三倍角公式
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2023年3月20日发(作者：个人成长目标)三角函数倍角公式之袁州冬雪创作
复习重点:二倍角公式
二倍角的正弦公式：
sin2A＝2sinAcosA
二倍角的余弦公式：
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
对公式的再认识：
(1)适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：
A≠kπ＋2
且A≠
k
2
＋4
(k∈Z)；
(2)公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切
公式之特例；二倍角关系是相对的.
(3)公式的矫捷运用：正用、逆用、变形用.
复习难点:倍角公式的应用复习内容:
小结：
倍角公式：
sin2A＝2sinAcosA
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
tan2A＝2
2tanA
1tanA－
化“1”公式（升幂公式）
1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2，
1－sin2A＝(sinA－cosA)2
1＋cos2A＝2cos2A
1－cos2A＝2sin2A
降幂公式
cos2A＝
1cos2A
2
＋
sin2A＝
1cos2A
2
－
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的接洽应该
是处理三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种
形式，采取哪类形式应根据题目详细而定.
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出
半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即
，进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以
作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意
正、负号的选取，而是正是负取决于α的正弦、余弦暗
示，即:也可暗示sinα,cosα,
tanα，即:
，，这组公式
叫做“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给
出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
例1．推导三倍角的正弦、余弦公式
解:sin3α=sin(2α+α)
cos3α=cos(2α+α)
:∵
sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-
3cos18°
∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴
2sin18°=4-4sin218°-3
∴4sin218°+2sin18°-1=0
∴.本题还可根据二倍角公式推出
cos36°.
即.
例3．化简求值:(1)csc10°-sec10°(2)
tan20°+cot20°-2sec50°解:(1)csc10°-sec10°
(2)tan20°+cot20°-2sec50°
例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°
例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ:∵
,
∴,即，
即，∴
cos4θ+sin4θ
:cos36°·cos72°
例
7．求::
上述两题求解方法一致，都是持续应用二倍角的正弦
公式.而能采取这种方法求值的题目要求也是严格的，要知
足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，
（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.知足这三
个条件即可采取这种方法.
例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.
方法一:∵2cosθ=1+sinθ，∴
∴或，∴
,
∴,∴或=2.
方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,
∴,
∴或,∴或
=2.
例9．已知:，求:tanα:
∵，∴，
∵0≤α≤π,∴,∴
(1)当时,，
则有,∴，∴
，∴，
∴.
(2)当，则有
，
∴，∴，∴.
注意:1与sinα在一起时，1往往被看做
，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余
弦公式把1去掉.
例10．已知:sinθ,sinα,cosθ为等差数
列;sinθ,sinβ,cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.
证明:∵，∴∴
4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴
2cos2α=cos2β.课后操练:
1．若
，则（）.
A、PQB、PQC、P=QD、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=
（）.
A、B、C、D、
3．若，则sin2θ=（）.
A、B、C、D、
4．若，则sinθ=（）.
A、B、C、D、-
5．若，则=（）.
A、B、C、1D、-1
6．若，则cosα=________.7.若
θ为第二象限角，且，则=_____.8．已
知sinA+cosA=2sinB.求证:cos2B=cos2.
参考答案
1.C2.B3.C4.C5.B6.7.
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