高中数学竞赛专题讲座之二:数列

2023年12月7日发(作者：)

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一、选择题部分

高中数学竞赛专题:数列

2，则an的最大项是（）

n24n5C．a3 D．a4

1．（2006年江苏）已知数列an的通项公式an A．a1 B．a2

23an210an2．（2006安徽初赛）正数列满足a11,a210,antn3，则lg(a100)（ ）

A．98 B．99 C．100 D．101

3．（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为 （）

A．2007 B．2008 C．2006 D．1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等

式|Sn-n-6|< A．5

1的最小整数n是

125B．6

C．7

D．8

2005（ ）

5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= A．1 B．-1

3xn13xn，则xn1n= （ ）

D．-2+3 C．2+3

（ ）

{bn}的前n项和分别为An，Bn记CnanBnbnAnanbn(n1)则数列6．（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}、{Cn}的前10项和为

A．A10B10 B．A10B10 C．A10B10 D．A10B10

22227．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f(123)12314。记f1(n)f(n)，fk1(n)f(fk(n))，k1,2,3,，则f2006(2006)＝ （ ）

二、填空题部分

11(an),则an=______.

2an2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0abcd，da90，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则abcd的值等于 ．

1．数列an的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn3．（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，

n36，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则lim=________.

nS(n)1111115410361023451111114．（2006年江苏）等比数列an的首项为a12020，公比q．

2设fn表示这个数列的前n项的积，则当n 时，

fn有最大值．

25．在x轴的正方向上，从左向右依次取点列

Aj,j1,2,，以及在第一象限内的抛物线y取点列Bk,k1,2,，使Ak1BkAk（k1,2,）都是等边三角形，其中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 .

6．(2005年浙江)已知数列xn，满足(n1)xn1xnn, 且x12， 则x2005= .

a3a4aa7．(2005全国)记集合T{0,1,2,3,4,5,6},M{12|aiT,i1,2,3,4},将M中的元素按从大到小的顺序7727374排列，则第2005个数是 （ ）

3x上从左向右依次255635562B．234

234

7777777711041103C．234 D．234

777777778．（2004 全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3an1)(6an)18,且a03，

A．则1的值是_________________________。

ioairstn9．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a222,0tsr}中的数由小到大组成数列{an}：7,11,13,14,，则a36 。

三、解答题部分

1．（200 6天津）已知数列{an}满足a1p，a2p1，an22an1ann20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小．

2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2)3sin,设tanx,tany,记yf(x).

（1）求f(x) 的表达式;

（2）定义正数数列{an};a112,an12anf(an)(nN*)。试求数列{an}的通项公式。

23．（2006安徽初赛）已知数列ann0满足a00，对于所有nN，有an1230anan111an5，求an的通项公式．

4．（2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0. （ ）

*5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an4n1 (nN)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.

.

6．（2004湖南）设数列{an}满足条件：a11,a22，且an2an1an(n1,2,3,)

求证：对于任何正整数n，都有

nan111nan

an1,当n为偶数时，27．（2006年上海） 数列an定义如下：a11，且当n2时，an

1,当n为奇数时．an1 已知an30，求正整数n．

1927an45an3613．(2005全国)数列{an}满足：a01,an1,nN.

2证明：（1）对任意nN,an为正整数；(2)对任意nN,anan11为完全平方数。

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