【高中数学导数专题讲义（答案版）】
最新导数专题讲座内容汇总导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；
二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤：
第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；
第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；
当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；
第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；
第四步、（列表）根据第五步的草图列出，随变化的情况表，并写出函数的单调区间；
第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：
1.最高次项系数是否为0；
2.导函数是否有极值点；
3.两根的大小关系；
4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路：
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立；
（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；
（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为
导函数在区间上大于零或小于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1）参变分离；
（2）导函数的根与区间端点直接比较；
（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼：
（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；
（2），由（或）可将恒成立转化为（或）恒成立；
（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。
【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性；
【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．（Ⅰ）函数的定义域为．．（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时，令，得．当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．综上所述，当时，函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．依题意有，解得，所以．（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．依题意有，解得，所以．综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．因为切线过点，则．即．………………① 令，则．（1）当时，在区间上，，单调递增；
在区间上，，单调递减，所以函数的最大值为．故方程无解，即不存在满足①式．因此当时，切线的条数为．（2）当时, 在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．取，
则．故在上存在唯一零点．取，则．设，，则．当时，恒成立．所以在单调递增，恒成立．所以．故在上存在唯一零点．因此当时，过点P存在两条切线．（3）当时，，显然不存在过点P的切线．综上所述，当时，过点P存在两条切线；
当时，不存在过点P的切线．【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，. （Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
(Ⅲ) 求证：直线不是曲线的切线. （Ⅰ）函数的定义域为，当变化时，，的变化情况如下表：
递减极小值递增函数在上的极小值为，所以的最小值为（Ⅱ）解：函数的定义域为，由（Ⅰ）得，，所以所以的单调增区间是，无单调减区间. （Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线. 设切点为，则，即又，则. 所以, 得，与矛盾所以假设不成立，直线不是曲线的切线【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数，且. (Ⅰ) 求的值及的单调区间；
(Ⅱ) 若关于的方程存在两个不相等的正实数根，证明：. （Ⅰ）对求导，得，所以，解得. 故，. 令，得. 当变化时，与的变化情况如下表所示：
0 0 ↘ ↗ 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （Ⅱ）解：方程，即为，设函数. 求导，得．由，解得，或. 所以当变化时，与的变化情况如下表所示：
0 ↘ ↗ 所以函数在单调递减，在上单调递增. 由，得. 又因为，所以. 不妨设（其中为的两个正实数根），因为函数在单调递减，且，，所以. 同理根据函数在上单调递增，且，可得，所以，即 . 【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数. （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围. （Ⅰ） (1)
分由已知，解得. …………3分（II）函数的定义域为. （1）当时, ，
的单调递增区间为；
……5分（2）当时. 当变化时，的变化情况如下：
- + 极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是. …………8分（II）由得，…………9分由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立. 即在上恒成立. …………11分令，在上，所以在为减函数. , 所以. …………14分【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数，. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由；
（Ⅲ）求函数的单调区间. 函数的定义域：. . （Ⅰ）当时，. . 有，即切点（1,3）， . 所以曲线在点处切线方程是，即. （Ⅱ）若，. . 令，得（舍），. －＋↘ 极小值↗ 则. 所以函数不存在零点. （Ⅲ） . 当，即时，－＋↘ 极小值↗ 当，即时，的单调增区间是，；
当，即时，＋－＋↗ 极大值↘ 极小值↗ 当，即时，＋＋↗ ↗ ＋－＋↗ 极大值↘ 极小值↗ 综上时，的单调增区间是；减区间是. 当时，的单调增区间是,；减区间是. 当时，的单调增区间是; 当时，的单
调增区间是，；减区间是. 【练1-4】（2015-2016丰台期末文20）设函数的图象与直线相切于点．（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围. （Ⅰ）∵函数的图象与直线相切于点，∴，．∵，∴ 解得．∴．（Ⅱ），令，得或；
令，得．∴的单调递增区间为，；
单调递减区间为．…8分（Ⅲ）记在上的值域为，在上的值域为，∵对于，，使得，∴．由（Ⅱ）得：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，∴．∵，∴．① 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为或，的最大值为或．∵，且，∴或，∴或，即或．又∵，∴．② 当时，在上单调递增，
上单调递减，∴的最小值为或，的最大值为．∵，且，∴，∴，即．综上所述：或．【练1-5】（2015-2016朝阳二模文20）已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在区间上恒成立，求的取值范围. (Ⅰ) 函数的定义域为,. （1）当时，, 令，解得，则函数的单调递增区间为令，解得，函数单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为；
令，解得，函数单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为. （4）当时，, 令，解得或，则函数的单调递增区间为，；
令，解得，则函数的单调递减区间为. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为（Ⅱ）依题意，在区间上. ，. 令得，或. 若，则由得，，函数在()上单调递增. 由得，，函数在()上单调递减. 所以，满足条件；
若，则由得，或；
由得，. 函数在()，上单调递增，在上单调递减. ，依题意，即，所以；
若，则. 所以在区间上单调递增，，不满足条件；
综上，. 【练1-6】（2015-2016房山二模文19）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线与曲线没有公共点，求实数的取值范围。
（Ⅰ），定义域为，令极小值所以的增区间为，减区间为。
（II）因为直线与曲线没有公共点，所以方程无实根，即无实根，等价于无实根设，即无零点。
当时，，显然无零点，符合题意；
当时，令极小值，显然不符合题意；
当时，令极大值，所以时，符合题意综上所述：
【练1-7】（2015-2016朝阳一模文19）已知函数. （Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程；
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