微积分题目

微积分题目

g1032-植物的主要类群

2023年3月20日发(作者：中小学电教)

1

综合练习题1（函数、极限与连续部分）

1．填空题

（1）函数

)2ln(

1

)(





x

xf的定义域是．答案：2x且3x.

（2）函数24

)2ln(

1

)(x

x

xf



的定义域是．答案：]2,1()1,2(

（3）函数74)2(2xxxf，则)(xf．答案：3)(2xxf

（4）若函数

















0,

0,1

3

sin

)(

xk

x

x

x

xf在0x处连续，则k．答案：1k

（5）函数xxxf2)1(2，则)(xf．答案：1)(2xxf

（6）函数

1

322







x

xx

y的间断点是．答案：1x

（7）

x

x

x

1

sinlim．答案：1

（8）若2

sin

4sin

lim

0



kx

x

x

，则k．答案：2k

2．单项选择题

（1）设函数

2

eexx

y







，则该函数是（）．

A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

答案：B

（2）下列函数中为奇函数是（）．

A．xxsinB．

2

eexx

C．)1ln(2xxD．2xx

答案：C

（3）函数)5ln(

4





x

x

x

y的定义域为（）．

A．5xB．4xC．5x且0xD．5x且4x

答案：D

（4）设

1)1(2xxf，则)(xf（）

A．)1(xxB．2x

2

C．)2(xxD．)1)(2(xx

答案：C

（5）当k（）时，函数













0,

0,2

)(

xk

xe

xf

x

在0x处连续.

A．0B．1C．2D．3

答案：D

（6）当k（）时，函数













0,

0,1

)(

2

xk

xx

xf，在0x处连续.

A．0B．1C．2D．1

答案：B

（7）函数

23

3

)(

2





xx

x

xf的间断点是（）

A．2,1xxB．3x

C．3,2,1xxxD．无间断点

答案：A

3．计算题

（1）

4

23

lim

2

2

2



x

xx

x

．

解：

4

1

2

1

lim

)2)(2(

)1)(2(

lim

4

23

lim

22

2

2

2



















x

x

xx

xx

x

xx

xxx

（2）

32

9

lim

2

2

3



xx

x

x

解：

2

3

4

6

1

3

lim

)1)(3(

)3)(3(

lim

32

9

lim

33

2

2

3



















x

x

xx

xx

xx

x

xxx

（3）

45

86

lim

2

2

4



xx

xx

x

解：

3

2

1

2

lim

)1)(4(

)2)(4(

lim

45

86

lim

44

2

2

4



















x

x

xx

xx

xx

xx

xxx

综合练习题2（导数与微分部分）

3

1．填空题

（1）曲线

1)(xxf

在)2,1(点的切斜率是．

答案：

2

1

（2）曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是．

答案：1xy

（3）已知xxxf3)(3，则)3(f



=．

答案：3ln33)(2xxxf



)3(f



=27（)3ln1

（4）已知xxfln)(，则)(xf



=．

答案：

x

xf

1

)(



，)(xf



=

2

1

x



（5）若xxxfe)(，则



)0(f．

答案：xxxxf



ee2)(





)0(f2

2.单项选择题

（1）若

xxfxcose)(，则)0(f



=（）．

A.2B.1C.-1D.-2

因

)(cosecos)e()cose()(













xxxxfxxx

)sin(cosesinecosexxxxxxx

所以)0(f



1)0sin0(cose0

答案：C

（2）设yxlg2，则dy（）．

A．

1

2

d

x

xB．

1

d

x

x

ln10

C．

ln10

x

xdD．

1

d

x

x

答案：B

（3）设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（）．

A．xxfd)2(cos2



B．xxxfd22sin)2(cos



4

C．xxxfd2sin)2(cos2



D．xxxfd22sin)2(cos





答案：D

（4）若

3sin)(axxf，其中a是常数，则



)(xf（）．

A．

23cosaxB．ax6sinC．xsinD．xcos

答案：C

3．计算题

（1）设xxy

1

2e

，求y



．

解：)

1

(ee2

2

1

2

1

x

xxyxx



)12(e

1

xx

（2）设xxy3cos4sin，求y



.

解：)sin(cos34cos42xxxy



xxx2cossin34cos4

（3）设

x

yx

2

e1，求y



.

解：

2

1

2

1(2

1

e

x

x

yx







（4）设

xxxycosln

，求y



.

解：

)sin(

cos

1

2

3

2

1

x

x

xy



xxtan

2

3

2

1



综合练习题3（导数应用部分）

1．填空题

（1）函数yx312()的单调增加区间是．

答案：),1(

（2）函数

1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则

a

应满足．

答案：0a

2．单项选择题

（1）函数2)1(xy在区间)2,2(是（）

5

A．单调增加B．单调减少

C．先增后减D．先减后增

答案：D

（2）满足方程0)(



xf的点一定是函数)(xfy的（）.

A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点

答案：C

（3）下列结论中（）不正确．

A．)(xf在

0

xx处连续，则一定在

0

x处可微.

B．)(xf在

0

xx处不连续，则一定在

0

x处不可导.

C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D．函数的极值点一定发生在不可导点上.

答案：B

（4）下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）．

A．xsinB．xeC．2xD．x3

答案：B

3．应用题（以几何应用为主）

（1）欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做法用

料最省？

解：设底边的边长为xm，高为hm，容器的表面积为ym2。怎样做法所用

材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知

2

2

108

,108

x

hhx

所以

x

x

x

xxxhxy

432108

442

2

22

令

0

432

2

2





x

xy

，解得唯一驻点6x。

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以

6x

是函数的极小值点也

是最小值点。故当6xm，

3

6

108

2

h

m时用料最省.

（2）用钢板焊接一个容积为43m底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用

为10元/m2，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总

费用是多少？

解：设水箱的底边长为

x

m，高为hm，表面积为Sm2，且有

2

4

x

h

6

所以

,

16

4)(22

x

xxhxxS

2

16

2)(

x

xxS



令

0)(



xS

，得2x.

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当2xm,

1h

m时水

箱的表面积最小.

此时的费用为

1604010)2(S

（元）

（3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法

用料最省？

解：设底边的边长为xm，高为

h

m，所用材料（容器的表面积）为ym2。

由已知

2

2

32

,32

x

hhx

所以

x

x

x

xxxhxy

12832

442

2

22

令

0

128

2

2





x

xy

，解得唯一驻点4x。

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以

4x

是函数的极小值点也

是最小值点。故当4xm，

2

4

32

2

h

m时用料最省.

请结合作业和复习指导中的题目进行复习。

综合练习题4（一元函数积分部分）

1．填空题

（1）若)(xf的一个原函数为2lnx，则)(xf.

答案：

x

2

（2）若cxxxf2sind)(，则)(xf．

答案：x2cos2

（3）若______________dosxxc

答案：cxsin

（4）2dex．

答案：

cx2e

7

（5）

xxd)(sin．

答案：cxsin

（6）若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(．

答案：cxF)32(

2

1

（7）若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2．

答案：cxF)1(

2

1

2

（8）.______d)2cos(sin

1

1

2

xxxxx

答案：

3

2



（9）e

1

2d)1ln(

d

d

xx

x

.

答案：0

（10）xxde0

2

=．

答案：

2

1

2．单项选择题

（1）下列等式成立的是（）．

A．)(d)(dxfxxfB．)(d)(xfxxf



C．)(d)(

d

d

xfxxf

x

D．)()(dxfxf

答案：C

（2）以下等式成立的是（）

A．)

1

d(dln

x

xxB．)(cosddsinxxx

C．x

x

x

d

d

D．

3ln

3d

d3

x

xx

答案：D

（3）

xxfxd)(（）





)()(



)(





)(

2

1





)()1(

答案：A

8

（4）下列定积分中积分值为0的是（）．

A．x

xx

d

2

ee1

1



B．x

xx

d

2

ee1

1



C．xxxd)cos(3







D．xxxd)sin(2







答案：A

（5）设)(xf是连续的奇函数，则定积分a

a

xxf

-

d)(（）

A．0B．0

-

d)(

a

xxfC．axxf

0

d)(D．0

-

d)(2

a

xxf

答案：A

（6）下列无穷积分收敛的是（）．

A．

0

dinxxsB．

1

d

1

x

x

C．

1

d

1

x

x

D．



0

2dexx

答案：D

3．计算题

（1）xxd)12(10

解：cxxxxx111010)12(

22

1

)1d(2)12(

2

1

d)12(

（2）x

x

x

d

1

sin

2

解：c

xxx

x

x

x



1

cos

1

d

1

sind

1

sin

2

（3）cxdx

x

xx

x

e2e2d

e

(4)

xxxd)e4(e2

2ln

0



解：

)ed(4)e4(d)e4(e2

2ln

0

2

2ln

0

xxxxx

=

3

1

30)125216(

3

1

)e4(

3

12ln

0

3x

(5)x

x

x

d

ln51e

1



9

解：

2

7

)136(

10

1

)ln51(

10

1

)ln51()ln51(

5

1

d

ln51

1

2

1

e

1





e

exxdxx

x

x

(6)xxxde1

0

解：1eedeede

1

0

1

0

1

0

1

0

xxxxxxxx

(7)

2

0

dsinxxx

解：1sindcoscosdsin2

0

2

0

2

0

2

0









xxxxxxxx

综合练习题5（积分应用部分）

1．填空题

(1)已知曲线)(xfy在任意点

x

处切线的斜率为

x

1

，且曲线过)5,4(，则该曲线的

方程是.答案：

12xy

(2)由定积分的几何意义知，xxa

ad

0

22=.答案：

4

2a

(3)微分方程1)0(,



yyy的特解为.答案：xye

(4)微分方程03



yy的通解为.答案：xcy3e

(5)微分方程

xyxyysin4)(7)4(3



的阶数为．答案：4

2.单项选择题

(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）．

A．y=x2+3B．y=x2+4

C．22xyD．12xy

答案：A

(2)下列微分方程中，（）是线性微分方程．

A．

yyyx



ln2B．xxyyye2



C．yyxye







D．xyyxyxlnesin







答案：D

(3)微分方程0



y的通解为（）．

A．CxyB．CxyC．CyD．0y

10

答案：C

(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）

x

y



d

d

；

x

y



d

d

；

x

y

sin

d

d

；D.)(

d

d

xyx

x

y



答案：B