牛顿冷却公式
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2023年3月20日发(作者：凉笔顺)⼏个⽆量纲数
Re
⼤名顶顶的雷诺数，决定流动特性，惯性⼒与粘性⼒之⽐
雷诺数Re(Reynoldsnumber)
Re=ρvL/μ
（ρ、μ为流体密度和动⼒粘度，v、L为流场的特征速度和特征长度。对外流问题，v、L⼀般取远前⽅来流速度和物体主要尺⼨，内流问题则取
通道内平均流速和通道直径）
雷诺数是惯性⼒与粘滞⼒的⽐值，在粘滞⼒作⽤下相似的流动，其粘滞⼒分布必须相似。⼆流动的粘滞⼒作⽤相似，它们的雷诺数必定相等，反之
亦然，这便是粘滞⼒相似准则，⼜称雷诺准则。
Pr
普朗特数是流体⼒学中表征流体流动中动量交换与热交换相对重要性的⼀个⽆量纲参数，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质
对对流传热过程的影响。在考虑传热的粘性流动问题中，流动控制⽅程(如动量⽅程和能量⽅程)中包含着有关传输动量、能量的输运系数，即动⼒
粘性系数μ、热导率k和表征热⼒学性质的参量定压⽐热Cp。通常将它们组合成⽆量纲的普朗特数来表⽰，简记为Pr。
动量扩散系数与热量扩散厚度之⽐的⼀种度量。反映热物性度对对流换热强度的影响。
普朗特数定义为流体运动粘性系数和热扩散率的⽐值或速度边界层和温度边界层的相对厚度。表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理
性质对对流传热过程的影响。在不同的流体于不同的温度、压⼒下，数值是不同的。
当⼏何尺⼨和流速⼀定时，流体粘度⼤，流动边界层厚度也⼤；流体导温系数⼤，温度传递速度快，温度边界层厚度发展得快,使温度边界层厚度
增加。因此，普朗特数的⼤⼩可直接⽤来衡量两种边界层厚度的⽐值。
普朗特数（Pr数）在不同的流体于不同的温度、压⼒下，数值是不同的。液体的Pr数随温度有显著变化；⽽⽓体的Pr数除临界点附近外，⼏乎与
温度及压⼒⽆关。
Ra瑞利数
瑞利数的定义是：格拉晓夫数和和普朗特数的乘积，其中格拉晓夫数描述了流体的浮⼒和粘度之间的关系，普朗特数描述了动量扩散系数和热扩散
系数之间的关系。因此，瑞利数本⾝也被视为浮⼒和粘性⼒之⽐与动量和热扩散系数之⽐的乘积。
Rayleighnumber
1.混合对流中，浮⼒的影响可通过格拉晓夫数与雷诺数平⽅之⽐来判别，即：
当此数值接近或超过1.0时，浮⼒对流动将有较⼤影响。相反，若此数较⼩，浮⼒的影响可以不予考虑。
2.在纯粹⾃然对流中，浮⼒导致的流动强度可⽤瑞利数Ra来判定：
若瑞利数⼩于10，浮⼒驱动的对流为层流；瑞利数为10区间时，浮⼒驱动的对流为层流与湍流的过渡阶段。
Gr
格拉晓夫数（Gr）是流体动⼒学和热传递中的⽆量纲数，其近似于作⽤在流体上的浮⼒与粘性⼒的⽐率。在研究涉及⾃然对流的情况下经常出
现，类似于雷诺数。
Gr=gαΔtl/ν
(g为重⼒加速度,α为体积热膨胀系数,Δt为t和t之差，l为特征长度,ν为动粘度)
Grashofnumber
浮升⼒与粘性⼒之⽐的⼀种度量。它是描述⾃然对流的⼀个准则数。在⾃然对流中的作⽤与Re数在强湍对流现象中的作⽤相当。Gr数的增⼤，表
明浮升⼒作⽤的相对增⼤。它反映了⾃然对流流动强度对对流换热强度的影响。
格拉晓夫数是流体浮升⼒与粘滞⼒的⽐值，它在⾃然对流中的作⽤与雷诺数在强制对流中的作⽤相当。反映了⾃然对流流动强度对对流换热强度的
影响。
Nu
88~10
v
33
vw∞
在流体边界（表⾯）的热传递中，努赛尔数的物理意义是表⽰对流换热强烈程度的⼀个准数，⼜表⽰流体层流底层的导热阻⼒与对流传热阻⼒的
⽐，即跨越边界的对流热量与传导热量的⽐率。
Nusseltnumber
努塞尔数定义为流体层流底层的导热阻⼒与对流传热阻⼒的⽐，反映对流换热强烈程度的⼀个特征数。
对正常边界表⾯来说，对流和传导热流是平⾏的，在简单的情况下都垂直于平均流体的流动。
“团状流”或层流时，努塞尔数⼤⼩接近于1，即对流热量和传导热量⼤⼩相似。湍流的努塞尔数通常在100-1000范围内。努塞尔数较⼤表明对
流更活跃。
特征长度的选择应在边界层的⽣长⽅向（或厚度）上；特征长度的⼀些⽰例是：（外部）横流（垂直于⽓缸轴线）的⽓缸的外径，经受⾃然对流的
垂直板的长度或球体的直径。对于复杂的形状，长度可以定义为流体的体积除以表⾯积。
Bi
毕渥数是耦合问题中的⼀个⽆量纲的准则数。某些问题中，会和与相接触的流体发⽣对流传热相耦合。毕渥数⽤以描述划分这种传热过程所呈现的
不同极限情况，以简化问题的求解。
毕渥数是表征固体内部单位导热⾯积上的导热热阻与单位⾯积上的换热热阻（即外部热阻）之⽐。Bi的⼤⼩反映了物体在⾮稳态导热条件下，物体
内温度场的分布规律。
定义：表征固体内部单位导热⾯积上的导热热阻与单位⾯积上的换热热阻（即外部热阻）之⽐。
Bi=δh/λ
其中，h为表⾯传热系数；λ为固体导热系数；δ为特征长度，通常⽤l表⽰。对于厚度为2δ平板l=δ，对于圆柱和球l=R。此外有些时候取
l=V/A（V即体积，A为换热⾯积）。
表⾯传热系数是对流传热基本计算式——⽜顿冷却公式（Newton‘slawofcooling）中的⽐例系数，⼀般记做h，以前⼜常称对流换热系数，
单位是W/(㎡*K)，含义是对流换热速率，在数值上等于单位温度差下单位传热⾯积的对流传热速率
Bi数提供了⼀个将固体中的温差与表⾯和流体之间的温差相⽐较的量。
如果Bi<=0.1，物体最⼤与最⼩过余温度之差⼩于5%，对于⼀般⼯程计算，此时已经⾜够精确的可以认为整个物体温度均匀。这样可以利⽤集中
参数法研究问题。Bi越⼩，表⽰内热阻越⼩，外部热阻越⼤。此时对于瞬态问题，采⽤集中参数法求解更为合适。
物理意义：Bi的⼤⼩反映了物体在⾮稳态导热条件下，物体内温度场的分布规律。或者认为是固体内部导热热阻与界⾯上换热热阻之⽐。
与Nu数的区别
努塞尔数Nu=hl/λ，表达式看起来与毕渥数相同，但⼆者意义有本质区别，Nu数表⽰壁⾯上流体⽆量纲温度梯度（λ为流体导热系数），⽤于研
究对流传热问题；⽽Bi数⽤于研究导热问题，为固体内部导热热阻与界⾯上换热热阻之⽐。
Ro
罗斯贝数（Rossbynumber，简称Ro）也称为罗⼠⽐数，得名⾃美国⽓象学家卡尔-古斯塔夫·罗斯贝（Carl-GustafArvidRossby），是⼀
个有关流体流动的⽆因次量。[1-2]罗斯贝数是纳维－斯托克斯⽅程中，惯性⼒及科⾥奥利⼒的⽐值。罗斯贝数可⽤来描述⾏星旋转过程中，科
⾥奥利⼒的影响程度，常⽤在如海洋及地球⼤⽓等有关地球物理学的现象中。
Rossbynumber
罗斯贝数数值较⼩时表⽰系统主要受科⾥奥利⼒影响，⽽罗斯贝数较⼤时表⽰系统受惯性⼒及向⼼⼒影响。例如，龙卷风的罗斯贝数很⼤（≈
10），低⽓压的罗斯贝数很⼩（≈0.1–1），在海洋系统中罗斯贝数的数量级变化范围是由10到10。
Ne
⽜顿数(Newtonnumber)
Ne=F/ρlv
⽜顿数是作⽤⼒与惯性⼒之⽐值，⽜顿数相等表⽰原型与模型流动中作⽤⼒合⼒与惯性⼒⽐值相等。流型与原型的流场动⼒相似，他们的⽜顿数必
定相等，反之亦然，这便是由⽜顿第⼆定律引出的⽜顿相似准则。作⽤在流场中的⼒有各种性质的⼒，诸如重⼒、粘滞⼒、总压⼒、弹性⼒、表⾯
张⼒等。不论何种性质的⼒，要保证两种流场的动⼒相似，它们都要服从⽜顿相似准则。⽜顿相似准则是判断两个系统流动相似的⼀般准则。
Fr
弗劳德数Fr(Froudenumber)
Fr=v/(gl)
（v为流体速度，g为重⼒加速度，l为物体的特征长度）
弗劳德数是惯性⼒与重⼒的⽐值，若两流动的重⼒作⽤相似，它们的弗劳德数数必定相等，反之亦然，这便是重⼒相似准则，⼜称弗劳德准则。
Eu
欧拉数Eu(Eulernumber)
Eu=p/ρv
(p为压强或压强差，ρ为流体的密度，v为流体的特征速度)
欧拉数是总压⼒与惯性⼒的⽐值。在压⼒作⽤下相似的流动，其压⼒场必须相似，⼆流动的压⼒作⽤相似，它们的欧拉数必定相等，反之亦然，这
便是压⼒相似准则，⼜称欧拉准则。欧拉数中的压强p也可以⽤压差Δp来代替。
St/Sr
斯特劳哈尔数Sr/St(Strouhalnumber)是在流体⼒学中表征流动周期性的相似准则。
-22
22
1/2
2
物理意义是⾮定常运动惯性⼒与惯性⼒之⽐
Sr=l/vt
当⾮定常流动是流体的波动或振荡时，
Sr=fl/v
（f是流体的波动或振荡频率，l是特征长度，v是流体速度）
斯特劳哈尔数也称谐时数，它是当地惯性⼒与迁移惯性⼒的⽐值。对于⾮定常流动的模型试验，必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似。⼆
⾮定常流动相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，反之亦然。这便是⾮定常性相似准则，⼜称斯特劳哈尔准则或谐时性准则。
当研究涡街、旋翼、螺旋桨和颤振等时，空⽓动⼒现象与周期性运动的频率有关，模型实验时与实物飞⾏时的斯特劳哈尔数应相等。在定常实验
中，不必考虑斯特劳哈尔数。
Ca
柯西数Ca(Cauchynumber)
Ca=ρv/K
柯西数是是惯性⼒与弹性⼒的⽐值。对于可压缩流的模型试验，要保证流动相似，由压缩引起的弹性⼒场必须相似，⼆流动的弹性⼒作⽤相似，它
们的柯西数必定相等，反之亦然。这便是弹性⼒相似准则，⼜称柯西准则。
Ma
马赫数Ma(Machnumber)
Ma=v/c
（v为物体速度，c为声速）
马赫数定义为物体速度与⾳速的⽐值，也是惯性⼒与弹性⼒的⽐值，即对于⽓体时，将柯西准则转换为马赫准则。⼆流动的弹性⼒作⽤相似，它们
的马赫数必定相等，反之亦然，这仍是弹性⼒相似准则，⼜称马赫准则。
We
韦伯数We(Webernumber)
We=ρvl/σ
（其中ρ为流体密度kg/m，v为特征流速，l为特征长度，σ为流体的表⾯张⼒系数）
韦伯数是惯性⼒与张⼒的⽐值。在表⾯张⼒作⽤下相似的流动，其表⾯张⼒分布必须相似。⼆流动的表⾯张⼒作⽤相似，它们的韦伯数必定相等，
反之亦然。这便是表⾯张⼒作⽤准则，⼜称韦伯准则。
Fo
傅⾥叶数Fo(Fouriernumber)
Fo=aτ/l
（τ是从边界上开始发⽣热扰动的时刻起的计算时间，l/a是边界上的热扰动扩散到l⾯积上所需要的时间）
2
2
3
c
2
c
2
c
傅⽴叶数表征⾮稳态过程进⾏深度的⽆量纲时间。在⾮稳态导热过程中，傅⾥叶数越⼤，热扰动就越深⼊的传播到物体内部，因⽽物体内部各点的
温度就越接近周围流体的温度。
Eu
流体⼒学中欧拉数的符号为Eu，描述动量传递的特征数。
Eu=ΔP/ρu(采⽤标准单位)
其中Eu定义为欧拉数。△p为压⼒差;ρ为物体的体积质量;υ为特征速度。SI单位：1(⼀)。与通常量的符号的表达不同的是，特征数的符号均由两
个字母组成。当特征数符号在乘积中作为相乘的因数时，建议其符号与其他符号之间空⼀个间隔，或⽤乘号或括号隔开。
它反映了流场压⼒降与其动压头之间的相对关系，体现了在流动过程中动量损失率的相对⼤⼩。
Kn
Knudsen数，努森数表⽰⽓体分⼦的平均⾃由程λ与流场中物体的特征长度L的⽐值。⼀般认为，当努森数⼩于0.001时，⽓体流动属于连续介
质范畴。
Kn=λ/L。
通常模拟流体流动时采⽤连续假设或者分⼦假设。连续假设对于很多的流动状态都适合，但随着系统长度尺度的减少，连续流动假设渐渐开始不
适合真实的流体流动。⼀般⽤克努森数(KnudsenNumber)来判断流体是否适合连续假设。
如果努森数趋近于零，采⽤欧拉⽅程(Euler'sequation)来描述流体；努森数⼩于0.01时，可以⽤⽆滑移边界条件的纳维-斯托克斯⽅
程(Navier-Stokesequations)描述流体，流体可假设为连续流体；努森数介于0.01和0.1时，可以⽤有滑移边界条件的纳维-斯托克斯⽅程
描述流体；⽽努森数介于0.1和10时，属于过渡区；努森数⼤于10时，采⽤分⼦假设，直接⽤波尔兹曼⽅程(Boltzmannequation)来描述流
体。
Wi
魏森贝格数是以KarlWeissenberg命名的，缩写为Wi或We，具体是指在粘弹性流动研究中使⽤的⽆量纲数，其中⽆量纲数⽐较了粘性⼒与弹
⼒。可以从多⾓度给出魏森贝格数的定义，但通常由流体的应⼒松弛时间与具体的加⼯时间的关系给出。
例如，针对简单的剪⼒流，定义为剪切速率和弛豫时间的乘积。使⽤麦克斯韦模型和Oldroyd模型，弹性⼒可以写为第⼀法向⼒（N1）[1]：
由于这个数字是通过缩放应⼒的演变⽽得到的，它包含剪切或伸长率以及长度尺度的选择
Deborah格数（De）是⼀个⽆量纲数，经常⽤于流变学，以表征在特定流动条件下材料的流动性。虽然Wi类似于De，并且经常在应⽤技术时有
所混淆，但它们具有不同的物理解释。魏森贝格数表⽰由变形产⽣的各向异性或取向的程度，适⽤于描述具有恒定拉伸历史（如简单剪切）的流
动。相反，Deborah格数应⽤于描述具有⾮常规拉伸历史的流动，并且表⽰弹性能量被储存或释放的速率。
对于稳定且不可压缩的⽜顿流体的等温流动，在⼏何中，我们可以将其单⼀重要的长度尺度写为：
R=f（Re）
其中R⽤于表⽰在⽆量纲形式下选定的过程变量或过程结果。例如，对于⾮稳态流，以给定频率ω为特征，便会出现⼀个额外的维度：
R=f(Re,ωL/U)
其中⽆量纲的频率被称为Strouhal数（St），这个数字表⽰不稳定惯性⼒与稳定的惯性⼒的⽐率。
对于稳定且不可压缩的等温流体的粘弹性流体来讲，额外的流体松弛时间会导致：
R=f(Re,Wi)
2
[1]
[2]
由于流动稳定，由粘弹性⽽产⽣的⽆量纲组效果必须是Wi。对于不稳定的粘弹性流有：
R=f(Re,Wi,ωλ)
其中ωλ是简化的Deborah格数（ω作为在更⼀般的术语，可以⽤来表⽰特征时间的倒数变形过程即1/T）。在达到最后⼀个⽅程式时，我们
可以从Wi，St和De的选择中得出了任意两组（注意St=De/WI）。当有多个⽆量纲组，维度分析对我们得出的哪些组别没有限制。
对于⼴泛类型的粘弹性流体流动，惯性效应通常很⼩，⽆论是通过⾃发（例如熔体的粘稠流动）或通过设计（⽤于基准测试的粘性Boger流
体），Re的作⽤通常被忽略。在这种情况下，Strouhal格数可能不太重要，De和Wi变得重要。