三角函数和角公式
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2023年3月19日发(作者：汪蕾)三角函数定义及三角函数公式大全
一：初中三角函数公式及其定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、
b
的平方和等于斜边c的平方。
222cba
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成
∠B)：
定义表达式取值范围关系
正
弦斜边
的对边A
A
sin
c
a
Asin
1sin0A
(∠A为锐角)
BAcossin
BAsincos
1cossin22AA
余
弦斜边
的邻边A
A
cos
c
b
Acos
1cos0A
(∠A为锐角)
正
切的邻边
的对边
A
tan
A
A
b
a
Atan
0tanA
(∠A为锐角)
BAcottan
BAtancot
A
A
cot
1
tan
(倒数)
1cottanAA
余
切的对边
的邻边
A
A
A
cot
a
b
Acot
0cotA
(∠A为锐角)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余
角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余
角的正切值。
)90cot(tanAA
)90tan(cotAA
BAcottan
BAtancot
)90cos(sinAA
)90sin(cosAA
BAcossin
BAsincos
A90B
90
得
由BA
对
边
邻边
斜边
AC
B
b
a
c
A90B
90
得
由BA
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数0°30°45°60°90°
sin0
2
1
2
2
2
3
1
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
tan0
3
3
13-
cot
-
31
3
3
0
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤
≤90°时，sin
随
的增大而增大，cos
随
的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：
当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知
的边和角。
依据：①边的关系：222cba
；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三
角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角
铅垂线
水平线
视线
视线
俯角
(2)坡面的铅直高度
h
和水平宽度
l
的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即
h
i
l
。坡度一般写成
1:m
的形式，如
1:5i
等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tan
h
i
l
。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，
OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
:ihl
h
l
α
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏
东45°（东南方向），
南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
二：三角函数公式大全
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:商的关系：平方关系：
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
sinα/cosα＝tanα＝
secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝
cscα/secα
sin2α＋cos2α＝1
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α
诱导公式
sin（－α）＝－sin
α
cos（－α）＝cos
α
tan（－α）＝－tan
α
cot（－α）＝－cot
α
sin（π/2－α）＝
cosα
cos（π/2－α）＝
sinα
tan（π/2－α）＝
cotα
cot（π/2－α）＝
tanα
sin（π/2＋α）＝
cosα
cos（π/2＋α）＝
－sinα
tan（π/2＋α）＝
－cotα
cot（π/2＋α）＝
－tanα
sin（π－α）＝sin
α
cos（π－α）＝－
cosα
tan（π－α）＝－
tanα
cot（π－α）＝－
cotα
sin（π＋α）＝－
sinα
cos（π＋α）＝－
cosα
tan（π＋α）＝tan
α
cot（π＋α）＝cot
α
两角和与差的三角函数公式万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsin
β
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsin
β
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsin
β
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsin
β
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan2(α/2)
1－tan2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan2(α/2)
tanα
＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tan
α·tanβ
tanα
－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tan
α·tanβ
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－
2sin2α
2tanα
tan2α＝—————
1－tan2α
sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
3tanα－tan3α
tan3α＝——————
1－3tan2α
三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式
α
＋βα－β
sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—
2
2
α
＋βα－β
sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—
2
2
1
sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）
＋sin（α－β）]
2
1
cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）
－sin（α－β）]
2
1
cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）
α
＋βα－β
cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—
2
2
α＋βα－β
cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—
22
＋cos（α－β）]
2
1
sinα·sinβ＝－-[cos（α＋β）
－cos（α－β）]
2
化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公
式）