重要极限公式
渔夫和金鱼-菲科
2023年3月19日发(作者：宿根花卉)•资料.
2.5.1两个重要极限(第一课时)
一一新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1•复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3•运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入
(1)极限存在性定理:liinf(x)=AOlimf(x)=limf(x)=A•Tf"YTX,YTxJ
(2)无穷大量与无穷小量互为倒数，若/(X)TS(XTX。)，则
------―>0(A'―>X
()
)
fW
(3)极限的四则运算：
Iim[/(x)±g(x)]=liinf(x)±limg(x)liin[/(A)•g(x)]=limf(x)•limg(x)
liin
/(x)
=
lim/(x)g(x)
limg(x)
(4)limcf(x)]=climf(x)(加法推论)
(5)lim[/(x)]A=[lim/(x)P(乘法推论)
(6)lim[无穷小量x有界变量]=0(无穷小量的性质)
r
sinx..1
eg•lim--------=lim—-sinx
YTOO牙%
(4)
•资料.
那么，问沁=?呢，这是我们本节课要学的重要极限
5X
2、掌握重要极限公式
v
sinx’
lun------=1
XTOX
公式的特征：(1)詈型极限；
(2)分子是正弦函数；
(3)sin后而的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】求lim沁(“0)
3kx
hjisinx1..sinx1.1
W：lini-------=-lun--------=-xl=-
XTOkxkxkk
【例2】求lim如
sinx
1]
Xcosxj
=lim'"人・lim—!—=
1x1=1
(推导公式：lim竺=1)
5X
【例3】求lim沁
"TOX
i)x5xe5x
4、强化练习
(1)lim血*
(2)
sinkxInn
("0)
(3)
sin5xlim
33A•3X
so3
X
解：(1)limSinX=
Isinx-lim:
11
=-X1=
1
XTO
3x3ex33
—、sillkx
sinkxsinkx
(L)lim
—=limk----------
=k・
=k-=k
"TOxgOkxXTOkx
lim沁=lim
TT()3XIO5x
5..sin5x5‘5
=—・lim-----=—•1
=—
A-MJXXT()
sin2x
xcos2x丿
“•lim沁伽丄
j2xs°cos2x
=2xlxl=l
解:limm'=lim
XTO%XT()
解：恤泌J亦5•沁"lim泌匚5・1=5
(4)lim沁
KTOX
sin5x5
(4)
•资料.
四、小结:
•资料.
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的
极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正
弦函数，二是分子sin后而的变量与分母的变量相同。
五、布置作业：
(1)Urn沁(2)亦沁(3)lim沁⑷亦沁
XTO5XXTOXNT。2XXTOX
•资料.
2.5.2两个重要极限（第二课时）
-------新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1・理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点
重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程
1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运
算。
⑴仙）"=啓”
2、掌握重要极限公式
lim(1+丄)v=e
3、典型例题
【例1】lim(l+-)x
XT*x
解:lim(l+-/=lim[(l+l)2]2=[lim(l+丄)咛=e2(构造法)
X->XXXTXXKfXX
22
丄
n/n
•资料.
【例2]lim(l+x)x
•资料.
解：lim(l+x)；=lim(l+丄)；=e(换兀法)
.r->0二fRz
(推导公式:lim(l+^=e)
x->()
【例3】limd-lr
XTOCX
解：lim(l-l)x=lim[(l+—rvF，=[Um(l+—)^r，="=L(构造法)
XYXv->x—X'TOC—xe
【例4】lim(—)x
ix+1
解:lim(A)'=lim(—)'=lim---------------!---=-(构造法)
.V->OCx+]1X->X1Ae
l+—1+-
xX)
4、强化练习
(1)lim(l+-)x(2)lim(l+x)7(3)lim(l--)x(4)lim(—)T
XY
x
.1°—X
x
X+X+1
解：(1)lim(l+-)v=lim[(l+丄卢F=[iim(l+丄)叩=云
.YTX>%XXT8X
~55
2「1
(2)lim(l+x)x=lim(l+x)x
x->()XTO
四、小结:
木节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函
lim(l+x)-*=|~lim(l+丄
『
XT()」LwZ
?1x—
(3)lim(l--)x=Iim[(l+—)刁『=[lim(l+丄)=e
Xf
2
.V—>X
A->X
・2=丄
0
1+
2
r
.71
lim(—)r=lim(一Y=V-^X
X+1V-^X
1+—
X
Y+2
lim(—
/
2、X
lim1+-
X)
(
i、X
lim1+-
X)
11.
[lim(l+—
尸]2
—xX
㊁
1i,
YTHX
e
•资料.
数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
•资料.
1i.a
(2)lim(1+2x)x(3)lini(1——)2a(4)lim(:——)vA—%
A->XX+]
而求得极限。
五、布置作业:
(1)lim(l+—)A