第三讲 素数与合数
一、基础知识：
对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。
例如：2，3，5，7，11，…都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。
质数p和a互质，必要而且只要p|\ a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数±p，故二者不互质。若p|\ a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。
质数的性质
性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.
性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。
性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，并且当a 是合数时，q
证明： 假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1<b<q。但q|a ， 所以b|a，这与q是a的除1外的最小正因数矛盾，因而q是质数。
当a是合数时，则a=c·q 且c>1，否则a是质数。由于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c ，qc=a 故q。
说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于的某些质数的倍数。换言之，如果所有不大于的质数都不能整除a，那么a一定是质数（作为性质4如下）。此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。例如判断191是不是素数。因为不大于<14的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。
这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。由于不大于<8的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保留2,3,5,7）最后余下的数就是50以内的全体质数。这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。
性质4．如果对任意1到之间的素数p，都有pa，那么a为素数，这里a（a>1）为正整数。
证明：事实上，若a为合数，则可写成，，因此，即，
这表明p的素因子，且它是a的因数，与条件矛盾。因此a为素数。
性质5．质数的个数是无穷的
证明：（利用反证法）假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p ，设q为所有素数之积加上1，那么，q =( 2 * 3 * 5 * …… * p )+ 1不是素数，那么，q可以被2、3、……、p中的数整除，而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。
所以，素数是无限的。
二、典型问题：
例1．设p，q，r都是素数，并且，求p
解：由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p,q为一个奇数和一个偶数。因为p<q，故p既是质数又是偶数，于是p=2.
思考：当p=2时，r=2+q，满足r=2+q的两个素数叫做孪生素数，请写出前十对孪生素数。
例2.设均为素数，且，，求的值。
分析：要求abc的值，不一定要把a,b,c都求出来。注意到3个质数的和是偶数，所以a,b,c中必然有一个是偶数，它只能是2，代入第二个等式，便可求出另两个数的乘积。
解：不妨设
由，得a=2，则，代入，得bc=989，故abc=1978
例3 解方程：，其中x,y是素数，z是奇素数。
解：因为z是奇数，所以z+120是奇数，所以x和x+y均为奇数，所以y=(x+y)-x为偶数。
又y为质数，所以y=2，所以x(x+2)=z+120
所以，即，又z为质数，且x-10<x+12
所以，所以x=11，z=23
故方程的解为
例4.若n是正整数，且是一个素数，求n的值。
解：因为=是一个质数，所以5|(n-1)(n2+n+1)
所以5|(n-1)，或5|(n2+n+1)，若5|(n2+n+1)，因为n>1，所以n2+n+122+2+1>5
又是一个质数，所以n-1=1，即n=2，但此时n2+n+1=7，与5|(n2+n+1)矛盾。
所以5|(n-1)，又n2+n+1>1，所以n-1=5，即n=6
此时=43是质数，综上所述n=6
例5 设n为正整数，且n与均为素数，求证：也是素数。
证明：若n为奇质数，则5n2为奇数，
所以为偶数。
又因为n为正整数，显然>2
所以为合数，这与为质数矛盾。
所以n为偶质数，即n=2
当n=2时，=29为质数。
例6 设p，p+10，p+14都是素数，试确定所有的p。
解：设p=3k+r(r=0,1,2)
(1)当r=1时，p=3k+1，则p+14=3k+1+14=3(k+5)，为合数，与条件矛盾；
(2)当r=2时，p=3k+2，则p+10=3k+2+10=3(k+4)，为合数，与条件矛盾；
由(1)(2)可知，要使p，p+10，p+14都是素数，只能r=0，即p=3k，
此时，当且仅当k=1时，p=3为素数，此时p+10=13，p+14=17也都是素数，所以满足条件。故满足题意的p只有3。
说明：质数被2除，除2外，只能是2k+1型的数；质数被3除，除3外，只能是3k+1与3k-1型的数；以此类推，特别地，质数被6除，只能是6k+1和6k-1型的数。
例7 若p和p+2都是大于3的素数，求证：p+1是合数，且6是它的一个约数。
分析：由6是p+1的一个约数，提示我们应将质数p被6除，分为两类，即6k+1和6k-1型的数
证明：因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类，
其中质数p只能是6k+1和6k-1型的数
若p=6k+1，则p+2=3(2k+1)是合数，不合题意；
所以p=6k-1，这时p+1=6k是合数，且6是它的一个约数。
例8 设m为正整数，且被m整除，求证：m为质数。
证明：假设m为合数，令m=pq(1<p<m，1<q<m)，则A=中含有因子p，因而A+1不会被p整除，它更不会被m整除，这与题设矛盾，从而可知m为质数。
例9 设n是大于1的正整数，求证：是合数。
分析：我们只需把写成两个大于1的整数的乘积即可
证明：===
因为
所以是合数。
例10 若为正整数，且，，求证：为合数。
分析：将用x1，x2的代数式表示，再化为两个大于1的正整数之积。
证明：=(x1+x2)2+(1-x1x2)2==
因为x1，x2是正整数，所以
所以为合数。
例11 给定下表：
1 4 7 10 13
4 9 14 19 24
7 14 21 28 35
10 19 28 37 46
13 24 35 46 57
求证：（1）若N在表中，则2N+7不是素数；
（2）若N不在表中，则2N+7是素数。
证明：由观察可知，表中第m行、第n列处的数为n(2m+1)+m-3
（1）若N为表中第m行、第n列处的数，则2N+7=2[n(2m+1)+m-3]+7=(2n+1)(2m+1)
因为m，所以2n+11，2m+11，所以2N+7不是素数
（2）设2N+7=pq，p>1，q>1，则p,q必为正奇数，令p=2n+1，q=2m+1
所以2N+7=pq=(2n+1)(2m+1)，N=n(2m+1)+m-3
显然N为表中第m行、第n列处的数。
例12 是否存在连续四个正整数，它们均为合数？若存在，求出其中最小的一组数；若不存在，说明理由。
分析：连续四个正整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，一个是4的倍数。
解：设n=，则n，n+1，n+2，n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数，它们均为合数，且是最小的一组。
说明：如果不要求最小的一组，设n=，则n+2，n+3，n+4，n+5分别含有约数2,3,4,5，故它们是四个连续的合数，所以符合条件的合数有无数多组。
例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？
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