二项式展开公式

二项式展开公式

-

2023年3月19日发(作者：法语入门学习)

1

二项式展开定理

一、定理及基本概念

1.*)()(110NnnCbaCbaCaCbann

n

rrnr

n

n

n

n

n

n；

2.项数：一共1n项；

3.通项：rrnr

nr

baCT





1

；一定注意两点：

1)涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；

2)注意项数与系数r的关系。

4.二项式系数与各项系数之间的联系与区别。

二、性质

1.二项式系数的对称性：rn

n

r

n

CC；

2.二项式系数和：n2；

3.奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和=12n；

4.二项式系数最大项：

1)当

n

是偶数时，此时项数1n是奇数，中间项的二项式系数2

n

n

C

最大；

2)当

n

是奇数时，此时项数1n是偶数，中间两项的二项式系数2

1n

n

C

=2

1n

n

C

最大。

5.系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。

2

基本题型解题思路及步骤

一、利用通项公式求某项系数

1.写出通项公式的时候注意：

1)所有的系数写在最前面，包括符号；

2)所有根式都写出分数次数形式；

3)明白什么是有理项；

4)注意r的取值范围。

2.只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。

3.有两个式子相乘：

1)分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；

2)只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数；

3)有多个

i

r的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。

二、赋值求系数和

1.常用的赋值是令1,1,0x，具体要通过所求的式子来判断赋值；

2.所有系数之和：令1x；二项式系数之和：n2；

3.所有系数绝对值之和：令1x；变换原来式子里的符号，边为相加；再令1x；

4.求导和积分的形式。

三、对二项式定理的理解：组合项、整除

1.二项式定理的ba,理解：都表示一个整体；

2.根据所求的问题，对前面的ba,进行重新组合。

3

例题讲解

一、求某项的系数

1.求9

2

)

1

(

x

x展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。

解：直接用通项公式打开：rrrrrr

r

xCxxCT39

9

29

91

)1()()(



；（注意系数都放一起）

常数项即

x

的次数为0，也即：3039rr；所以常数项为第4项；

且常数项为：

84)1(33

9

C

2.在二项式nx

x

)

1

(4

3

3

的展开式中，第四项的系数为56，求

x

1

的系数。

解：第四项的系数为56：注意：项数与展开式中r的取值的关系。此时：3r。

3

n

C=56，解得：8n；

再利用通项公式：12

3213

8

4

3

8

81

)()(3

1











r

rrrr

r

xCxxCT

；

要求

x

1

的系数，所以：2

2

1

12

3213





r

r

；

故

x

1

前的系数为：

282

8

C

3.求二项式102)

2

1

3(

x

x展开式中常数项的值。

解：2

540

10

10

2

1

102

101

)

2

1

()3()

2

1

()3(

r

rrrrrr

r

xCxxCT











，所以8r；

常数项的值为：

256

405

)

2

1

(3828

10

C。（一定严格按步骤来，注意系数的符号）

4

4.求二项式8

3)2(xx展开式中有理项的系数和。

解：什么是有理项？kx，当Zk时为有理项；

用通项公式打开：6

24

8

3

1

8

2

1

81

)2()2()(

r

rrrrr

r

xCxxCT









；

要满足有理项，即：Z

r





6

24

且Zrr,80，所以：0r或6r

当0r时，

1)2(00

8

C；当6r时，1792)2(66

8

C；

故：有理项的系数和为1793。

5.求多项式106)1()

1

(x

x

x展开后常数项。

解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的

21

,rr的取值范围；

6)

1

(

x

x展开：111)()(2

1

6

6

rrrxxC

；10)1(x展开：222)1()(10

2

1

10

rrrxC

所以：106)1()

1

(x

x

x展开后：2

322

106

12

221)1(

rr

rrrxCC





（100,60

21

rr）

所以：0322

12

rr，所以：10,4

21

rr或7,5

21

rr或4,6

21

rr；

当10,4

21

rr时，15)1(1010

10

4

6

CC；

当7,5

21

rr时，720)1(77

10

5

6

CC；

当4,6

21

rr时，

210)1(44

10

6

6

CC

；

所以常数项为：49572021015。

5

6.求展开式34)21()31(xx中，2x的系数。

解：4)31(x展开：11)3(

4

rrxC；3)21(x展开：22)2(

3

rrxC；

所以：34)21()31(xx展开：212121)2(3

34

rrrrrrxCC，其中：30,40

21

rr；

所以：











2

0

2

1

r

r

或











1

1

2

1

r

r

或











0

2

2

1

r

r

；

故系数为：

6)2(3)2(3)2(3020

3

2

4

111

3

1

4

202

3

0

4

CCCCCC

7.已知n

x

xxx)

1

)(1(

3

2（82n）的展开式中没有常数项，则

n

的值为。

解：n

x

x)

1

(

3

展开：11111

4

3)()(rnr

n

rrnr

n

xCxxC



；

由题意可知，展开式中没有常数项。则24,14,04

111

rnrnrn，

所以：24,14,4

111

rnrnrn，所以：5n。

8.求67

3

)

1

2()

3

(

x

x

x

x中，1x的系数。

9.求592)2()13(xxx的展开式中，2x前的系数为？

10.求8732)1()1()1()1()1(xxxxx的展开中3x的系数。

6

二、系数最值

1.在nba2)(的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。

解：展开式式中一共有：12n项。所以中间项为：第1n项。一定要时刻注意项数与次

数的关系。

2.在n

x

x)

1

(2的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为？

解：只有第4项二项式系数最大，所以一共有7项，所以：6n。

通项公式：rrrrr

r

xC

x

xCT312

6

62

61

)

1

()(



，常数项4r，所以：154

6

C。

3.已知nx)2

2

1

(，若展开式中第5，第6与第7项二项式系数为等差数列，求展开式中二

项式系数最大项的系数是多少？

解：通项公式为：rnrr

n

rrnr

nr

xCxCT



2

1

2)2()

2

1

(；

二项式系数为等差数列，所以：6452

nnn

CCC，解得7n或14n；

当7n时，二项式系数最大是第4项和第5项，故：

2

35

2763

74

CT，70214

75

CT；

当14n，二项式系数最大是第8项，故：

34327

148

CT。

注意题目的问题：是二项式系数最大项的系数！

4.求7)21(x的展开式中系数最大的项？

解：通项公式为：rrrrr

r

xCxCT2)2(

771





，各项系数的通项为：rrC2

7

则：















11

77

11

77

22

22

rrrr

rrrr

CC

CC

解得：5r；

所以系数最大项为第6项；5555

76

6722xxCT

。

5.求6)23(x的展开式中系数最小的项是第几项？

7

三、赋值

1.若n

x

x)

1

(

3

2

的展开式中偶数项系数和为256，求n的值。

解：令1x，得所有项的系数和0)11(n；

故951225622nn。

注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别；

注意“减号”与“加号”的联系与区别。

2.若n

x

x

)

11

(

5

2

3

的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：由题可知所有奇数项的系数和即为所有奇数项的二项式系数和为1024；

所以：11102422nn，所以中间项第6,7项；

所以：4

6

462xT

，15

61

7

462xT

。

3.在2006)2(x的二项式展开中，记含

x

的奇次幂的项之和为S，当2x时，求S？

解：令2x，则

0)22()2(20062006x；令

x

的偶次幂的项之和为T；

令2x，则300920062)22(；

则：3008

3009

2

2

0

0











S

ST

ST

ST。

题目如果改为：

3x

时，S的值呢？

还是要注意：奇次幂和偶次幂，对于

x

取相反数的时候的影响。

8

4.若二项式nx)3(中所有项的系数和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则

a

b

b

a

的

最小值为（B）

解：所有项的系数和即令1x，所以na2；

所有项绝对值的和就是要把系数是负的变成正的，令1x，所以：nb4；

所以：

2

5

2

2

1

n

na

b

b

a

。注意*Nn。

5.若n

x

x)

3

(展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中

x

的一次项系数为？

解：由上一题可知，尝试令1x，发现不可行，原式没有意义；

发现n

x

x)

3

(与n

x

x)

3

(展开式中各项系数的绝对值相等；

故n

x

x)

3

(的绝对值之和等价于n

x

x)

3

(的各项系数和；

所以：令1x，510244nn；

n

x

x)

3

(展开的通项公式：

2

35

5

5

2

1

51

)3()

1

3()(

r

rrrrr

r

xC

x

xCT







；

故

x

的一次项系数为：15)3(11

5

C。

上述两个例题就是求各项系数绝对值之和的两个思想。

6.5)51(yx的展开式中不含

x

的项的系数和为？

解：不含

x

的项，可令0x；则题目等价于5)51(y的各项系数和；

令1y，则

55)4()51(y1024。

要消除

x

，可以令0x。

9

7.设多项式展开：

1413

13

1

14

0

95)1()1()1()23()1(axaxaxaxx，则



1310

aaa（D）

A.93B.9532C.52D.5923

解：观察右边的形式：可令0x，则9

141310

3aaaa；

此时，离目标多了一个

14

a；

再令1x，则5

14

2a；

所以：

1310

aaa5923。

8.若2009

200910

2009)21(xaxaax，则

2009

2009

2

21

222

a

aa

的值为？

解：观察所求的形式：令

2

1

x，则0

2222009

2009

2

21

0



a

aa

a；

再令0x，则

1

0

a；

所以：1

2222009

2009

2

21

a

aa

。

9.已知

4



x是函数xxaxfcossin)(图象的一条对称轴，





2014

0

2014)1(

i

i

i

xaax，

则



2014

1i

i

a的为？

解：由题意可知：aff1)

2

()0(



；

令0x，则

1

0

a；

令1x，则

0

201410

aaa；

所以：

1

20141

aa。

10

10.若2013

201310

2013)12(xaxaax，则

201331

aaa的值。

解：发现要求的是

x

的奇数次幂的系数和；

令1x，则1

201310

aaa；

令1x，则2013

2

3aaaaaa；

所以：

2

312013

201331



aaa。

11.设4

410

4)22(xaxaax，求2

31

2

420

)()(aaaaa的值。

解：

))(()()(

4321043210

2

31

2

420

aaaaaaaaaaaaaaa；

即：16)22()22()()(442

31

2

420

aaaaa

12.若2013

201310

2013)12(xaxaax，则

1

2013

2013

1

2

2

222

1

a

a

a

a

的值。

解：发现所求的式子分母中都有

1

a，所以：

)

222

(

1

222

1

2013

2013

2

21

11

2013

2013

1

2

2

a

aa

aa

a

a

a



令

2

1

x，则：0

2222013

2013

2

21

0



a

aa

a；

令0x，则

1

0

a；

所以：1

2222013

2013

2

21

a

aa

；

又

402622012

20131

Ca

；

所以：

4026

1

)

222

(

1

222

1

2013

2013

2

21

11

2013

2013

1

2

2

a

aa

aa

a

a

a

。

11

13.已知8

8

2

210

8)21(xaxaxaax，则

821

82aaa（D）

A.8B.8C.16D.16

解：发现求的形式，用常规的思想不好解，令1x不行；令1x也不行；

再观察发现

i

a前面的系数，正好是对应的

x

的次数；

所以两边都时求导，即：

7

821

78

8

2

210

882)21(16)'(]')21[(xaxaaxxaxaxaax

此时，令1x，则：

821

8216aaa。

14.若2014

201410

2014)12(xaxaax，则求

i

i

a

i







2014

0

1

1

的值。

解：由上一题的解法，发现每个要求的

i

a前的系数正好是对应

x

的次数加1；

联想到可求积分，即：

1

20152014)12(

4030

1

)12(Cxx；

2

2014

2014

2

1

0

2014

2

)(Cx

a

x

a

xaxaxaa；

则：

1

2015)12(

4030

1

Cx

2

2014

2014

2

1

020152

Cx

a

x

a

xa；

令1x，则

12

2014

1

1

CC

a

a

a；

令0x，则

124030

1

CC；

所以：

2015

1

4030

2

20152

2014

1

0



a

a

a。

12

四、组合、整除

1.已知10

1010

10)1()1()1(xaxaax，则

8

a（）

A.5B.5C.90D.180

解：二项式展开nba)(中的ba,仅仅是字母的表示，可以代表一个整体；

观察右边的形式，可以发现)1(x应该是ba,中的一个；

101010)]1(2[)1()1(xxx；

所以

180)2(28

108

Ca。

也可根据次数，直接定位出

8

a的值。

2.已知10

1010

102)1()1(xaxaaxx，则

9

a的值。

解：由题意发现，

9

a的值与2x无关；

且)1(x应该是ba,中的一个；

所以：1010]1)1[(xx；

所以

101

109

Ca。

3.将5)1()(xxf表示为5

510

)1()1()(xaxaaxf，则

43

aa=？

解：由题意可知：1x应该是ba,中的一个；

所以：55]2)1[()1(xx；

所以：

30241

5

2

543

CCaa

。

13

4.3

2

2)2

1

(

x

x展开式中的常数项为（C）

A.8B.12C.20D.20

解法一：由展开式的原理可知：要出现常数项，要么都是常数，要么

x

的次数和为0；

所以：

20)2()2(1

2

1

3

3CC。

解法二：把三项中的两项看成一个整体，再利用二项式展开定理进行展开；

3

2

23

2

2]2)

1

[()2

1

(

x

x

x

x，

所以通项为：111)

1

()2(

2

2

3

3

rrr

x

xC；

又1)

1

(

2

2

r

x

x展开的通项为：212

1

42rrr

r

xC

所以：3

2

2)2

1

(

x

x的展开式为：2112

1

1

423

3

)2(rrrr

r

rxCC（

121

0,30rrr）

所以常数项可能的情况为：











0

0

1

2

r

r

或











2

1

1

2

r

r

；

故常数项为：

20)2()2(1

2

2

3

3CC；

解法三：6323

2

2)

1

(])

1

[()2

1

(

x

x

x

x

x

x；

故展开式的通项为：rrrxC26

6

)1(；

所以常数项为3r；

20)1(33

6

C。

5.9)(cba的展开式中，234cba项的系数为？

解：由上题解法一思想：在9个括号中，分别去取项；

则234cba的系数为：

12603

5

4

9

CC

。

14

6.求n

n

n

nn

CCC12166的值。（用含有n的式子来表示）

解：观察形势，发现与二项式展开的形式比较接近，但是6的次数不匹配；

所以)1666(

6

1

662210121n

n

n

nnn

n

n

n

nn

CCCCCCC；

则可发现6肯定是ba,中的一个；

所以：

6

17

)1666(

6

1

2210





n

n

n

n

nnn

CCCC；

也即：

6

17

66121





n

n

n

n

nn

CCC。

7.证明：98322nn能被64整除。

解：要证明能被64整数，希望原来的式子化简完后每个因式都能被64整除；

结合二项式展开定理的形式，希望ba,中的一个为64或64的某个因子；

nnnn)81(9)9(993122；

则22232218888881)81(nn

nnnn

nCCCC；

所以：nn)81(9322

2223229nn

nnnn

CCCC；

所以：nnn649832222232288988989nn

nnn

CCC；

所以98322nn能被64整除。

15

课后练习

1.求92)

2

1

(

x

x展开式中9x的系数。

2

21



2.求二项式6)

2

1

2(

x

x的展开式中第几项为常数项，并求出常数项的值。第四项，20

3.若n

x

x)

1

(2的展开式中，第5项为常数项，求n的值。6

4.5)13(x展开式中各项系数绝对值之和。

5.求82)2()2()2(xxx展开式中3x的系数。

6.在n

x

x

)

1

3

(

4

展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为？

7.已知函数xfxxf)2('2)(3，)2('fn，则n

x

x)

2

(展开式中常数项是（C）

A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项

8.若5

5

4

4

3

3

2

210

5)32(xaxaxaxaxaax，则

54321

5432aaaaa？10

9.已知10

1010

10)1()1()1(xaxaax，求

8

a？180

10.求

n

n

n

nn

CCC12133

3

14n

。

11.求52)23(xx的展开式中

x

的一次项系数。

12.求4)2

1

(

x

x

的常数项。

13.设二项式n

x

x)

1

3(

4

3

2的展开式中各项系数和为p，二项式系数和

s

，若512sp，

则

n

的值为？

16

14.求证：1nn

n

n

nnnnn

CCCCCC。

15.求871被8除的余数。

16.求5)2

1

2

(

x

x

的展开式中的常数项为？

17.求证：12122nn

nnn

nnCCC

18.求证：)12(

1

1

1

1

3

1

2

1

1210







nn

nnnnn

C

n

CCC