高三数学第二轮专题讲座复习 求解函数解析式的几种常用方法 试题

2024年1月15日发(作者：)

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法

高考要求

求解函数解析式是高考重点考察内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深入理解函数定义的根底上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成才能，并培养考生的创新才能和解决实际问题的才能

重难点归纳

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1待定系数法，假设函数解析式的构造时，用待定系数法；

2换元法或者配凑法，复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f(x);

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法

典型题例示范讲解

例1(1)函数f(x)满足f(logax)=2a1(x)(其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式

xa21(2)二次函数f(x)=ax+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式

此题主要考察函数概念中的三要素定义域、值域和对应法那么，以及计算才能和综合运用知识的才能

知识依托利用函数根底知识，特别是对“f〞的理解，用好等价转化，注意定义域

错解分析此题对思维才能要求较高，对定义域的考察、等价转化易出错

技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法

解(1)令t=logax(a>1,t>0;0

2a1∴f(x)=ax－x(a－a)(a>1,x>0;0

2a1

(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c

1a[f(1)f(1)]f(0)21得b[f(1)f(1)]并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或者－1，

2cf(0)所以所求函数为f(x)=2x－1或者f(x)=－2x+1或者f(x)=－x－x+1

222或者f(x)=x－x－1或者f(x)=－x+x+1或者f(x)=x+x－1

222例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一局部是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象

此题主要考察函数根本知识、抛物线、射线的根本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维才能因此，分段函数是今后高考的热点题型

知识依托函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线

错解分析此题对思维才能要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱

技巧与方法合理进展分类，并运用待定系数法求函数表达式

解(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b

∵射线过点(－2，0)∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2

(2)当－1

22∴f(x)=－x+2

2(3)当x≥1时，f(x)=－x+2

x1,x12综上可知f(x)=2x,1x1作图由读者来完成

x2,x1例3f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1)

解法一(换元法〕

∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cosx－cosx－1

2令u=2－cosx(1≤u≤3),那么cosx=2－u

∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)－(2－u)－1=2u－7u+5(1≤u≤3)

22∴f(x－1)=2(x－1)－7(x－1)+5=2x－11x+4(2≤x≤4)

22解法二(配凑法〕

f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx〕+5∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),

即f(x－1)=2(x－1)－7(x－1)+5=2x－11x+14(2≤x≤4)

22学生稳固练习

1假设函数f(x)=A3

mx3(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,那么m等于()

4x3433 B C－ D－3

222设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)－1,那么x>1时f(x)等于()

2Af(x)=(x+3)－1

2

Bf(x)=(x－3)－1

2Cf(x)=(x－3)+1

2Df(x)=(x－1)－1

23f(x)+2f(1)=3x,求f(x)的解析式为_________

x4f(x)=ax+bx+c,假设f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,那么f(x)=_________

25设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式

6设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式假设矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤2x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值

DP7动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、CC、D再回到A，PAB

设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图

8函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数获得最小值，最小值为－5

(1)证明f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；

(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式

参考答案

mxmx4x3=x,整理比较系数得m=3答案A

1解析∵f(x)=∴f［f(x)］=mx4x3434x3m2解析利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，

2又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1答案B

111)=3x知f()+2f(x)=3

xxx122由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x答案f(x)=－x

xxx3解析由f(x)+2f(4解析∵f(x)=ax+bx+c,f(0)=0,可知c=0又f(x+1)=f(x)+x+1,

2∴a(x+1)+b(x+1)+0=ax+bx+x+1,即(2a+b〕x+a+b=bx+x+1

22故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=11121121,b=,∴f(x)=x+x答案x+x

2222225解利用待定系数法，设f(x)=ax+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=2228xx1

776解(1)设x∈［1,2］,那么4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),

又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)+4

2(2)设x∈［0，1］，那么2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)+4,

2又由(1〕可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)+4,

2设A、B坐标分别为(1－t,0〕,(1+t,0)(0＜t≤1),

那么|AB|=2t,|AD|=－2t+4,S矩形=2t(－2t+4)=4t(2－t),令S矩=S，

222S22t22t22t2364222∴=2t(2－t)·(2－t)≤()=,

8327622当且仅当2t=2－t,即t=时取等号

31661666482∴S≤即S≤,∴Smax=

99277解(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABDDPC可得PA=2由Rt△ADP易得PA=1(3x);1(x1)2;当P点在CD上运动时，当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为

PABx (0x1)2x2x2 (1x2)f(x)=

2x6x10 (2x3)4x (3x4)(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进展分类求解

如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；

当P在BC上时，即1＜x≤2时，

S△ABP=11AB·BP=(x－1〕；

22DPC当P在CD上时，即2＜x≤3时，

11S△ABP=·1·1=；当P在DA上时，

221即3＜x≤4时，S△ABP=(4－x)

2PAB0 (0x1)1(x1) (1x2)2故g(x)=1

(2x3)21(4x) (3x4)28(1)证明∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，

y112o1234x

∴f(4)=f(4－5)=f(－1),

又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0

(2)解当x∈［1,4］时，由题意，可设

f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0

得a(1－2)－5+a(4－2)－5=0，

22解得a=2,∴f(x)=2(x－2)－5(1≤x≤4)

2(3)解∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，

∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,

又y=f(x)(0≤x≤1)是一次函数，

∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),

∵f(1)=2(1－2)－5=－3,f(1)=k·1=k,∴k=－3

2∴当0≤x≤1时，f(x)=－3x,

当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,

当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15,

当6＜x≤9时，

1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］－5=2(x－7)－5

223x15 (4x6)∴f(x)=

22(x7)5 (6x9)