函数曲线
-
2023年3月19日发(作者：教师几岁退休)第四模块微、积分学的应用
习题4—6
函数曲线的凹凸性和拐点
1．设函数y=f(x)在区间（a,b）内二次可导，且y>0,
y
>0,y
<0，则曲线y=f(x)
在（a,b）内位于x轴上方，单调递增且凸向上。对吗？
解：对。
2．设函数y=f(x)在区间（a,b）内二次可导，且
y
<0,y
>0，则曲线y=f(x)在（a,b）
单调递减且凹向上。对吗？
解：对。
3．求曲线y=326xx+x-1的凹凸区间及拐点。
解：y
=32x-12x+1，y
=6x-12，令y
=0，解得：x=2，在（，2）内，y
<0,
凹区间，在（2，）内，y
>0，为凸区间，x=2，y=-15。（2，-15）是
拐点。
4．求y=x+
1
x
x
的凹凸区间及拐点。
解：y
=1-
2
1
(1)x
，y
=
3
2
(1)x
，x=1，y
不存在，在（，1）内，y
<0,
凹区间，在（1，）内，y
>0，为凸区间，无拐点。
5．已知函数y=a3x+b2x+cx+d有拐点（-1,4），且在x=0处有极大值2，求a,b,c,d
的值。
解：y
=3a2x+2bx+c，因为在x=0处有极大值2，所以，d=2，c=0，而y
=6ax+2b，
有拐点（-1,4），有-6a+2b=0，4=-a+b+2，得a=1，b=3。
6．证明曲线y=xsinx上所有的拐点均位于曲线2y(4+2x)=42x上
证明：只需证明曲线y=xsinx上所有可能是拐点的坐标满足方程2y(4+2x)=42x
y
=sinx+xcosx，
y
=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx
令
y
=0，得:2cosx-xsinx=0（1）
又y=xsinx（2）
由（1）得x=2cotx（3）
将（2）（3）代入2y
(4+2x)=42x中，两边相等，证得所有拐点在2y
(4+2x)=42x上。
7．在整个实数轴上有界的函数必具有水平渐进线。对吗？
解:不对，例如y=sinx在R上有界，但无水平渐进线。
8．若lim
x
f(x)=c，则曲线y=f(x)有水平渐进线y=c。对吗？
解：对。
9．曲线y=
2
2
32
1
xx
x
仅有垂直渐进线x=1。对吗？
解：不对。还有水平渐进线y=1。
10．研究函数y=326xx+9x-482—85的性态，并作出图形。
解：函数的定义域为（，），y
=32x-12x+9=3（x-1）（x-3），令y
=0，解
得：x=1，x=3，y
=6x-12，令y
=0，解得：x=2，列表讨论：
x（，1）1（1，2）2
（2，
3）
3（3，）
y
++———0+
y
———0+++
y增而凹
极大值
0
减而凹
拐点（2，
-2）
减而
凸
极小值
-4
增而凸
作图
11．研究函数y=x2xe的性态，并作出图形。
解：函数的定义域为（，），y
=2xe-22x2xe，令y
=0，解得：x=
2
2
，
y
=-2x2xe-4x2xe+43x2xe=x2xe（42x-6），令y
=0，解得：x=0，x=
6
2
，
因为函数是奇函数，关于原点对称，只要作出（，0），即可得到它的图形。
列表讨论：
x
（，
6
2
）
6
2
（
6
2
，
2
2
）
2
2
（
2
2
，0）
y
———0+
y
+0———
y减而凸
拐点
（
6
2
，
6
2
3
2e
）
减而凹
极小值
2
2
1
2e增而凹
作图
12．研究函数y=
2
21
x
x
的性态，并作出图形。
解：函数的定义域为（，），
y
=
22
2
(1)
x
x
，令
y
=0，解得：x=0，
y
=
2
23
28
(1)
x
x
，令y
=0，解得：x=
1
2
，因为函数是偶函数，关于y轴对称，只
要作出（，0），即可得到它的图形。
列表讨论：
x
（，—
1
2
）—
1
2
（—
1
2
，0）
0
y
————
y
—0++
y减而凹
拐点（-
1
2
，
-
16
25
）
减而凸极小值0
作图