固体物理
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2023年3月19日发(作者：新生儿腹泻大便图)（1）共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？
饱和性和方向性
饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的
数目是有限制的。N=4，有（8-n）个共价键。其中n为电子数目。
方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。
（2）如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？
电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A为第一电离能，电离能可
表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子
时放出的能量，其中B为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，
而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲
和势能来表征。
（3）引入玻恩-卡门条件的理由是什么？
在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样
所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的
晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间
的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。
（4）温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？
对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？
温度一定，一个声学波的声子数目多。
对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。
（5）长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？
不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。
（6）晶格比热理论中德拜（Debye）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因
是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？
在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得
到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹
性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。
爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对
热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在
低温主要对热容贡献的是长声学支格波。
（7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有
负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？
m
F
m
F
m
F
l
m
vF
m
vF
m
vF
l
])()[(
1
])()[(
1
电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德
－＝＋pp
m
pp
m
m
p
当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正；
当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负；
当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。
（8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费米能级的变化？
在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范
围的能级。故费米球体积V增大，又电子总数N不变，则电子浓度减小，又，则
费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V增大，同理费米能级减小。
（9）什么是p型、N型半导体？试用能带结构解释。
P型半导体：在四价元素（硅或锗）半导体中参入微量的三价元素（硼或
铝），主要依赖空穴导电；N型半导体：在四价元素（硅或锗）半导体中参入少
量五价元素（磷或砷）杂质，主要依赖电子导电。
（10）德拜模型的三点假设?
（1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波（2）有一支纵波两支横波（3）晶格震动频
率在0~之间（为德拜频率）
（11）布洛赫定理的内容？
（12）金刚石结构有几支格波？几支声学波？几支光学波？设晶体有N个原胞，
晶体振动模式数为多少？
金刚石为复式格子，每个原胞中有两个原子。
则m=3，n=2.（m表示晶体的维数，n是原胞中原子的数目）
所以，有6支格波，3支声学波，3支光学波。
振动模式数为6N
（13）近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？
近自由电子：（1）在k=nπ/a时（在布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，
禁带宽度为（2）在k=nπ/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向
上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线（3）在k远离nπ/a处，电
子的能量与自由电子的能量相近。
紧束缚：,表示相剧为的两个格点上的波函数的重叠积分，它依赖于与
的重叠程度，重叠最完全，即最大，其次是最邻近格点的波函数的重叠
积分，涉及较远的格点的积分甚小，通常可以忽略不计。近邻原子的波函数
重叠越多，的值越大，能带宽度越宽。由此可见，与原子内层原子所对应
的能带较窄，而不同的原子态所对应的和是不同的。
（14）紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为
什么？
外层电子的能带较宽，因为近邻原子的波函数重叠越多，的值越大，能带将越宽。
（15)在晶格常数为a的一维简单晶格中，波长=4a和=4a/5的两个格波所对应的
原子振动有无不同？画图说明之。
没有不同
（16）在什么情况下必须可以忽略电子对固体热容量的贡献，并说明原因。
在什么情况下必须考虑电子对固体热容量的贡献，并说明原因。
在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为，而电子比热容的量级
为，晶格热容量比电子热容量大得多，可以忽略。这是因为尽管金属中有大量
的自由电子，但只有费米面附近范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级，
所以电子热容量很小。
在低温范围，晶格热容量迅速下降，在低温的极限趋于0，电子热容量和
T成正比，随温度下降比较缓慢。
（17）请简述满带、空带、价带、导带和带隙。
满带：能带中所有电子状态结构被电子所填满
空带：能带中所有电子状态均未被电子占据
价带：最外层电子所处的能带
导带：能带中只有部分电子状态被电子占据，其余为空态
带隙：量能带之间的间隔
近满态：能带中大部分电子状态被电子占据，只有少数空态
（18）请解释晶向指数、晶面指数和密勒指数。
任意两格点连线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数据称为
晶向指数。如果取某一原子为原点，沿晶向到最近邻的原子的位矢为，,,为
固体物理学原胞基矢。为该晶列的晶列指数。在晶格中，通过任意三个在同一直
线上的格点，作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数（密勒
指数）。
1试证明倒格矢
332211
bhbhbhG
h
与正格子晶面族（h1
,h
2
,h
3
）正交；并证明
晶面族（h
1
,h
2
,h
3
）面间距为
321
321
2
hhh
hhhG
d
，其中
321
hhh
G
为倒格矢
332211
bhbhbhG
h
的长度。
2．证明对于基矢量
321,,aaa互相正交的晶格，证明密勒指数为（h，k，ι）的
晶面系，面间距d满足：])()()/[(12
3
2
2
2
1
2
aa
k
a
h
d
。
解：
k
a
bj
a
bi
a
b
3
3
2
2
1
1
2
,
2
,
2
倒格矢
321
blbkbhG
kl
h
与正格子晶面族（h,k,ι）正交。
])()()[(
1
)
2
(
2
3
2
2
2
1
22
a
l
a
k
a
h
G
d
hkl
3.某单价金属，为平面正六方形晶格如图所示，六角形两个对边的间距是a,基
矢
jai
a
ajai
a
a
2
3
2
,
2
3
221
，
1）求出正格子原胞的体积；求出倒格子基矢，并画出
倒格子点阵原胞，和画出此晶体的第一布里渊区；2）若价电子
可以看成是自由电子，原胞数为N，求能态密度N（E）；
3）求T＝0k时的费米能级E
F
0。
若晶格为平面正三角形，相邻原子间距为a？
（1）
iaa
1，jai
a
a
2
3
22，
ka3
正格子原胞体积：
2
32a
V
ji
a
ji
a
ij
a
kjai
a
a
aab
3
32
3
3
2
3
3
2
2
3
2
2
3
22
2
321
j
a
aab
3
42
132
（2）选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是)(,,
2121bbbb，
a
2
a
1
2
2
22
2
2
32
)2(
2
3
2
)(
mNa
m
k
k
aN
EN
0
0
)(F
EdEENNNE
mNa
F
0
2
2
2
3
mNa
NE
F
2
2
0
3
2
4.已知由N个原子组成的惰性元素晶体总势能可写为：
6
6
12
12
2)(
r
A
r
ANrU
，其中454.14,132.12
612
AA，求：
（1）原子平衡时距离；
（2）晶体结合能。
（1）平衡时
0
0
rrdr
rdU
有
06122
7
0
6
6
13
0
12
12
r
A
r
AN
09.1
26
1
6
12
0
A
A
r
（2）结合能：
N
A
NA
rUE
b
6.8
2
12
2
6
0
5．若晶体中两相邻原子的相互作用能
nmrr
rU
)(
，求
（1）平衡时原子间距；（2）单个原子结合能。
6.试从k的取值范围和E(k)~k的关系两方面，画出一维晶格能带扩展
能区图或简约能区图。
7.考虑一个双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地等于C和
10C。令两种原子的质量m相等，近邻原子间距为a/2，（1）求色散关系ω(k)，
要求写出推导过程并粗略地画出简约区的色散关系图。
运动方程：
)(10)(
)(10)(
1
2
2
1
2
2
nnnn
n
nnnn
n
vcvc
dt
vd
m
vcvc
dt
d
m
（1）
设试探解：
][][nkawti
n
nkawti
n
BevAe
（2）
代入（1）式，
cBBecBmw
cABecAmw
ika
ika
11)10(
11)10(
2
2
（3）
有解的条件：
0
11)10(
)10(11
2
2
cmwec
eccmw
ika
ika
（4）
0)cos1(20222242kacmcwwm
])cos1(2012111[2ka
m
c
w
当k＝0，
0,
22
22
w
m
c
w
当k＝π/a，m
c
w
m
c
w
2
,
20
22
8.考虑一维双原子链的晶格振动，平衡时相邻原子间距为a，质量为m和M（m 恢复系数为β，（1）求色散关系ω(k)要求写出推导过程。粗略地画出简约 区的色散关系图。（2）讨论在布里渊区的边界处光学波和声学波的特点。 ！ q=π/2a或-π/2a时光学支格波取最小值，声学支格波取最大值； q=0时，光学支格波取最大值，声学支格波取最小值。 9.推导晶格常数为a的体心立方晶格(或面心立方、简单立方)中由原子S态ф S （r）形成的能带：1)写出在最近邻作用近似下，由紧束缚法得到的晶体S态 电子能量表达式E（k）；2）指出能带底与能带顶晶体电子能量，其能带宽度等 于多少？并求出能带底与能带顶的有效质量。 最近邻 m m R Rki at ss eJJEkE 10 )( 对于简单立方晶格：aaaR m ,,0,0,0,,0,0,0, akakakJJEkE zyx at ss coscoscos2 10 故 )0,0,0(，能带底部， 10 6JJEkEat ss ),,( aaa p ，能带顶部， 10 6JJEkEat ss 1 12JE ， 电子的有效质量分量：)(cos2 1 2 2 akJa m x xx )(cos2 1 2 2 akJa m y yy )(cos2 1 2 2 akJa m z zz 能带底部， 1 2 2 2Ja mmm zzyyxx 能带顶部， 1 2 2 2Ja mmm zzyyxx 10．已知一维晶体的电子能带可写成： )2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE 。式中 a 是晶格常数。试求 （1）能带的宽度； （2）电子在波矢 k 的状态时的速度； （3）能带底部和顶部电子的有效质量。 解：（1） 2 2 71 ()(coscos2) 88 Ekkaka ma = 2 2 ma 7 8 －coska+ 1 8 (2cos2ka－1)] ＝2 24ma (coska－2)2－1 当ka＝(2n+1)时,n=0,1,2… 2 max 2 2 ()Ek ma 当ka=2n时, min ()0Ek 能带宽度＝ 2 maxmin 2 2 EE ma （2） 1()1 (sinsin2) 4 dEk kaka dkma (3)2 2 2 *1 1 (coscos2) 2E k mmkaka 当0k时,带底，*2mm 当k a 时,带顶，* 2 3 mm 11．设晶体中每个振子的零点振动能 2 1 ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。 3 2 22 )( v V c ) 11 ( 2 )( 332 2 TL c vv V Nd vv V dDD TL c3) 11 ( 2 )( 0 2 332 0 N vv V D TL c3) 11 ( 6 3 332 ] ) 11 ( 18 [ 33 2 3 TL c D vv V N 晶格振动的零点能 D TL cNd vv V dUDD 8 9 2 1 ) 21 ( 2 2 1 0 3 332 0 0 12.在极低温度下，利用德拜模型证明一维、二维、三维晶格热容与温度T的关 系。 13.温度为0K时，N个自由电子构成的三维自由电子气，费米能级为E F 0， 2 1 2 3 2 2 4)(E h m VEN ，求：(1)k空间费米半径、费米温度；（2）体系中每 个电子的平均能量0E （用E F 0表示） 14.设有同种原子组成的二维正三角形晶体，相邻原子间距为a。 利用紧束缚方法，在只考虑最近邻相互作用的近似下，求出由s态电子形成的能 带色散关系；（2）求出k=0处的电子平均速度（3）求出k=0处的电子有效质量。 解：（1）如图，以中心原子为坐标原点建立直角坐标系： y x 则与该原子最近邻的六个原子的位矢的坐标为： ) 2 3 , 2 1 () 2 3 , 2 1 () 2 3 , 2 1 () 2 3 , 2 1 ()0,1()0,1(aaaaaa，，，，， 由紧束缚近似，s能带为： yxx at s yxyxx at s kkiakkiakkiakkia iakiak at s R Rik at ss akakakBAE kk a kk a akBAE eeeeeeBAE eBAEkE yxyxyxyx xx n n 2 3 cos 2 1 cos2cos2 )3( 2 cos)3( 2 cos)(cos2 )( ) 2 3 2 1 () 2 3 2 1 () 2 3 2 1 () 2 3 2 1 ( 0 最近邻 （2）带中电子的速度为： jakakiakaak aB kEkv yxykxs kx ) 2 3 sin 2 1 cos3() 2 3 cos 2 1 sin(sin 2 )( 1 )( （3）能带极值附近的有效质量： 因为： yxx x xx akakakBa k E m 2 3 cos 2 1 coscos22 2 2 2 2 * 所以，在能带底附近： Ba mkk xxyx 2 2 * 3 0 ， ； 在能带顶附近：，， a kk yx3 2 0 和 ， a k x k y 为任意值 Ba m xx 2 2 * 2 又因为： yx y yy akakBa k E m 2 3 cos 2 1 cos32 2 2 2 2 * 所以：在能带底附近： Ba mkk yyyx 2 2 * 3 0 ， ； 在能带顶附近： Ba m a kk yyyx 2 2 * 3 3 2 0 ，， ， a k x k y 为任意值时， * yy m