三角形角度计算公式
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2023年3月19日发(作者：保险公司实习报告)三角形中的角度计算
要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。
1、内角和定理
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
2、外角定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、直角三角形的两锐角
直角三角形的两个锐角之和等于90°
4、等腰三角形的三角的关系
已知等腰三角形的顶角为n°，则两底角为
2
1
(180°－n°);已知等腰三角形的一个底角为
n°，则另一个底角也是n°,顶角为180°－2n°.
三角形中的角度计算主要分以下三种形式：
1、方程法，2、推理代换法，3、特殊值法
1、方程法
例1、在△ABC中，AB=AC，CD平分∠C，∠ADC=150°，求∠B
[分析](1)所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以有∠ADC=∠
B+∠BCD。∠B是等腰△ABC的顶角，∠BCD
是底角的一半，可以用∠B表示，所以可利用方
程式求∠B。
(2)因为∠A是底角，∠ACD是底角的一半，
∠ADC是已知角，所以可以先求出∠A。
解法1、设∠B=x，则∠ACB=
2
1
(180°－x),∠BCD=
4
1
(180°－x),由三角形的内角和定
理，可得∠B+∠BCD=∠ADC，即
x+
4
1
(180°－x)=150°
所以x=140°
解法2、设∠A=x，则∠ACB=x,∠ACD=
2
1
x。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°，
所以x+
2
1
x+150°=180°
解得x=20°,即∠A=20°
∴∠B=180°－2×20°=140°
例2、在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C比∠A大10°，求∠C
解：设∠C=x,则∠A=x－10°,∠B=
5
7
(x-10°),所以有
x+(x－10°)+
5
7
(x－10°)=180°
解得x=60°,即∠C=60°
例3、D是△ABC的BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC
[分析]因为AD=BD，AB=AC=CD，所以有∠B=∠BAD=∠C，
D
C
B
A
D
C
B
A
∠DAC=∠ADC，且∠BAC+∠B+∠C=180°，这样我们可以设∠B=x,列出方程即可求。
解：设∠B=x，则∠C=∠BAD=∠B=x，∠ADC是△ABD的外角，所以
∠DAC=∠ADC=∠B+∠BAD=2x,∠BAC=∠BAD+∠DAC=3x,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴x+3x+x=180°
解得x=36°，
即∠BAC=3x=108°
例4、等腰三角形两内角的度数之比是1：2，求顶角的度数。
[分析]等腰三角形的角可分为顶角和底角，所以本题可分为两个种情况来解，即顶角
与底角之比为1：2，或底角与顶角之比为1:2.
解：（1）若三角形的顶角与底角之比为1：2，设三角形的顶角为x，则底角为2x,所
以有
x+2x+2x=180°,
解之可得x=36°
（2）若三角形的底角与顶角之比为1：2，设三角形的底角为x,则顶角2x，所以
x+x+2x=180°,
解之可得x=45°
所以顶角为2x=90°
2、推理代换法
例5、如图：在△ABC中，点D在BC边上，且AC=BC，
AB=AD=DC，求∠C
解：∵AD=DC，
∴∠C=∠1，,∠2=∠C+∠1=2∠C
又∵CA=CB，AB=AD，
∴∠A=∠B=∠2，且∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C+2∠C+∠C=180°
解得∠C=36°
例6、△ABC的两条高AD，CE相交于点M，已
知∠A=30°，∠C=75°，求∠AMC
[分析]要求∠AMC，可先求出∠MAC和∠MCA
解：∵AD和CE是高，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∠ACE+∠CAE=90°。
∴∠DAC=90°－∠ACD=15°
∠ACE=90°－∠CAE=60°
∴∠AMC=180°－(∠DAC+∠ACE)=105°
例、已知等腰三角形两腰上的高（或其延长线）相交所成的锐角是50°，求这个三角
形的顶角的度数。
解：如图一，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE相交于P，则
∠APE＝50°，
从而有
∠EAP＝90°－∠APE＝40°。
由于AD⊥BC，所以
∠C＝90°－∠EAP＝50°。
2
1
D
C
B
A
M
E
D
C
B
A
图一
P
E
D
C
B
A
如图二，设等腰△ABC的两腰上的高AD、BE的生长线相交于点P，则
∠APE＝50°，
从而有
∠EAP＝90°－∠APE＝40°。
由于AD⊥BC，所以
∠ACD＝90°－∠EAP＝50°。
所以
∠ACB＝180°－∠ACD＝130°
例、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交
所得的锐角是50°，求∠B的数。
[分析]，当等腰三角形的顶角为锐角时，AB的中垂线交AC
上。顶角为钝角时与AC交于CA的延长线上。
解：如图一，AB的中垂线DE与AC交于点E，则
∠AED=50°，
∵DE⊥AB
∴∠A=90°－∠AED=40°。
如图二、AB的中垂线DE与CA的延长线交于点E，则
∠AED=50°，
∵DE⊥AB
∴∠EAD=90°－∠AED=40°
∴∠BAC=180°－∠EAD=140°
3、特殊值法
例：如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F六个角的
和。
[分析]这六个角正好在三个不同的三角形里面，所以可以由这三个三角形的内角和求
出，而多余的三个角正好组成一个三角形的三个内角，只要减去多余的角就可以了。
解：由内角和定理：
∠A＋∠B＋∠ANB＝180°（1）
∠C＋∠D＋∠CPD＝180°（2）
∠E＋∠F＋∠EMF＝180°（3）
而
∠ANB＝∠MNP，∠CPD＝∠MPN，∠EMF＝∠PMN
且
∠MNP＋∠MPN＋∠PMN＝180°（4）
所以（1）＋（2）＋（3）－（4）可得
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°
P
N
M
F
E
D
C
B
A
图二
P
E
D
C
B
A
图一
E
D
C
B
A
图二
E
D
C
B
A