法平面
盾构机工作原理-服务器性能
2023年3月19日发(作者：西游记好段)百度文库-让每个人平等地提升自我
11
第一章曲线论
§2向量函数
5.向量函数
)(tr
具有固定方向的充要条件是
)(tr
×
)('tr
=0
。
分析：一个向量函数
)(tr
一般可以写成
)(tr
=
)(t)(te
的形式，其中
)(te
为单位向
量函数，
)(t为数量函数，那么
)(tr
具有固定方向的充要条件是
)(te
具有固定方向，
即
)(te
为常向量，（因为
)(te
的长度固定）。
证对于向量函数
)(tr
，设
)(te
为其单位向量，则
)(tr
=
)(t)(te
，若
)(tr
具有固
定方向，则
)(te
为常向量，那么
)('tr
=)('te
，所以r
×'r
='（e
×e
）=0
。
反之，若r
×'r
=0
，对
)(tr
=
)(t)(te
求微商得'r
='e
+'e
，于是r
×
'r
=2（e
×'e
）=0
，则有=0或e
×'e
=0
。当)(t=0时，
)(tr
=
0
可与任意方
向平行；当
0时，有e
×'e
=0
，而（e
×'e
2)=22'ee
-(e
·'e
2)＝2'e
，（因为e
具有固定长，
e
·'e
=0），所以'e
=
0
，即
e
为常向量。所以，
)(tr
具有固定方向。
6．向量函数
)(tr
平行于固定平面的充要条件是（r
'r
''r
）=0。
分析：向量函数
)(tr
平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(tn
，使
)(tr
·n
=0，所以我们要寻求这个向量
n
及
n
与'r
，''r
的关系。
证若
)(tr
平行于一固定平面π，设
n
是平面π的一个单位法向量，则
n
为常向
量，且)(tr
·n
=0。两次求微商得'r
·
n
=0，''r
·
n
=0，即向量r，'r
，''r
垂直
于同一非零向量n
，因而共面，即（r
'r
''r
）=0。
反之,若（r
'r
''r
）=0，则有r
×'r
=0
或r
×'r
0
。若r
×'r
=0
，由上题知
)(tr
具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r
×'r
0
，则存在数量函数)(t、
)(t，使''r
=r+'r
①
百度文库-让每个人平等地提升自我
22
令
n
=r×'r
，则
n
0
，且
)(tr
⊥
)(tn
。对
n
=r
×'r
求微商并将①式代入得
'n
=r
×''r
=
（r×'r
）=n
，于是
n
×
'n
=0
，由上题知n
有固定方向，而
)(tr
⊥n
，即
)(tr
平行于固定平面。
§3曲线的概念
1．求圆柱螺线x=tcos，y=tsin，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。
解令tcos=1,
tsin
=0,t=0得t=0,'r
(0)={-tsin,tcos,1}|
0t
={0,1,1},
曲线在(0,1,1)的切线为
110
1z
y
x
，法平面为y+z=0。
2．求三次曲线},,{32ctbtatr
在点
0
t的切线和法平面。
解}3,2,{)('2
000
ctbtatr
，切线为
2
0
3
0
0
2
00
3
2
ct
ctz
bt
bty
a
atx
，
法平面为0)(3)(2)(3
0
2
0
2
000
ctzctbtybtatxa。
3.证明圆柱螺线r={acos,asin,b}()的切线和z轴作固
定角。
证明'r
={-asin,acos,b},设切线与z轴夹角为,则cos
=
22||||
'
ba
b
er
kr
为常数，故为定角（其中k
为z轴的单位向量）。
4.求悬链线r={
t
，
a
tacosh}（-t）从t
=0起计算的弧长。
解'r
={1，
a
tsinh}，|'r
|=
a
t
2sinh1
=
a
tcosh，ｓ＝
a
t
t
a
tadtsinhcosh
0
。
百度文库-让每个人平等地提升自我
33
９．求曲线2232,3axzyax在平面
3
ay
与y=9a之间的弧长。
解曲线的向量表示为r
＝}
2
,
3
,{
2
2
3
x
a
a
x
x，曲面与两平面
3
ay
与y=9a的交
点分别为x=a与x=3a,'r
＝
}
2
,,1{
2
2
2
2
x
a
a
x
，｜'r
｜＝
4
44
4
4
1
x
a
a
x
＝
2
2
2
2
2x
a
a
x
，
所求弧长为adx
x
a
a
x
sa
a
9)
2
(
2
2
3
2
2
。
10.将圆柱螺线r={atcos，a
tsin，b
t
}化为自然参数表示。
解'r
={-a
tsin,atcos,b}，s=
tbadtrt
22
0
|'|
，所以
22ba
s
t
，
代入原方程得r={a
cos
22ba
s
,a
sin
22ba
s
,
22ba
bs
}
11.求用极坐标方程
)(
给出的曲线的弧长表达式。
解由cos)(x
，sin)(y
知'r
={)('cos-sin)(
，
)('sin+cos)(}，|'r
|=)(')(22，从
0
到的曲线的弧长是
s=
0
)(')(22
d。
§4空间曲线
1．求圆柱螺线x=atcos，y=atsin，z=bt在任意点的密切平面的方程。
解'r
={-atsin,atcos,b},''r
={-atcos,-atsin,0}
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
0sincos
cossin
sincos
tata
btata
btztaytax
=0，即(btsin)x-(btcos)y+az-abt=0.
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44
2.求曲线r={ttsin,ttcos,tte}在原点的密切平面、法平面、从切面、切
线、主法线、副法线。
解原点对应t=0,'r
(0)={
tsin
+ttcos,tcos-ttsin,te+tte
0
}
t
={0,1,1}，
)0(''r
{2tcos+ttcos,tcos-ttsin,2te+tte
0
}
t
={2,0,2}，
所以切线方程是
110
z
y
x
，法面方程是y+z=0；
密切平面方程是
202
110
zyx
=0，即x+y-z=0，
主法线的方程是
0
0
zy
zyx
即
112
z
y
x
；
从切面方程是2x-y+z=0,副法线方程式
111
z
y
x
。
3．证明圆柱螺线x=atcos，y=atsin，z=bt的主法线和z轴垂直相交。
证'r
={-a
tsin,atcos,b},''r
={-atcos,-a
tsin,0}，由'r
⊥''r
知''r
为
主法线的方向向量，而''r
0k
所以主法线与z轴垂直；主法线方程是
0sin
sin
cos
cosbtz
t
tay
t
tax
与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。
4.在曲线x=cos
cost,y=cos
sint,z=tsin
的副法线的正向取单
位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解'r
={-cos
sint,cos
cost,sin
},''r
={-cos
cost,-cos
sint,0}
|'''|
'''
rr
rr
{sin
sint,-sin
cost,cos
}
新曲线的方程为r={cos
cost+sin
sint，cos
sint-sin
cost，tsin
+
cos
}
对于新曲线'r
={-cos
sint+sin
cost，cos
cost+sin
sint，sin
}={sin(
-t),
cos(
-t),sin
},''r
={-cos(
-t),sin(
-t),0},其密切平面的方程是
百度文库-让每个人平等地提升自我
55
0
0)sin()cos(
sin)cos()sin(
sinsincoscoscos
tata
atata
atztaytax
即sin
sin(t-
)x–sin
cos(t-
)y+z–tsin
–cos
=0.
5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
证方法一：
设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径
)(tr
具有固定
长，所以r·'r
=0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面
通过这点的向径，也就通过其始点球心。
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则
r·'r
=0，
)(tr
具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
()rrt
是球面曲线存在定点
0
r（是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半
径）使22
0
()rrR
0
2()0rrr
，即
0
()0rrr
（﹡）
而过曲线
()rrt
上任一点的法平面方程为
()0rr
。可知法平面过球面
中心（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r={atcos，a
tsin，b
t
}的副法线的直线轨迹
是锥面2222)(bzyxa.
证'r
={-a
tsin,atcos,},''r
={-atcos,-a
tsin,0}，'r
×
''r
=},cos,sin{atbtba为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程
是
a
z
tb
y
tb
x
cossin
，消去参数t得2222)(bzyxa。
百度文库-让每个人平等地提升自我
66
7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴
},sinh,cosh{attatar
,
⑵)0)}(3(,3),3({323
attaatttar。
解⑴
},cosh,sinh{'atatar
，
}0,sinh,cosh{''tatar
，
}0,cosh,{sinh'''ttar
，
}1,cosh,sinh{'''ttarr
，所以
ta
ta
ta
r
rr
k
2
3
2
3cosh2
1
)cosh2(
cosh2
|'|
|'''|
tata
a
rr
rrr
224
2
2cosh2
1
cosh2)'''(
)''','','(
。
⑵}1,2,1{3'22tttar
，
}1,0,1{6'''},,1,{6''arttar
，
'r
×''r
=}1,2,1{18222ttta，
22
322
22
3)1(3
1
)1(2227
)1(218
|'|
|'''|
ta
ta
ta
r
rr
k
222242
3
2)1(3
1
)1(218
2618
)'''(
)''','','(
tata
a
rr
rrr
。
8．已知曲线}2cos,sin,{cos33tttr
，⑴求基本向量
,,；⑵曲率和挠率；
⑶验证伏雷内公式。
分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本
向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解⑴}4,sin3,cos3{cossin}2sin2,cossin3,sincos3{'22tttttttttr
，
,cossin5|)('|tttr
dt
ds
（设sintcost>0），则}
5
4
,sin
5
3
,cos
5
3
{
|'|
'
tt
r
r
，
}0,cos
5
3
,sin
5
3
{
cossin5
1
tt
ttds
dt
dt
d
•
，
}0,cos,{sin
||
tt
•
•
，
}
5
3
,sin
5
4
,cos
5
4
{tt
，
⑵
tt
k
cossin25
3
||
•
，
}0,cos,sin{
cossin25
4
tt
tt
•
，由于
•
与
方
向相反，所以
ttcossin25
4
||
•
百度文库-让每个人平等地提升自我
77
⑶显然以上所得
,,,
••
k
满足
••
,k
，而
•
}0,sin,{cos
cossin5
1
tt
tt
也满足伏雷内公式。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr
，则曲线在任意
点的切线方程是
)(')(trtr
，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(trtr
，可
见r∥'r
，所以r具有固定方向，故r＝)(tr
是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr
，则曲线在任意点的
切线方程是
)(')(trtr
，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(trtr
，于是'r
＝''r
，从而'r
×''r
＝0
，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为
0
r，曲线的方程为r＝()rs，则曲线在任意点的切线方程是
()()rss
，由条件切线都过定点
0
r，所以
0
()()rrss，两端求导得:
()()ss
,即(1)()0s
，而(),()ss
无关，所以
10
，
可知
0,()0s
，因此曲线是直线。
10.证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr
，则曲线在
任意点的密切平面的方程是
0))('')('())((trtrtr
，由条件
0))('')('()(trtrtr
，即（r
'r
''r
）=0，所以r
平行于一固定平面，即r＝)(tr
是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(sr
，则曲线在任
意点的密切平面方程是0))((
sr，由条件0)(
sr，两边微分并用伏雷内
公式得
0)(
sr。若0)(
sr,又由0)(
sr可知)(sr
∥)(sr
•
,所以r＝
百度文库-让每个人平等地提升自我
88
)(sr
平行于固定方向，这时r＝)(sr
表示直线,结论成立。否则
0，从而知曲线是
平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r＝)(tr
，则曲线在任意
点的密切平面方程是
0))('')('())((trtrtr
，由条件
0))('')('()(trtrtr
，
即（r
'r
''r
）=0，所以r，'r
，''r
共面，若r∥'r
，则r＝)(tr
是直线，否则可设
''',''''''rrrrrr
，所以
','','''rrr
共面，所以
0，从而知曲线是平面
曲线。
11.证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量
e
，那么曲线是直线或平面曲
线。
证方法一：根据已知
0e
，若
是常向量，则k=||
•
=0，这时曲线是直
线。否则在
0e
两边微分得
•
·
e
=０，即k
·
e
=０,所以
·
e
=０，又因
0e
，
所以
∥e
，而
为单位向量，所以可知
为常向量，于是0||||
•
，即
0，此
曲线为平面曲线。
方法二：曲线的方程设为r＝)(tr
，由条件'r
·
e
＝０，两边微分得''r
·
e
＝０，
'''r
·
e
＝０，所以'r
，''r
，'''r
共面，所以（'r
''r
'''r
）＝０。由挠率的计算公式
可知0，故曲线为平面曲线。当'r
×''r
＝0
时是直线。
方法三：曲线的方程设为r＝)(tr
，由条件'r
·
e
＝０，两边积分得（p是常数）。
因
rep
是平面的方程，说明曲线r＝)(tr
在平面上，即曲线是平面曲线，当'r
有
固定方向时为直线。
12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明设曲线（C）：r＝)(sr
的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（
C
）的方程
为：
)(
1
)(s
k
sr
，（
为曲线（C）的主法向量），对于曲线（
C
）两边微分
得
k
k
k
s)(
1
)('
，（
，
，
分别为曲线（C）的单位切向量，副
百度文库-让每个人平等地提升自我
99
法向量和挠率），
kk
2
''
•
，
k
||
|'|
，
2
3
'''
k
，曲线（C）的曲率为
k
k
k
k
3
3
2
3
3||
||
|'|
|'''|
为常数。
13.证明曲线x=1+3t+22t,y=2-2t+52t,z=1-2t为平面曲线，并求出它所在的平
面方程。
证'r
={3+4t,-２+10t,-2t}，''r
={4，10，-２}，'''r
＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是0
)'''(
)''','','(
2
rr
rrr
，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任
一点的密切平面。对于ｔ=０,r=｛１,２,１｝，'r
={3,-２,０}，''r
={4，10，-２}，
'''r
＝｛０，0，0｝。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是
0
2104
023
121
zyx
，
即2x+3y+19z–27＝０．
14．设在两条曲线Γ、
的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切
线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证设曲线Γ：r=)(sr
与：)(srr
点s与s一一对应，且对应点的切线平行，则
)(s
=)(s
,两端对s求微商得
ds
sd
,即
ds
sd
sksk)()(
，(这里k
0，
若k=||
=0，则
无定义)，所以
∥
，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平
行。
15．设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主
法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证设
,
分别为曲线Γ、的切向量,
,
分别为曲线Γ、的主法向量,
则由已知)()(ss
．．．．．①，而
ds
sd
ds
d
)(
＝
百度文库-让每个人平等地提升自我
1010
ds
sd
skk)(
将①式代入0)(
ds
sd
k
。所以
·
＝常数，故量
曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线
的副法线,Γ的曲率、挠率分别为,。求证
k=
0
(2+2),其中
0
为常数。
证设Γ的向量表示为r=)(sr
，则
可表示为
=)(sr
+)(s)(s
，
的切向量
'
=
+
+（－k
+
）与
垂直，即
'
·
＝
＝０，所以为常数，设为
0
，
则
'
＝（１－
0
k）
+
0
。再求微商有
''
＝－
0
k
＋（１－
0
k）k
＋
0
－
0
2
，''
·
＝（１－
0
k）k－
0
2＝０，所以有k=
0
(2+2)。
17．曲线r={a(t-sint),a(1-cost),4acos
2
t
}在那点的曲率半径最大。
解'r
=a{1-cost,sint,-2sin
2
t
},''r
=a{sint,cost,-cos
2
t
},|
2
sin|22|'|
t
r
,
'r
×''r
=}1,
2
cos,
2
{sin
2
sin2}
2
cos4,
2
cos
2
sin2,
2
sin2{22232
ttt
a
t
a
ttt
a,
|'r
×''r
|=2
2
sin222
t
a,
|
2
sin|8
1
||
|'''|
3t
a
r
rr
k
,|
2
sin|8
t
aR,所以在
t=(2k+1)
，k为整数处曲率半径最大。
18．已知曲线)(:)(3srrCC
上一点)(
0
sr
的邻近一点)(
0
ssr
，求
)(
0
ssr
点到)(
0
sr
点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点)(
0
sr
的曲率、
挠率分别为
00
,
）。
百度文库-让每个人平等地提升自我
1111
解)(
0
ssr
－)(
0
sr
＝3
0
2
00
])([
!3
1
)(
2
1
)(ssrssrssr
＝
3
0002
1
ss
＋3
000000
2
0
)(
6
1
skk
，设
030201
，
其中
0lim
0
s
。则)(
0
ssr
－)(
0
sr
＝
0
3
3000
3
20
2
00
3
1
2
0
])(
6
1
[])(
6
1
2
1
[])(
6
1
[
sssss
上式中的三个系数的绝对值分别是点)(
0
ssr
到)(
0
sr
的法平面、从切平面、
密切平面的距离。
§5一般螺线
5.证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一:当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量
是常向量.
即
=0
。曲线的挠率的绝对值等于|
|为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设n
是固定直线一向量，则'r
·
n
=0，积分得r·
n
=p,说明曲线在以
n
为法向量的一个平面上,因而为平面直线。
证法三：设n
是固定直线一向量，则'r
·
n
=0，再微分得''r
·
n
=0，'''r
·
n
=0。
所以'r
、''r
、'''r
三向量共面，于是（'r
''r
'''r
）=0，由挠率的计算公式知
=0，
因此曲线为平面曲线。
7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证设一曲线为Γ：r＝)(sr
，则另一曲线的表达式为：)(sr
)(s)(s
，
)(s
为曲线Γ在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。
'
＝
＋
－
与
正交，即'
·
＝０，于是
＝０，为常数。'
＝
－
百度文库-让每个人平等地提升自我
1212
，
''
＝k
－
－
（－k
＋
）也与
正交，即
''
·
＝-2=0,
而
０,所以有
＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线
为平面曲线。
8.如果曲线Γ：r＝)(sr
为一般螺线,、
为Γ的切向量和主法向量，R为
Γ的曲率半径。证明
：
=R－ds
也是一般螺线。
证因为Γ为一般螺线,所以存在一非零常向量
e
使与
e
成固定角,对于曲线
,其切向量
'
=
RRR与共线,因此也与非零常向量
e
成固定角,所
以
也为一般螺线。
9．证明曲线r＝)(sr
为一般螺线的充要条件为0),,(
....
rrr
证
r，
)2()(3,23
....
2rr
2
5333
....
)(3)2(),,(
krrr
＝
)(5
，其中k
0.
曲线r＝)(sr
为一般螺线的充要条件为
为常数,即•)(
=0,也就是
0),,(
....
rrr
。
方法二：0),,(
....
rrr
，即0),,(
。曲线r＝)(sr
为一般螺线，则存在常向
量
e
，使·
e
=常数，所以,0,0,0eee
所以
,,共面，从而（
,,）
=0。反之，若（
,,）=0，则
平行于固定平面，设固定平面的法矢为
e
，则有
0e
，从而·e
=p(常数)，所以r＝)(sr
为一般螺线。
方法三：曲线r＝)(sr
为一般螺线存在常向量e使e，即0e
平行于固定平面（以
e
为法向量的平面）
r
平行于一固定平面(,,)0rrr。
百度文库-让每个人平等地提升自我
1313
方法四：
""
设r＝)(sr
为一般螺线，存在常向量
e
使
e
=常数，即re常
数，连续三次求微商得0,0rere，0re，所以
0),,(
....
rrr
。
""
因为
0),,(
....
rrr
，所以
r
平行于固定平面，设固定平面的法矢为
n
（常向
量），则rn，而,rn，所以曲线为一般螺线。
10.证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
证设曲线Γ与
在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r＝)(sr
，则
：
)(sr
)(s)(s
，
０，其切向量为
'
＝＋
＋k
应与平行，所以
k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线
为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为
非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。
11．设在两条曲线Γ、
的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平
行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成
比例，因此如果Γ为一般螺线,则
也为一般螺线。
证设曲线Γ：r=)(sr
与：)(srr
点建立了一一对应，使它们对应点的切
线平行，则适当选择参数可使)(s
=)(s
,两端对s求微商得
ds
sd
,即
ds
sd
sksk)()(
，这里0
ds
sd
，所以有
=
，即主法线平行，从而)(s
=
)(s
，
即两曲线的副法线也平行。且,
ds
sd
或
ds
sd
。)(s
=
)(s
两边对s求微商得
ds
sd
ss)()(
，于是
,
ds
sd
或
ds
sd
，所以，
或
。