空间向量及其运算

发布时间：2023-06-16 作者：admin 来源：文学

空间向量及其运算

重庆市教师研修网-排球手势

2023年3月20日发(作者：荆门空气质量)

3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量的线性运算

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：

空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：

应用向量解决立体几何问题．

教学方法：

讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫

做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：

．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以

将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向

量a的积是一个向量，

记作λa，其长度和方

向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表

示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行

一些简单的应用．请同学们阅读课本P

～P

．

Ⅱ.新课讲授

［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如

空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的

呢？

［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段

表示同一向量或相等的向量．

起点与重点重合的向量叫做零向量。

表示向量

的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线。

如果空间中一些向量的基线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一

平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

ABOAOB=a+b，

OAOBAB（指向被减向量），

OP

λa

)(R

［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a+b=b+a；

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb．

［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的

终点的向量．即：

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的

向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

11433221





AAAAAAAAAA

nnn

．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

由向量加法的交换律和结合律可以推知：有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不

变。

例１已知平行六面体''''DCBAABCD（如图），化简下列向量表达式，并标

出化简结果的向量：

说明：平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫

做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

解：（见课本P

）

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等

于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，

这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

Ⅲ.巩固练习

课本P

练习

Ⅳ.教学反思

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平

移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包

含平面的平移．

关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．

Ⅴ.课后作业

⒈课本P

106

1、2、

⒉预习课本P

～P

，预习提纲：

⑴怎样的向量叫做共线向量？

⑵两个向量共线的充要条件是什么？

⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？

⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？

⑸怎样的向量叫做共面向量？

⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？

⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？

板书设计：

§9.5空间向量及其运算（一）

一、平面向量复习二、空间向量三、例1

⒈定义及表示方法⒈定义及表示

⒉加减与数乘运算⒉加减与数乘向量小结

⒊运算律⒊运算律

3.1.2空间向量的基本定理

教学目标：

1．理解共线向量定理和共面向量定理及空间向量分解定理；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

教学重、难点：

共线、共面定理、分解定理及其应用．

教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示；

（二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

平行向量。读作：a

平行于b

，记作：//ab

．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量

,(0),//abbab

rrr

的充要条件是存在实数，使ab

（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a

的直线，那么对任一点O，点P在直

线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB

uuuruuuruuur

①，其中向量a

叫做直线l的方

向向量。在l上取ABa

uuur

，则①式可化为OPOAtAB

uuuruuuruuur

或

(1)OPtOAtOB

uuuruuuruuur

②

当

t时，点P是线段AB的中点，此时

()

OPOAOB

uuuruuuruuur

③

①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

3．向量与平面平行：

已知平面



和向量a

，作OAa

uuur

，如果直线OA平行于



或在



内，那么我们说向

量a

平行于平面，记作：//a

．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．

4．共面向量定理：

如果两个向量

,ab

不共线，p

与向量

,ab

共面的充要条件是存在实数,xy使

pxayb

．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使

MPxMAyMB

uuuruuuruuur

或对空间任一点O，有

OPOMxMAyMB

uuuruuuuruuuruuur

①

上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

（三）例题分析：

例1．已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件

122

555

OPOAOBOC

uuuruuuruuuruuur

，

试判断：点P与,,ABC是否一定共面？

解：由题意：522OPOAOBOC

uuuruuuruuuruuur

，

∴

()2()2()OPOAOBOPOCOP

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

，

∴22APPBPC

uuuruuuruuur

，即22PAPBPC

uuuruuuruuur

，

所以，点P与,,ABC共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的

充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点,,ABC，问满足向量式

OPxOAyOBzOC

uuuruuuruuuruuur

（其中1xyz）的四点,,,PABC是否共面？

解：∵

(1)OPzyOAyOBzOC

uuuruuuruuuruuur

，

∴

()()OPOAyOBOAzOCOA

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

，

∴

APyABzAC

uuuruuuruuur

，∴点P与点,,ABC共面．

例2．已知ABCDY，从平面AC外一点O引向量

,,,OEkOAOFKOBOGkOCOHkOD

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuur

，

（1）求证：四点,,,EFGH共面；

（2）平面AC//平面EG．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD

uuuruuuruuur

，

∵EGOGOE

uuuruuuruuur

，

∴,,,EFGH共面；

（2）∵

()EFOFOEkOBOAkAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

，又∵EGkAC

uuuruuur

，

∴//,//EFABEGAC

所以，平面//AC平面EG．

5.空间向量分解定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x，y，

z，使p=xa+yb+zc.

五、课堂练习：

课本第96页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：

．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、作业：

1．已知两个非零向量

,ee

uruur

不共线，如果

ABee

uuururuur

，

28ACee

uuururuur

，

33ADee

uuururuur

，

求证：,,,ABCD共面．

2．已知324,(1)82amnpbxmnyp

rrrrrrr

，0a

，若//ab

，求实数,xy的值。

3．如图，,,,EFGH分别为正方体

AC的棱

11111111

,,,ABADBCDC的中点，

求证：（1）,,,EFDB四点共面；（2）平面AEF

//平面BDHG．

4．已知,,,EFGH分别是空间四边形ABCD边,,,ABBCCDDA的中点，

（1）用向量法证明：,,,EFGH四点共面；

（2）用向量法证明：//BD平面EFGH．

3.1.3．两个向量的数量积

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些

简单问题，利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角。

教学重、难点：

空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教具准备：

与教材内容相关的资料。

教学设想：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程

（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．两个向量的夹角及其表示：

已知两非零向量

,ab

，在空间任取一点O，作

,OAaOBb

uuuruuur

，则AOB叫做向量a

与b

的夹角，记作

,ab

；且规定

0,ab

，显然有

,,abba

；

若,





，则称a

与b

互相垂直，记作：ab

；

两个向量一定共面，但是做有向线段分别表示向量时，它们的基线可能不在同一平面内，

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。把异面直线平移到一个平面内，这

是两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角。如果所成角都是直角，则称两条异面直线相

互垂直。

2．向量的模：

设OAa

uuur

，则有向线段OA

uuur

的长度叫做向量a

的长度或模，记作：||a

；

3．向量的数量积：

已知向量

,ab

，则

||||cos,abab

叫做

,ab

的数量积，

记作ab

，即ab

||||cos,abab

．

已知向量ABa

uuur

和轴l，e

是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A



，作

点B在l上的射影B



，则AB



uuuur

叫做向量AB

uuur

在轴l上或在e

上的正射影；可以证明AB



uuuur

的

长度

||||cos,||ABABaeae





uuuuruuur

rrrr

．

4．空间向量数量积的性质：

（1）||cos,aeaae

rrrrr

．

（2）0abab

．

（3）2||aaa

rrr

．

（4）

a?b

≤

5．空间向量数量积运算律：

（1）

()()()ababab

rrr

．

（2）abba

（交换律）．

（3）

()abcabac

rrrrr

（分配律）．

（三）解题技巧

考点一：向量的数量积运算

a、知识要点：

1）定义：①设<

,ab



,则ab

||||cos,abab

②设11

(,)axy

，22

(,)bxy

则

ab

。

注：①

不能写成

，或

ab

②

的结果为一个数值。

2）投影：

在

方向上的投影为。

3）向量数量积运算律：

①

abba

rrrr

②

()()()ababab

rrrrrr

ggg

③

()abcacbc

rrrrrrr

ggg

注：①没有结合律

()()abcabc

rrrrrr

gggg

b、例题讲练

1、下列命题：①若

0ab

，则

，

中至少一个为

②若

0

且

abac

rrrr

，则

bc

③

()()abcabc

rrrrrr

gggg

④

22(32)(32)94ababab

rrrrrr

中正确有个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2、已知

ABC

中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则

BCCA

uuuruuur

=。

3、若

，

满足

0abc

rrrr

，且

3,1,4abc

rrr

，则

abbcac

rrrrrr

ggg

=。

4、已知

2ab

，且

与

的夹角为



，则

ab

在

上的投影为。

考点二：向量数量积性质应用

a、知识要点：

①

0abab

rrrr

（用于判定垂直问题）

②

2aa

（用于求模运算问题）

③

cos



（用于求角运算问题）

b例题讲练

1、已知

2a

，

3b

，且

与

的夹角为



，

32cab

rrr

，

dmab

urrr

，求当m为何

值时

cd

rur

2、已知

1a

，

1b

，

323ab

，则

3ab

。

3、已知

和

是非零向量，且

ab

，求

与

ab

的夹角

4、已知

4a

，

2b

，且

和

不共线，求使

ab

与

ab

的夹角是锐角时



的取值

范围

（四）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：,mn是平面



内的两条相交直线，直线l与平面



的交点为B，且,lmln

求证：l．

证明：在内作不与,mn重合的任一直线g，

在,,,lmng上取非零向量

,,,lmng

rrr

，∵,mn相交，

∴向量,mn

不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(,)xy，使gxmyn

rrr

，

∴

lgxlmyln

rrr

，又∵

0,0lmln

，

∴

0lg

，∴

lg

，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）

()()ADBCABBDACAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

()0ABACABBDABDC

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

．

（法二）选取一组基底，设

,,ABaACbADc

uuurruuurruuurr

，

∵ABCD，∴

()0acb

rrr

，即acba

rrrr

，

同理：abbc

rrrr

，，

∴acbc

rrrr

，

∴

()0cba

rrr

，∴0ADBC

uuuruuur

，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知

向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OACo，

60OABo，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB

uuuruuuruuur

，

∴OABCOAACOAAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

∴

24162322

cos,

855

||||

OABC









uuuruuur

，

所以，OA与BC的夹角的余弦值为

322



．

说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OAACo

uuuruuur

易错写成,45OAACo

uuuruuur

，

切记！

五、巩固练习

1、已知

和

uur

是两个单位向量，夹角为



，则（

ee

uruur

）

(32)ee

uruur

g等于（）

A.-8B.

D.8

2、已知

和

uur

是两个单位向量，夹角为



，则下面向量中与

2ee

uurur

垂直的是（）

ee

uruur

ee

uruur

uur

3、在ABC中，设ABa

，BCb，CAc

，若0)(baa，则ABC（）

)(A直角三角形)(B锐角三角形)(C钝角三角形)(D无法判定

4、已知a

和b

是非零向量，且3ab

与75ab

垂直，4ab

与72ab

垂直，求a

与b

的

夹角。

5、已知OA

uuur

、OB

uuur

、OC

uuur

是非零的单位向量，且OA

uuur

+OB

uuur

+OC

uuur

，求证：

ABC为正三角形。

六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。

七．作业：课本第106页第3、4题

补充：

1．已知向量ab

，向量c

与

,ab

的夹角都是60o，且

||1,||2,||3abc

rrr

，

试求：（1）2()ab

；（2）2(2)abc

rrr

；（3）

(32)(3)abbc

rrrr

．

3.1.4空间向量的直角坐标运算

教学目的：

1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问

题；

2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直.

教学重点：夹角公式、距离公式

教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用.

授课类型：新授课.

课时安排：1课时.

教具：多媒体、实物投影仪.

教学过程：

一、复习引入：

1.空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用

{,,}ijk

rrr

表示；

（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底

{,,}ijk

rrr

，以点O为原点，分别以

,,ijk

rrr

的方

向为正方向建立三条数轴：

轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直

角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量

,,ijk

rrr

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐

标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；

2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数

组(,,)xyz，使

OAxiyjzk

uuurrr

，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在

空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，

叫横坐标，y叫

纵坐标，z叫竖坐标．

若

111

(,,)Axyz，

222

(,,)Bxyz，则

212121

(,,)ABxxyyzz

uuur

．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终

点的坐标减去起点的坐标.

3．空间向量的直角坐标运算律：

（1）若

123

(,,)aaaa

，

123

(,,)bbbb

，

则

112233

(,,)abababab

，

112233

(,,)abababab

，

123

(,,)()aaaaR

，

112233

abababab

，

112233

//,,()ababababR

，

112233

0abababab

．

（2）若

111

(,,)Axyz，

222

(,,)Bxyz，则

212121

(,,)ABxxyyzz

uuur

．

4.空间向量平行和垂直的条件

若，，则

①，

A(x,y,z)

②

二、讲解新课：

1.模长公式：

若

123

(,,)aaaa

，

123

(,,)bbbb

，则222

123

||aaaaaa

rrr

，

222

123

||bbbbbb

rrr

．

2．夹角公式：112233

222222

123123

cos

||||

ababab

aaabbb











．

3．两点间的距离公式：若

111

(,,)Axyz，

222

(,,)Bxyz，

则

222

212121

||()()()ABABxxyyzz

uuuruuur

，

或222

,212121

()()()

dxxyyzz．

三、讲解范例：

例1.已知(3,3,1)A，(1,0,5)B，

求：（1）线段AB的中点坐标和长度；

（2）到,AB两点的距离相等的点(,,)Pxyz的坐标,,xyz满足的条件.

解：（1）设M是线段AB的中点，则

()(2,,3)

OMOAOB

uuuuruuuruuur

．

∴AB的中点坐标是

(2,,3)

，222

(13)(03)(51)29

d．

（2）∵点(,,)Pxyz到,AB两点的距离相等，

则222222(3)(3)(1)(1)(0)(5)xyzxyz,化简得：

46870xyz,

所以，到,AB两点的距离相等的点(,,)Pxyz的坐标,,xyz满足的条件是

46870xyz．

点评：到,AB两点的距离相等的点(,,)Pxyz构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点P

的坐标,,xyz满足的条件46870xyz的系数构成一个向量(4,68)a

，发现与

(2,3,4)AB

uuur

共线.

例2．如图正方体

1111

ABCDABCD中，

111111

BEDFAB，求

BE与

DF所成角的余

弦.

解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，

则(1,1,0)B，

(1,,1)

E，(0,0,0)D，

(0,,1)

F，

∴

(0,,1)

BE

uuuur

，

(0,,1)

DF

uuuur

，∴

BEDF

uuuuruuuur

，

1115

00()11

4416

BEDF

uuuuruuuur

．

cos,

1717

BEDF

uuuuruuuur

．

例3．已知三角形的顶点是(1,1,1)A，(2,1,1)B，(1,1,2)C，试求这个三角形的面积.

分析：可用公式

||||sin

SABACA

uuuruuur

来求面积.

解：∵

(1,2,2)AB

uuur

，

(2,0,3)AC

uuur

，

∴222||12(2)3AB

uuur

，22||(2)0(3)13AC

uuur

，

(1,2,2)(2,0,3)264ABAC

uuuruuur

，

∴

4413

coscos,

||||

313

ABAC

AABAC

ABAC









uuuruuur

，

∴2

13101

sinsin,1cos,

AABACABAC





uuuruuuruuuruuur

，

所以，

1101

||||sin

22ABC

SABACA





uuuruuur

．

点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角.

四、课堂练习：

1.若(3cos,3sin,1)A，(2cos,2sin,1)B，求

||AB

uuur

的取值范围；

2．已知

(,2,0)ax

，2(3,2,)bxx

，且a

与b

的夹角为钝角，求

的取值范围；

3．若(cos,sin,2sin)P，(2cos,2sin,1)Q，求

||PQ

uuur

的最大值和最小值.

4．求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

已知：直线OA⊥平面，直线BD⊥平面，O、B为垂足．

求证：OA//BD．

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i

为沿x

轴，y轴，z轴的坐标向量，且设

uuuur

＝),,(zyx．

∵BD⊥，∴

uuuur

⊥i

，

uuuur

⊥

，

∴

uuuur

·i

＝),,(zyx·(1,0,0)＝x＝0，

uuuur

＝),,(zyx·(0,1,0)＝y＝0,

∴

uuuur

＝(0,0,z)．∴

uuuur

＝z

．即

uuuur

//k

．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；

⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面，则表示该向量所有的有向线段所

在直线都垂直于．

如果表示向量a

的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记

作a

⊥．

如果a

⊥，那么向量a

叫做平面的法向量．

五、小结：

1．空间向量的模长公式、两点间的距离公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此

可类比记忆；

2．在计算异面直线所成角时，仍然用向量数量积的知识，建立空间直角坐标系后能方

便的求出向量的坐标，则通常考虑用坐标运算来求角.

3．对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可

以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标

运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当．

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