫这三件事在同一天发生．

【练习41】一个两位数，其中个位上的数字比十位上的数字大2，且能被5整除，试求符合条件的两位数．

【练习42】六年级4个小组帮果农收橘子，第一小组收了127千克，第二小组收了149千克，第三小组收了238千克，第四小组只收了95千克．问，最少还应收多少千克，就可以把全部的橘子平均分成4份？并求出每份的重量．

【练习43】商店将积压的圆珠笔降价到每支不足0.4元出售，共卖得31.93元．问：商店共卖出多少支圆珠笔？

【练习44】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个是48，求另一个数．

【练习45】初中年级某学生参加计算机操作技能比赛（满分100分），他获得的名次，他的年龄，他得的分数的乘积是2910，试问这个学生得第几名？成绩是多少？

【练习46】在长2.4千米的公路一边，等距离种树（两端都种）．开始每隔6米种一棵，后来改成每隔8米种一棵，不用改种的树有多少棵？

【练习47】有一批书平均分给6个小朋友，结果多1本；平均分给8个小朋友也多一本；平均分给9个小朋友还是多1本．这批书最少有多少本？

【练习48】大雪后的一天，小智和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和方向完全相同，小智每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长．

【练习49】在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分数的意义和性质是初中数学六年级上学期第2章第1节的内容．通过本讲的学习，我们需要根据具体的情境理解分数的意义，从而掌握分数的表达方式及分数与除法的关系，进而根据除法的基本性质理解并掌握分数的基本性质，为后面学习分数的约分、通分、比较大小和计算做好准备．

1、

（1）用文字表示是：

被除数 ÷ 除数 =

被除数；

除数p表示，读作q分之p．

q分数与除法的关系

（2）用字母表示是：

两个正整数p、q相除，可以用分数即pqp，其中p为分子，q为分母．

qp3 1 ==3．

p，例如3 ÷q1特别地，当q = 1时，

【练习50】用分数表示下列除法的商．

（1）56；

【练习51】把下列分数写出两个数相除的式子：

5315（1）； （2）； （3）；

4195

5【练习52】读作_________，分子是_________，分母是_________；

99读作_________，5是分_________，9是分_________．

54．

2 （2）74； （3）21； （4）93．

（4）

【练习53】如果把下列各图形的总体用1表示，那么请用分数表示下列各图形中的阴影部分．

【练习54】把一个西瓜平均分成5份，每一份是这个西瓜的______．

【练习55】 “一箱橙子吃去了3．”这是把____________看做单位“1”，把它平均分成了4 ________份，吃去的橙子占________份，由此可以推出剩下这箱橙子的．



【练习56】

【练习57】下图中，卡车占全部交通工具的______．（填几分之几）

311是______个，4个是______．

775

【练习58】在数轴下方的空格里填上适当的分数．

【练习59】在数轴上画出分数

【练习60】把9米长的绳子平均分成11段，每段长多少米？每段绳子长是这段绳子长的几

【练习61】六（2）班共有43名学生，其中男生21名，则女生占全班人数的几分之几？

【练习62】把一根绳子对折3次，这时每段绳子长是全长的（ ）

1111 A． B． C． D．

2389

【练习63】6厘米是1厘米的______（填几分之几）；

6厘米是1米的______（填几分之几）；

20分钟是2小时的______（填几分之几）；

4小时是一昼夜的______（填几分之几）．

分之几？

28、所对应的点．

55

【练习64】如果☆☆☆表示1，那么☆☆☆☆☆表示的分数是______．

【练习65】要使

【练习66】一块烧饼的71变成1，还需要增加____________个．

12123，与3块烧饼的4相等；

一样重．

 1千克的2，与2千克的5

【练习67】在数轴上方空格里填上适当的整数或分数．

【练习68】如图，将长方形ABCD平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均 分成2份、3份、4份，试问阴影部分面积是长方形ABCD面积的几分之几？

【练习69】如图，ABC中，BE = EC，AG = GH = HC，那么ABE的面积是ABC的面 积的几分之几？EGH的面积是AEC的面积的几分之几？

B

A

E H C

1、

分数的基本性质

分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相aakan等．即：（b0，k0，n0）

bbkbn

【练习70】要使分数

【练习71】分别将图中的阴影部分用分数表示，这些分数有什么关系？

3【练习72】试举出三个与大小相等的分数．

53有意义，则（ ）

xA．x3 B．x1 C．x0 D．以上都不对

【练习73】在括号内填上适当的数使等式成立：

（1）62（）；

155（）3 （2）8；

7302 （3）；

212 （4）．

204【练习74】在括号中填上适当的数：

14333153（1）； （2）； （3）； （4）．

223127282

【练习75】把

525和分别化为分母为12且与原分数大小相等的分数．

460【练习76】下列说法中正确的是（ ）

【练习77】填空：

（1）A．分数的分子和分母都乘以同一个数，分数的大小不变

B．一个分数的分子扩大为原来的2倍，分母缩小至原来的一半，分数的值扩大为原来 的4倍

aamC．（m0）

bbm1D．5含有10个

555266；



（2）2525530309962424；



（3）．



【练习78】

2131中有______个，中有______个．

315520