高等工程数学
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2023年3月20日发(作者：芭蕾舞基本功)《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）
（此习题答案仅供学员作业时参考。因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！）
（联系地址：yangwq@）
P50
1．自己验证范数的三个条件
2．自己验证范数的三个条件
3．（1）
12
22222
12
111
12
1
()
||||(||)||||||||||||
||||(||1),||||||||
(11)
||
n
n
nnn
kkijk
kkijk
n
k
k
Tn
xxxxC
xxxxxxx
CauchySchwartz
xxxIIxnx
IR
x
设，，...，，则有
－－(*)
另由不等式，有
－－(**)
其中，，...，1
所以由(*)和(**)式有：
212
||||||||||xnx
(
（2）
12
1
1
1
12
1
1
1
1
1
()
||||max||||||||
()
||max||
||||||max|||||
|||||||||||
n
n
n
kk
kn
k
n
ik
kn
n
ik
kn
i
xxxxC
xxxx
xxxx
xx
xxnxnx
xxnx
设，，...，，则有
－－(*)
另外对，，...，的任一分量有
所以有：
－－(**)
所以由(*)和(**)式有：
（3）
12
22
2
11
1
12
1
22
2
1
1
()
||||max||max||||||||
()
||max||
||||||max|||||
|||
n
n
n
kkk
knkn
k
n
ik
kn
n
kk
kn
k
xxxxC
xxxxx
xxxx
xx
xxnxnx
x
设，，...，，则有
－－(*)
因对，，...，的任一分量有
所以有：
－－(**)
所以由(*)和(**)式有：
2
||||||||xnx
4．已知
13
21
i
A
i
试求第
12
||||||||||||AAAA
，，，（）
解：
1
2
2
22
||||max{22}
||||max{32}
1213655
31215511
655
||176650(16)(1)
5511
||||4
13
||(1)1624
21
(
H
H
A
A
iii
AA
iii
i
IAA
i
A
i
IA
i
，3+23+2
，2+23+2
因
所以
2416
)15
2
A
5．证明：(1)
2
11
HUUUI
IU
因是酉矩阵，所以＝
而单位矩阵的特征值为，所以
(2)
22
22
2
2
)
)
)
)
)
H
HHHH
HHHHH
HH
HHHHHHHH
HHHH
H
UUUI
UAUAAUUAAA
UAA
AUAUUAAUUAAU
AAAUAU
AUA
UAUUAUUAUUAUUAAU
AAUAUUAU
UAUA
因是酉矩阵，所以＝
（）（
所以
（）（（）
即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值
即
（）（（）
即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值
即
6．
||||=1||||=1
11
1-1
||||=max||||=max||||=1
1||||=||||||||||||
||||||||
ee
IIee
IAAAA
AA
7．(1)
证明：假设I－A不可逆，则|I-A|=0，即1是A的特征值，所以
()1
()
()1
A
AAAA
A
又因为对的任一范数，都有
所以由题设知
矛盾，所以I－A可逆
(2)
由
||||||||
||||||||1||||||||
||||||||||||1
1
||||1||||
1||||
IAIAIIAIAAI
IAIIAA
IAIIAA
IIAAIAA
IAIAA
AIA
A
-1-1-1
-1-1
-1-1
-1-1
-1-1
-1
()()=()-()=
()=()
()()
()()
()()
由得()
得
8．(1)
证明：
1
||||0.9()<1
limk
k
AA
AO
（2）
2||(2)()()=2||
1
|lim
2
k
k
cc
IBccccBc
cc
cBO
当|时，
9．
(1)解：
2
13
34(4)(1)
22
()41AA
故发散
(2)因为收敛半径为：R=5，所以收敛
10．
解：
12
1
0.10.8
0.60.3
0.90.5
34
140.90
77
1300.511
77
34
9011
14
2537
1
77
33
1
1311
7
0
2835
3
77
k
k
A
A
A
A
设
的特征值为，，
所以
11．
(1)
22
2
sin2cos(2)
sin2
sin()
sincos()
sin
cos2sin(2)
cos2
cos()
cossin()
cos
tt
t
At
tt
t
ete
e
e
ete
e
ttt
t
At
ttt
t
ttt
t
At
ttt
t
(2)
2
22
sin2
cos(2)sin2
sin()
sin
cos()sin
cos2
sin(2)cos2
cos()
cos
sin()cos
t
tt
At
t
tt
e
tee
e
e
tee
t
ttt
At
t
ttt
t
ttt
At
t
ttt
12．解：A的特征值为：－1，1，2
222
11
66
11
0
22
11
0
22
11
sin2(2sin2sin)(sin22sin)
33
sin()00sin
0sin0
21
cos2(cos2cos)(co
33
cos()
ttttttt
Attttt
tttt
eeeeeee
eeeee
eeee
ttttt
Att
t
ttt
At
（4-3-）（2-3+）
（）（）
（）（）
s2cos)
0cos0
00cos
tt
t
t
13．解：A的特征值为：1，1，4
2
ln1
11
024
0.51.50.5
0.50.52.5
A
A
-ln4-2ln4+6
ln4-1-ln4+3
3