重庆2019年数学中考填空、选择难点题型专题讲座及练习(含解析)

2024年1月11日发(作者：)

2019年重庆数学中考填空、选择难点题型专题讲座及练习

题型一：锐角三角函数与实际问题

【例1】某班的同学想测量一教楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i1:3．在离C点45米的D处，测得一教楼顶端A的仰角为37，则一教楼AB的高度约为（ ）米（结果精确到0.1米）（参考数据：sin370.60，

cos370.80，tan370.75，31.73）

A．44.1 B．39.8

C．36.1

D．25.9

【思路点拨】延长AB交直线DC于点E。在Rt∆CBE中，利用坡度的定义和勾股定理，可求得CE、BE的长，于是求得DE的长，然后在直角三角形DAE中，利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长.。

【例题解析】延长AB交直线DC于E。

在Rt∆BCE中，∵坡度i1:3，

设BE=k，则CE=3k，BC=2k.

∵.BC=16，解得k=8.

∴BE=8，CE=83，∴DE=DC+CE =458358.84.

在Rt∆AED中，tan∠ADE=∴AE=tan370.75。

DEAE0.75，解得：AE44.13

58.84∴AB=AE–EB=44.13–8≈36.1（米）

故本题应选C.

巩固练习一

1.如图，地面上点A和点B之间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为i1:0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°．已知AM=8米，则BMooo大约为（ ）米．（参考数据：sin40»0.64，cos40»0.77，tan40»0.84）

A．8.6 B．10.7

C．15.4 D．16.7

【答案】B

【解析】如图，过E点作DF⊥AB于F点，过C点作CG⊥AB于G点，

∵AC=10，坡比为=1：0.75，∴CG=8，AG=6，∴EF=ED+DF=6+8=14，

又∠B=40°，∴BF===16.7，

AE40°DCNMB又GM=AM-AG=2，∴AF=AM-FG-GM=2，

∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，

故选B.

2.某风景区在坡度为7：24的斜坡AB上有一座标志性建筑物BC．在点A处测得建筑物顶部C的仰角为31°，斜坡AB的长度为200米．则这座建筑物BC的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）

A. 42.9米 B.59.2米

C.70.0米 D.115.2米

【答案】B

【解析】如图，延长CB交水平面于点D，

∵∠CDA=90°，由坡度i7：24，可得设BD=7x，AD=24x，

根据勾股定理BD+AD=AB可得（7x）+（24x）=200，

解得：x=8或x=-8（舍），则BD=56，AD=192，

在Rt△ACD中，CD=ADtan∠CAD=192tan31°≈115.2，

∴BC=CD-BD=115.2-56≈59.2（米），

故选：B．

222222BD7

AD24

3.如图，小华站在水库的堤坝上的G点，看见水库里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角∠FDC=30° ,若小华的眼睛与地面的距离DG=1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度i=4: 3，坡长AB为8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为( )米

(31.732，结果精确到0.1.米)

A. 8 B. 8.1

C. 8.3 D. 8.4

【答案】D

【解析】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H,得Rt△ABE和矩形BEHG.

BE43224,AB=8米，∴BE=, AE=.

AE35532∵DG=1.6,BG=0.7,∴DH=DG+GH=1.6+=8，

524AH=AE+EH=+0.7=5.5

5∵i在Rt△CDH中，

∵∠C=∠FDC=30°, DH=8,tan30°=DH3，

CH3∴CH=83.

又∵CH=CA+5.5,即83=CA+5.5，∴CA=83-5.5≈8.4

故本题应选D.

题型二：反比例函数与几何图形

【例题2】如图，反比例函数（k>0）在第一象限内的图象过OABC顶点A，且与BC交于点D，点A、D的横坐标分别为2、3．连接AD，△ABD的面积为，则k的值为（ ）

A. 4 B. 5

C. D.

【答案】D

【分析】

设A（2，），D（3，），OC=AB=2，再根据三角形ABD的面积为AB·（-）=，即可解出k=.

【详解】解：依题意设A（2，），D（3，）

∵AB=OC=2，

∴S△ABD=AB·（-）=，

解得k=，

故选：D

【点睛】此题主要考察反比例函数中的三角形问题，根据已知条件方可解答.

巩固练习二

1.如图，已知四边形OABC是平行四边形，反比例函数连接OD,CD,若BD=3AD，△OCD的面积是10，则k的值为（ ）

A. 10 B. -5

C. D.

的图象经过点C，且与AB交于点D，【答案】D

【解析】

分析：作DE⊥AO于E，作CF⊥AO于F，根据反比例函数的几何意义可知：点

根据BD=3AD，可知点

根据梯形面积公式代入运算即可求出的值.

设详解：如图，作DE⊥AO于E，作CF⊥AO于F，

根据反比例函数的几何意义可知：设点

根据BD=3AD，可知点

化简得：故选D.

点睛：考查反比例函数的几何意义，得出

2.如图，将矩形 ABCO

放在直角坐标系中，其中顶点 B

的坐标为（10，8），E

是 BC

边上

一点，将△ABE沿 AE折叠，点 B刚好与 OC

边上点 D

重合，过点 E

的反比例函数 y＝交于点 F，则线段 AF

的长为（

）

是解题的关键.

k的图象与边 AB

x

A．15153 B．2 C． D．

482

【解答】解：∵ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上点D重合，

∴AD＝AB＝10，DE＝BE，

∵AO＝8，AD＝10，∴OD＝102826，CD＝10﹣6＝4，

设点E的坐标是（10，b），则CE＝b，DE＝8﹣b，

∵CDCEDE，∴4b8b，

222222解得b＝3，

∴点E的坐标是（10，3），∴k＝10×3＝30，

∴线段AF的长为：308故选：A．

题型三：几何问题

【例3】如图，E为正方形ABCD边AB上的一点，且AB＝3，BE＝1．将△CBE翻折得到△CB'E，连接并延长DB'与CE延长线相交于点F，连接AF，则AF的长为_____．

15．

4

【答案】

【解析】作CH⊥B′D于H，连接AC，根据翻转变换的性质、等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质得到△AFC∽△HCD，证明△AFE∽△CBE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

【详解】作CH⊥B′D于H，连接AC，由翻折变换的性质得：∠BCE＝∠B′CE，CB′＝CD，CH⊥B′D，∴∠B′CH＝∠DCH，∴∠ECH＝45°．

∵∠ACF+∠BCE=45°，∴∠ACF＝∠DCH，∴，∴．

又∵∠ACF＝∠DCH，∴△AFC∽△HCD，∴∠AFC＝∠DHC＝90°，

∴∠AFC＝∠CBE，又∠AEF＝∠CEB，∴△AFE∽△CBE，

∴，即故答案为：，解得：AF．

．

【点睛】本题考查了翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

巩固练习三

1.如图，在△ABC中∠B=60°，点D是AC的中点，点E和点F是AB边上两点，连接CE，FD．若EB=CB，AF=FE+EC，BC=2，则FD=____．

【答案】1

【解析】依题意可知△EBC为等边三角形，故AF=FE+EC=EF+EB=BF，则F为AB中点，再利用中位线定理可知FD=BC=1

【详解】解：∵∠B=60°，EB=CB，∴△EBC为等边三角形，

∴EC= EB，则AF=FE+EC=EF+EB=BF，

∴F为AB中点，

又D是AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，

故FD=BC=1.

【点睛】此题主要考察三角形中线段问题，灵活运用等边三角形、中点及中位线定理即可解出.

2.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE＝CF，②∠AEB＝75°，③AG＝2GC，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）

A．2个

C．4个

B．3个

D．5个

【答案】B

【解析】∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．

∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE+∠DAF＝30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

，

∴BE＝DF，∴CE＝CF，故①正确；

∵∠BAE＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAF＝30°，

即∠DAF＝15°，∴∠AEB＝75°，故②正确；

设EC＝x，由勾股定理，得

EF＝x，CG＝x，AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，

∴AG≠2GC，③错误；

∵CG＝∴AB＝AC•∴BE+DF＝（2x，AG＝＝x，∴AC＝x，∴BE＝x

x﹣x＝x，

﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；

x×x＝x，

2∵S△CEF＝x，S△ABE＝×BE×AB＝∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，

故选：B．

题型四：一次函数与行程问题

【例4】在一条笔直的公路上顺次有A、B、C三地，甲车从B地出发往A地匀速行驶，到达A地后停止．在甲车出发的同时，乙车也从B地出发往A地匀速行驶，到达A地停留1小时后，调头按原速向C地行驶．若AB两地相距300千米，在两车行驶的过程中，甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则在两车出发后经过_____小时相遇．

【答案】

【分析】

观察函数图像可知A、C两地的间距，由速度=路程÷时间可求出乙车的速度，结合甲、乙两车速度间的关系可求出甲车的速度，再求出乙车从A地返回时两车的间距，依据相遇时间=4+两车的间距÷两车的速度和，即求出甲、乙两车相遇的时间.

【详解】解：最总两车相距400km， A、C两地相距400km，

乙车的速度为（300+400）÷（8-1）=100km/h，甲车的速度为100-120÷3=60 km/h，

乙车从A地返回时，两车的间距为300-60×4=60km，∴两车相遇的时间为4+60÷（100+60）=.

故答案为：.

【方法指导】（1）先根据题意，画出线段图。然后结合线段图，理解函数图像中每段函数图像及每个图像交点的实际意义；（2）要先求出物体的速度，然后再解答其他问题。

巩固练习四

1.一辆客车和一辆货车沿着同一条线路以各自的速度匀速从甲地行驶到乙地，货车出发3小时后客车再出发，客车行驶一段时间后追上货车并继续向乙地行驶，客车到达乙地休息1小时后以原速按原路匀速返回甲地，途中与货车相遇.客车和货车之间的距离（千米）与客车出发的时间（小时）之间的关系的部分图象如图所示．当客车返回与货车相遇时，客车与甲地相距________千米．

【答案】

【解析】根据图象求出货车和客车的速度,求出客车开始返程至遇见货车用时，进而求出两地的距离.

详解：货车3小时行驶270千米，可知货车速度为，客车9小时追上客车，可知客车速度为，客车开始返程至遇见货车用时距

，客车与甲地相故答案为：.

点睛：考查一次函数的实际应用问题，此类题是今几年中考热点，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题求解.

2.甲从A地到B地，1分钟后乙沿同一条路线也从A地道B地，在A、B之间的C地乙追上甲，甲立即返回A地，乙继续向B地前行，两人到达各自目的地后停止行走，在整个过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟之间的关系如图所示，则乙到达B地时，甲与A地相距的路程是 米。

【解析】由题意及函数图象可得，

甲的速度为: 60+1=60(米/分钟)，乙的速度为:

(60×6－10)÷(6－1)= 70(米/分钟)，

甲乙到达C地的时间为第t分钟，则60t=70(t－1)，

解得t=7,

乙从C地到B地用的时间为：(770 －60×7)÷70=5(分钟)，

∴乙到达B地时，甲与A地相距的路程是：60×(7－5)=120(米)

故答案为: 120.

题型五：不定方程组与实际应用问题

【例题5】某文具商店对文具进行组合销售，甲种组合：2支红色圆珠笔，4支黑色圆珠笔；乙种组合：38支黑色圆珠笔，1个笔记本；2支红色圆珠笔，6支黑色圆珠笔，1个笔记本．支红色圆珠笔，丙种组合：已

知红色圆珠笔每支2元，黑色圆珠笔每支1.5元，笔记本每个10元．某个周末销售这三种组合文具共485元，其中红色圆珠笔的销售额为116元，则笔记本的销售额为________元．150

【分析】

设卖出的甲,乙,丙种组合分别为x,y,z套,根据题意可列方程组经过化简消元可得y+z=15,因为甲种组合没有笔记本,乙种组合笔记本为1本,

丙种组合笔记本为1本,所以笔记本为1本的数量为y+z本,由“总价=单价×数量”可求出笔记本的销售额.

【详解】

解:设该天卖出的甲,乙,丙种组合分别为x,y,z套,

根据题意列方程组

方程组变形为由②-①

消去x可得13(y+z)=195

③

③化简得：y+z=15

甲种组合没有笔记本,乙种组合笔记本为1本,

丙种组合笔记本为1本,

所以笔记本为1本的数量为：y+z=15（本）

笔记本的销售额为故答案为：150.

【方法指导】（1）常见题型有两种：一是利用不定方程组求代数式的值；二是利用不定方程组、不等式求代数式的值。（2）此类题信息量大，数量关系复杂，可以通过画表格来帮助理解题意，并列式解答。

巩固练习五

1.冬至节快到了，李老师和杨老师都准备给班级同学买饺子吃．到了超市两人均买了两款饺子，A款单价为33元/袋，B款41元/袋．其中李老师购买A款数量少于B款数量，合计花了500多元．杨老师购买的A，B两款的数量刚好与李老师互换，也花了500多元，巧合的是所花费用的十位数字与个位数字刚好也和李老师所花费用的十位数字与个位数字互换．则李老师购买A，B两款饺子共计____袋．

【分析】

依题意设李老师买了A款饺子x袋，B款饺子y袋，购买的金额十位上的数字为a，各位上的数字为b，则可列出方程组：多，所以+33y，

，故1000＜74（x+y）＜1200，即13.5＜x+y＜16.2.所以x+y可能为14、15、16.再根据，+得x+y=，由两次购买的钱数都是500（元）

杨老师所花费用的十位数字与个位数字刚好也和李老师所花费用的十位数字与个位数字互换来求得x+y=15.

【详解】解：依题意设李老师买了A款饺子x袋，B款饺子y袋，购买的金额十位上的数字为a，各位上的数字为b，则可列出方程组：+∵得x+y=，③，

+33y

∴1000＜74（x+y）＜1200，即13.5＜x+y＜16.2

x+y可能为14、15、16

当x+y=14时，代入③得11a+11b=36，不符题意，

当x+y=15时，代入③得11a+11b=110，a+b=10符题意，

当x+y=16时，代入③得11a+11b=184，不符题意，

故x+y=15，填15.

【点睛】此题主要考察二元一次方程组与不等式的综合利用，仔细分析题意方可解答.

课后练习

1.如图，重庆楼房的一大特色是：你住底楼门口是公路，坐电梯上顶楼，你的门口还是公路!小明家所住的大楼AB就是这样一栋有鲜明重庆特色的建筑.从距离大楼底部B30米处的C,有一条陡坡公路，车辆从C沿坡度i=1:2.4,坡面长13米的斜坡到达D后，再沿坡脚为30°的斜坡行进，即可达到大楼的顶端A处，则大楼的高度AB约为( ) 米

（精确到0.1 米，31.73，52.24）

A. 26.0 B. 29.2

C. 31.1 D. 32.2

【答案】B

【解析】过点D作DF⊥AB与点F,过点C作CE⊥DF与图所示:CD 的坡度i=1: 2.4，CD=13,.设CE=x，则DE=2.4x,

∴CD=x2.4x22点E,如13x13

5

解得：x=5,

∴CE=5米，DE=12 米.

在Rt△ADF中，∠ADF=30", DF=DE+EF=42,

AF=DFtan∠ADF≈24.2米，

∴AB=AF+BF=29.2米

故本题选B

2.鹅岭公园内的小山坡上有一观景楼AB（如图），山坡BC的坡度为i=1:2.4,为了测量观景楼AB的高度，小楚在山脚C处测得观景楼顶部A的仰角为45°，然后从山脚C沿山坡CB向上行走26米到达E处，，（A、B、C、D、E在同一平面内）测得观景楼顶部A的仰角为72°，则观景楼AB的高度约为（

）米.（结果精确到0.1米，参考数据：，，）

A. 15.6米 B. 18.1米 C. 19.2米 D. 22.5米

【答案】B

【解析】如图，作EF⊥AD于F，作EG⊥CD于G，

则EF=DG、FD=EG，

∵

设∵

即

∴FD=EG=10，

由

∴AD=CD,即

知

解得：解得：x=7，AD=CD=31，

解得：故选B.

点睛：考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.注意坡度的应用.

3.如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC 和 AB 上，BE＝3，AF＝2，BF＝4，将△ BEF 绕点 E顺

时针旋转，得到△GEH，当点 H 落在 CD 边上时，F、H 两点之间的距离为 ．

【解答】解：正方形ABCD的边长AB=6，而BE=3，则CE=3.

4.如图，在菱形ABCD中，tanA=4, M, N分别在边AD, BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对3BN的值为_ .

CN应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，

【解析】解：延长NF与DC交于点H，

5.A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀

速行驶。甲车先出发40分钟后，乙车才出发，途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时(仍保持匀速前行)，甲、乙两车同时到达B地。甲、乙两车相距的路程y (千米)与甲车行驶时间x (小时)之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有_____千米。

【解析】由题意可得，

40= 45千米/时，

6016甲车从A地到B地用的时间为: 240+45=(小时),

32乙车刚开始的速度为:[45×2-10]÷(2－)=60千米/时，

3甲车的速率为: 30÷∴乙车发生故障之后的速度为：60－10=50千米/时,

设乙车发生故障时，乙车已经行驶了a小时，

71402060a505a240，解得a

336060∴乙车修好时，甲车行驶的时间为：4072010小时

60360311090千米

33∴乙车修好时，甲车距B地还有：455故答案为: 90。

6.A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发。他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行，甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走。在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走。甲、乙两人相距的路程y (米)与甲出发的间x (分钟)之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是____米 。

【解析】由已知图形可知：甲在5分钟内行走了

2380－2080=300 (米) ,

∴甲的速度为300+ 5=60(米/分钟),

由已知图形可知：在甲出发后的14分钟时，即在乙出发后的9分钟时，两人相距910米，

则有乙在9分钟内行走了:2080-910-60x(14-5)=630 (米)

∴乙的速度为630÷9=70(米/分钟),

设两人相遇的时间是在乙出发后的x分钟，则由已知得: 60x

+70x=

2080，即130x = 2080,解得x=16,

∴C地距离A地: 5x60+16 x60= 1260: (米)，

从C地到地，乙需用1260+70=18 (分钟),

在18分钟内甲只能行走18x60=1080 (米)，

∴在乙到达A地时，甲与A地相距的路程是:1260－1080=180 (米)。故答安是: 180。

7.一间手工作坊，分成了两块区域，第一块区域里摆了一张四方桌（四条腿）和若干圆凳（三脚凳），第二块区域里摆了一张圆形桌（六条腿）和若干方凳（四脚凳）.现有若干学生来到作坊进行手工创作比

赛，每人分别落座后，将多余的凳子撤出手工作坊，他们分别围坐在方桌和圆桌旁开始今天的创作.此时，一位在场的学生发现整个手工作坊里人脚加桌脚加凳脚共有38条（包括观察者本身）．最后统计发现第一块区域的参赛学生平均每人完成了10件作品，第二块区域的参赛学生平均每人完成了5件作品，那么所有参加本次比赛的学生平均每人完成 件作品．