第二数学归纳法
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2023年3月19日发(作者：布鞋阅读答案)-1-
数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）
第一课时2.3数学归纳法（一）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的
操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法
证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1.问题1：在数列{}
n
a中，*
11
1,,()
1
n
n
n
a
aanN
a
，先算出a
2
，a
3
，a
4
的值，
再推测通项a
n
的公式.（过程：
2
1
2
a
，
3
1
3
a
，
4
1
4
a
，由此得到：*
1
,
n
anN
n
）
2.问题2：2()41fnnn，当n∈N时，()fn是否都为质数？
过程：
(0)f
=41，
(1)f
=43，
(2)f
=47，
(3)f
=53，
(4)f
=61，
(5)f
=71，
(6)f
=83，
(7)f=97，(8)f=113，(9)f=131，(10)f=151，…(39)f=1601．但是(40)f=1
681=412是合数
3.问题3：多米诺骨牌游戏.成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨
牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
二、讲授新课：
1.教学数学归纳法概念：
①给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特
殊→一般.
不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫
不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳
法.
②讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整
数n是否成立？
③提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n
0
时命题成立；
（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n
0
，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题
也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n
0
开始的所有正整数n都
成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n
0
的正整数
n
0
+1，n
0
+2，…，命题都成立.关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
2.教学例题：
①出示例1：2222*
(1)(21)
123,
6
nnn
nnN
K
.
分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假
设出发？
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝
目标进行变形.
②练习：
求证：2*1427310(31)(1),nnnnnNK.
③出示例2：设a
n
＝12×+23×+…+(1)nn(n∈N*)，求证：a
n
<
1
2
(n＋1)2.
关键：a
1k
<
1
2
(k＋1)2+(1)(2)kk＝
1
2
(k+1)2+232kk<
1
2
(k+1)2+(k+
3
2
)
-2-
＝
1
2
(k+2)2
小结：放缩法，对比目标发现放缩途径.变式：求证a
n
>
1
2
n(n＋1)
3.小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，
归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、
因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习：1.练习：教材
108
练习1、2题2.作业：教材
108
B组1、2、
3题.
第二课时2.3数学归纳法（二）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的
操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法
证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
教学过程：
一、复习准备：
1.练习：已知*()13521,fnnnNL，猜想()fn的表达式，并给出证
明？
过程：试值(1)1f，(2)4f，…，→猜想2()fnn→用数学归纳法证明.
2.提问：数学归纳法的基本步骤？
二、讲授新课：
1.教学例题：
①出示例1：已知数列
1111
,,,,
2558811(31)(32)nn
，猜想
n
S的表达式，并
证明.
分析：如何进行猜想？（试值
1234
,,,SSSS→猜想
n
S）→学生练习用数学归纳
法证明
→讨论：如何直接求此题的
n
S？（裂项相消法）
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
②练习：是否存在常数a、b、c使得等式
132435......(2)nn2
1
()
6
nanbnc对一切自然数n都成立，试证明
你的结论.
解题要点：试值n=1,2,3，→猜想a、b、c→数学归纳法证明
2.练习：
①已知
0(1,2,,)
i
ainL，考察
1
1
1
()1ia
a
；
12
12
11
()()()4iiaa
aa
；
123
123
111
()()()9iiiaaa
aaa
之后，归纳出对
12
,,,
n
aaaL也成立的类似不等式，并证明你
的结论.
②（89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式（答案：
a=3,b=11,c=10）
12222
(1)
223.....(1)()
12
nn
nnanbnc
对一切自然数n都成立？并证明你
的结论
3.小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
三、巩固练习：
1.平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，
求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.
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2.是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整
除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（答
案：m=36）
3.试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)nnnN的邮资.
证明：（1）当
8,9,10n
时，由
835,9333,1055
可知命题成立；
（2）假设(7,)nkkkN时，命题成立.则
当
3nk
时，由（1）及归纳假设，显然
3nk
时成立.根据（1）和（2），
可知命题成立.
小结：新的递推形式，即（1）验证
00
(),(1),,PnPnL
0
(1)Pnl成立()lN；（2）
假设
()Pk
成立，并在此基础上,推出
()Pkl
成立.根据(1)和(2)，对一切自然数
0
()nn,命题()Pn都成立.
2.作业：