特征多项式
学生会纪检部申请书-藻井
2023年3月20日发(作者：小型猪场建设)辽东学院教案纸
课程：高等代数第7.4.1页
§4特征值、特征向量与特征多项式
教学目的通过教学，使学生基本掌握线性变换(n阶矩阵)的特征
值、特征向量、特征多项式的定义、性质及其求法，理解Hamilton－
Cayley定理及其初步应用．
教学内容
由§3知道，相似矩阵刻画了同一线性变换在不同基下的矩阵．于
是，一个自然的问题是，怎样选择一个适当的基，使这个线性变换在
基下的矩阵较简单(其中最简单的情形是对角矩阵，我们将在§5中详
述)？为此，本节先学习重要的特征值、特征向量和特征多项式的基
础知识．
4.1定义与求法
设V是数域F上的向量空间，∈EndV．
定义1设
0
∈F，若存在V中一个非零向量，使得
0
)(
，(1)
则称
0
是的一个特征值，是的属于特征值
0
的一个特征向量．
显然，若是的属于特征值
0
的一个特征向量，则对于k∈F，
都有
)()()(
00
kkkk
．
因此，任一非零向量k(k≠0)都是属于
0
的特征向量．
例1设W是V
3
的一个过原点的平面，是把V
3
的每一向量变
成这个向量在W上的投影的线性变换，则W中每一个非零向量都是
的属于特征值1的特征向量，而过原点与平面W垂直的直线上每一
个非零向量都是的属于特征值0的特征向量．
例2设V表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成
的向量空间，)()(xfxf
：
是求导变换，则∈EndV．对于∈R，
都有)(xexe．所以是的特征值，xe
是属于的一个特征向
量．
例3在F[x]中，
)()(xxfxf：
是F[x]的一个线性变换．比较
次数可知，对于任何∈F，都不存在非零多项式f(x)，使xf(x)=f(x)，
因此没有特征值．
设V是数域F上一个n维向量空间，取定V的一个基
{
n
,,,
21
}，线性变换在这个基下的矩阵是
nnij
aA)(．若
nn
xxx
2211
是的属于特征值
0
的一个特征向量，则
由(1)和命题7.3.1，我们有
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课程：高等代数第7.4.2页
n
x
x
x
A
2
1
=
0
n
x
x
x
2
1
，
即
0
0
0
)(2
1
0
n
n
x
x
x
AI．(2)
因为，所以齐次线性方程组(2)有非零解．因此系数行列式
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
AI
021
222021
112110
)det(
=0．(3)
反过来，若
0
∈F满足等式(3)，则齐次线性方程组(2)有非零解
(x
1
,x
2
,…,x
n
)．因此
nn
xxx
2211
满足等式(1)，即
0
是
的一个特征值．
等式(3)中出现的行列式很重要．为此引入
nnnn
n
n
nA
aaa
aaa
aaa
AIf
21
22221
11211
)(
，(4)
叫做矩阵A的特征多项式．
(3)表明，若A是线性变换在V的一个基下的矩阵，而
0
是的
一个特征值，则
0
是A的特征多项式
)(
A
f
的根，即
)(
0
A
f
=0．
假设线性变换在V的另一个基下的矩阵是B，则容易证明A与
B有相同的特征多项式．也就是说，相似矩阵有相同的特征多项式．事
实上，设存在可逆矩阵T，使
ATTB1
，则
TAITATTTITBI
nnn
)(111
．
所以由行列式的乘法定理有
)(|||||||||)(|||)(11
AnnnnB
fAITAITTAITBIf．
这样，我们可以定义V的线性变换的特征多项式是在V的任意
一个基下的矩阵的特征多项式，并且把的特征多项式记作
)(
f
．
据上，我们有
定理7.4.1设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．
0
∈F是的一个特征值的充分且必要条件为
0
是的特征多项式
)(
f
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课程：高等代数第7.4.3页
的一个根．
考察矩阵A的特征多项式f
A
()，将(4)展开，得到F[]的一个多
项式，它的最高次项是n，出现在主对角线上元素的乘积
)())((
2211nn
aaa
(5)
里．这个行列式的展开式的其余的项至多含有2n个主对角线上的
元素．因此，
)(
A
f
是乘积(5)与一个至多是的2n次多项式的和．因
此，
)(
A
f
中次数大于2n的项只出现在乘积(5)里．所以
1
2211
)()(n
nn
n
A
xaaaxxf，
这里没有写出的项是零或其次数至多是2n的多项式．
在
)(
A
f
中，1n的系数乘以－1就是矩阵A的主对角线上元素
的和，即矩阵A的迹TrA：
TrA
nn
aaa
2211
．
其次，在(4)式里，令=0，得Afn
A
)1()0(．因此，特征多项式
)(
A
f
的常数项等于A的行列式乘以(－1)n．
例4设
dc
ba
A，
则
dc
ba
f
A
)(
22)()(bcadxda
(TrA)+|A|．
我们把n阶矩阵A的特征多项
)(
A
f
在复数域C内的根叫做矩阵
A的特征根．设
0
是矩阵A的一个特征根，则齐次线性方程组(2)的一
个非零解叫做矩阵A的属于特征根
0
的一个特征向量．由于F上每一
个n阶矩阵都可以看成F上一个n维向量空间V的某一线性变换在
取定的一个基下的矩阵，所以矩阵A的属于F的特征根
0
就是的特
征值，而A的属于
0
的特征向量就是的属于
0
的特征向量在所给定
基下的坐标．
设
n
,,,
21
是矩阵A的全部特征根．则
．
n
nn
n
n
nA
f
1
1
21
21
)1()(
)())(()(
因此
TrA
．，
nn
A
2121
||
即矩阵A的迹等于A的全部特征根的和，A的行列式等于A的全部
特征根的乘积．
设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，它在V的一个
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课程：高等代数第7.4.4页
基{
n
,,,
21
}下的矩阵是A．要求出的特征值，只要求出A的属
于F的特征根．设
0
∈F是矩阵A的一个特征根，这时齐次线性方程
组(2)有非零解，每一个非零解都是的属于
0
的一个特征向量在基
{
n
,,,
21
}下的坐标．
例5设R上三维向量空间的线性变换在一个基{
321
,,}下
的矩阵是
013
211
233
A
，
求的特征值和相应的特征向量．
解先求出矩阵A的特征多项式
)4)(4(1644
13
211
233
)(223
A
f
，
它只有一个实根=4．又解齐次线性方程组
，
0
0
0
)4(
3
2
1
3
x
x
x
AI
得其解为(k，k，－k)，k∈R．因此，的属于特征值4的特征向量是
kkkk,
321
R，k≠0．
例6求矩阵
320
230
005
A
的特征值和相应的特征向量．
解矩阵A的特征多项式
)1()5(
320
230
005
)(2
A
f
．
所以A的特征值是1与5．
矩阵A的属于特征值1的特征向量是齐次线性方程组
022
022
04
32
32
1
xx
xx
x
的非零解，即(0，k，k)，k∈C，k≠0．
矩阵A的属于特征值5的特征向量是齐次线性方程组
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022
022
00
32
32
1
xx
xx
x
的非零解，即(k，l，－l)，其中k，l∈C，且不全为零．
4.2Hamilton
—
Cayley定理
特征多项式有如下重要性质．
定理7.4.2(Hamilton-Cayley)设A∈M
n
(F),f()=
||AI
n
是A的特
征多项式，则0||)1()()(1
2211
n
nn
nn
nIAAaaaAAf.
证设B()是
AI
n
的伴随矩阵，由推论2.3.3有
nnnn
IfIAIAIB)(||))((
．
因为矩阵B()的元素是
||AI
n
的各个代数余子式，都是的多项式，
其次数不超过1n．因此由矩阵的运算性质，B()可以写成
11
2
0
1)(
n
nnBBBB
．
其中
110n
BBB，，，
∈M
n
(F)．
再设
nn
nnaaaf
1
1
1
)(，则
nnn
n
n
n
n
IaIaIIf1
1
)(
．(6)
于是
))(())((
11
2
0
1AIBBBAIB
nn
nn
n
ABABBABBABBB
nnn
nnn
12112
2
01
1
0
)()()(
.(7)
比较(6)和(7)，得
nnn
nnnn
n
n
n
IaAB
IaABB
IaABB
IaABB
IB
1
121
212
101
0
．(8)
用
n
nnIAAA,,,1，依次从右边乘(8)的第一式，第二式，…，第n式，
第n+1式，得
nnn
nnn
nnn
nnn
nn
IAB
AaABAB
AaABAB
AaABAB
AAB
1
1
2
21
2
2
1
1
2
2
1
10
1
1
0
．(9)
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课程：高等代数第7.4.6页
把(9)的n+1个式子相加，左边变成零，右边就是f(A)，故
f(A)=0．
例7设A是n阶可逆矩阵，则)(1AgA，其中g()是一个n
－1次多项式．
证设A的特征多项式为
nn
nn
n
aaaAI
1
1
1
||
，
由Hamilion-Cayley定理，有
nnn
nnIaAaAaA
1
1
1
O．
因为A是可逆矩阵，所以
0||)1(Aan
n
，于是上式可化为
nnn
nn
n
IAIaAaA
a
)(
1
1
2
1
1
，
这表明
)()(
1
1
2
1
11AgIaAaA
a
A
nn
nn
n
，
其中，
)(
1
)(
1
2
1
1
n
nn
n
aa
a
g是一个n－1次多项
式．
课外作业：
P363：1、1)、3)；2、1)、2)；4；9．