正弦图像
山的图片大全-冰心的散文集
2023年3月19日发(作者：包小图)1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
（一）
给定任意一个角，其正弦值、余弦值均存
在，且满足唯一性，即角与正弦、余弦值之
间可以建立一一对应关系，符合函数的要求。
形如y=Asin(ωx+φ)（ω≠0）的函数称
为正弦函数；
形如y=Acos
(
ωx+φ
)
（ω≠0）的函数
称为余弦函数；
其中y=sinx、y=cosx是正弦函数与余弦
函的基本形式：所有的正弦函数、余弦函数，
通过“换元”思想，都可以转化为y=sinx与
y=cosx的形式，故二者是研究正弦函数与
余弦函数的基石。
（二）
在诱导公式的帮助下，我们可以将任意一
个角的三角函数值转化为求某一个锐角的
三角函数，再以有序实数对（角，三角函数）
的形式在坐标系内描点，从而得到三角函数
的图象；除了基础的描点法，我们也可以利
用三角函数线，得到函数的图象。
做法：①等分单位圆O
1
：以单位圆O
1
与x
轴交点A为起点，将圆等分为12份；
②作正弦线：过单位圆的各分点作x
轴的垂线，得0，
π
6
，
π
3
，
π
2
，…，2π等角的
正弦线；
③平移画图：在x轴上等分0到2π为
12份，将正弦线平移到相应的角上，连接
正弦线的终点，从而得到0到2π的正弦函数
图象。
（三）
0到2π，是任意角的冰山一角；0到2π一
段上的函数图象，也仅仅是三角函数图象的
一部分.另一方面，当角的终边旋转一周后继
续旋转，角的大小在逐渐变化的同时，角的
正弦线“玩接力”样依次重复出现，可以预
见，2π到4π，4π到6π，6π到8π，…，是0到
2π一段上函数图象的“复制”与“粘贴”，
每一段的首尾相接，便是函数图象的“真身”。
（四）
正弦函数、余弦函数的图象告诉我们：
①从自变量x的角度看，函数图象可沿着x
轴正、负方向无限延伸，即x轴上任何一个
数值都对应函数图象上一个点，故正弦函数、
余弦函数的定义域为全体实数R；
②从因变量y的角度看，正弦函数、余弦
函数的图象是在由y=1与y=−1两条互相
平行的直线围成的条形带中，故正弦函数、
余弦函数的值域为[−1，1]，好比正弦函数、
余弦函数为一个“加工厂”，投入的角多大
多小，产成品----“函数值”只能在[−1，1]；
③正弦函数、余弦函数的图象可以看作某
一部分（如图中的阴影部分）的重复拼接，
故画函数图象时，可以以此为单元。
（五）
基于正弦函数、余弦函数图象的特征，有
了重复单元，就有了整个正弦函数、余弦函
数的图象；在画函数图象时，重复单元的绘
制显得尤为重要。我们往往选择区间
[0，2π]上的图象，作为正弦函数、余弦函
数图象的重复单元。观察图象，发现函数
y=sinx或y=cosx在区间[0，2π]上的图，
起关键作用的点有五个，为：①（0，0），
（
π
2
，1）,（π，0），（
3π
2
，1），（2π,1）；
②（0,1），
(
π
2
，0)，(π，−1)，（
3π
2
，0）
（2π,1）；
这种由五个关键点画正弦、余弦函数图象
的方法，称为“五点法”。五点法所涉及的
五个点并不是一成不变的，其横、纵坐标均
可能改变；五点法的实质是选取了五个特殊
角，即0，
π
2
，π，
3π
2
，2π，由此衍生出x
与y的值。
考点一五点法画函数图象
典例剖析
【例1】利用“五点法”画出函数y=sin(1
2
x+
π
6
)在长度为一个周期的闭区间的简图.
解析五点法是以角为基础确定的，区分角
与自变量，列表描点连线得函数的图象。
(1)列表：
角
1
2
x+π
6
0
π
2
π3π
2
2π
自变量x−
π
3
2π
3
5π
3
8π
3
11π
3
因变量y010−10
(2)描点：
在坐标系中描出点
(−
π
3
，0)，
(
2π
3
，1)，
(5π
3
，0)，
(
8π
3
，−1)，(
11π
3
，0)
(3)连线：
y
1
−
π
3
2π
3
5π
3
9π
3
11π
3
【类题突破1】用“五点法”作出函数
y=2sin(2x−π
3
)的简图.
规律总结：①“五点法”是以角为基础的，
即对于所有的正弦函数、余弦函数，其角依
次取0，
π
2
，π，
3π
2
，2π，并由此推出相应
自变量x与因变量y的值；
②“五点法”仅得到一个周期长度的函数图
象，即一个重复单元，不断重复该部分图象
即可得一个完整图象.
考点二给定区间上的函数图象
典例剖析
【例2】已知函数f
(
x
)
=
√
2sin
(2x
−π
4
)
+1，
画出函数在区间[−
π
2
，
π
2
]上的图象.
解析根据自变量x的取值范围确定角的取
值范围，并选择特殊性质的角；注意必须包
含左右端点对应的角。
∵−π
2
≤x≤π
2
∴−
5π
4
≤2x−π
4
≤3π
4
其中的特殊性质的角依次为：−
5π
4
，−π
−π
2
，0，
π
2
，
3π
4
(1)列表：
2x−π
4
−
5π
4
–π−π
2
0π
2
3π
4
x−
π
2
−
3π
8
−
π
8
π
8
3π
8
π
2
y211-
√
211+
√
22
(2)描点：在坐标系中标注点(−
5π
4
，2)
(−π，1)，
(−
π
2
，1−
√2)
，(0，1)
(
π
2
，1+
√2)
，（
3π
4
，2)
(3)连线得函数图象：
【类题突破2】函数y=sin(2x−
π
3
)在区间
[−π
2
，π]上的简图是下列选项中的
()
1yy1
−
π
3
O
π
6
π−
π
2
−
π
3
O
π
6
π
AB
y1y1
−π
2
−
π
6
π
3
πx−
π
2
−
π
6
O
π
3
π
CD
规律总结：①绘制给定区间上的正弦、余弦
函数图象，仍以角为基础选点，即根据自变
量x的取值范围，求出角的取值范围，并选
出范围内的特殊角，进而选出绘图所需点；
②特殊角为两类，一类是坐标轴上的角，一
类是端点对应的角；
③给定区间上的函数图象所需点的个数不
局限于五个.
考点三函数图象解不等式
典例剖析
【例3】写出不等式