级数求和公式
颏孔-个人工作证明模板word
2023年3月18日发(作者：二进制码)一、某些级数的部分和（
小孩
小孩，，
像下面的要证明的话
像下面的要证明的话，，
就用数学归纳法
就用数学归纳法！！）
)1(
2
1
321+=++++nnnL
)12)(1(
6
1
3212222++=++++nnnnL
223333)1(
4
1
321+=++++nnnL
)133)(12)(1(
30
1
32124444−+++=++++nnnnnnL
)122()1(
12
1
3212225555−++=++++nnnnnL
)1363)(12)(1(
42
1
321346666+−+++=++++nnnnnnnL
)2463()1(
24
1
321234227777+−−++=++++nnnnnnnL
−
+
=−+−+−−
为偶数
为奇数
n
n
nn
nn
,
2
),1(
2
1
)1(3211L
)1(
2
1
)1()1(321121222+−=−+−+−−−nnnnnL
+−
+−
=−+−+−−
为偶数
为奇数
nnn
nnn
nn
),32(
4
1
,)1)(12(
4
1
)1(321
2
2
31333L
)1)(1(
2
1
)1()1(3212141444−++−=−+−+−−−nnnnnnnL
)1(2642+=++++nnnL
2)12(531nn=−++++
L
)14(
3
1
)12(53122222−=−++++nnn
L
)12()12(531223333−=−++++nnn
L
)2)(1(
3
1
)1(433221++=+++⋅+⋅+⋅nnnnn
L
)3)(2)(1(
4
1
)2)(1(543432321+++=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅nnnnnnn
L
)4)(3)(2)(1(
5
1
)3)(2)(1(54324321++++=+++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅nnnnnnnnnL
)!1(
)!1(
2
1
)()1(
1
−
++
+
=++∑
=
n
kn
k
kjjj
n
j
L
)53)(2)(1(
12
1
)1(
1
2+++=+∑
=
nnnnjj
n
j
)32)(3)(2)(1(
10
1
)2()1(
1
2++++=++∑
=
nnnnnjjj
n
j
)1(
4
1
)(22
1
22−=−∑
=
nnjnj
n
j
4)2(2)1(221
1
−+−=++
=
∑nnjjn
n
j
j
11
1
1
)1(
1
43
1
32
1
21
1
+
=
+
−=
+
++
⋅
+
⋅
+
⋅n
n
nnn
L
)2)(1(2
1
4
1
)2)(1(
1
543
1
432
1
321
1
++
−=
++
++
⋅⋅
+
⋅⋅
+
⋅⋅nnnnn
L
)3)(2)(1(3
1
18
1
)3)(2)(1(
1
6543
1
5432
1
4321
1
+++
−=
+++
++
⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅
nnn
nnnn
L
)1(2
1
2
1
4
3
1
1
)1)(1(
1
2
2
2
+
−−=
−
=
−+
∑∑
==
nn
j
jj
n
j
n
j
12)12)(12(
1
1
+
=
+−
∑
=
n
n
jj
n
j
13)13)(23(
1
1
+
=
+−
∑
=
n
n
jj
n
j
)32)(12(4
1
12
1
)32)(12)(12(
1
1
++
−=
++−
∑
=
nnjjj
n
j
)43)(13(6
1
24
1
)43)(13)(23(
1
1++
−=
++−
∑
=nnjjj
n
j
)2)(1(2
1
2
2
4
3
)2)(1(
12
1
++
+
+
−=
++
−∑
=
nnnjjj
jn
j
)3)(2)(1(3
4
)3)(2(2
3
3
1
36
29
)3)(1(
2
1
+++
−
++
−
+
−=
++
+∑
=
nnnnnnjjj
jn
j
2
1
2
2
)2)(1(
2
1
1
−
+
=
++
∑
=
−
njj
jn
n
j
j
)2(3
4)1(
3
2
)2)(1(
41
1
2
+
−
+=
++
+
=
∑
n
n
jj
jn
n
j
j
n
n
j
jnjj
j
2)1(
1
1
2)1(
2
1
+
−=
+
+∑
=
n
n
j
jnjj
j
3)1(
1
1
3)1(
32
1
+
−=
+
+∑
=
−+
−
+=
−+−+
−
++
+
=
++
−∑11
1
1
11
1
)1(2
)1(
1
3
1
])1(2][)1(2[
2)1(
nn
n
n
j
jjjj
jj
−
−++
++
+−
=
−++
−++∑
=
b
naaa
nbbb
abjaaa
jbbbn
j
)1()1(
)()1(
1
1
)1()1(
)1()1(
1
L
L
L
L
二、乘法与因式分解公式（容易推导）
abxbaxbxax+++=++)())((2
2222)(bababa+±=±
3223333)(babbaaba±+±=±
))((22bababa+−=−
))((2233babababa+±=±m
)())((122321为正整数nbabbabaababannnnnnn−−−−−+++++−=−L
)())((122321为偶数nbabbabaababannnnnnn−−−−−−+−+−+=−L
)())((122321为奇数nbabbabaababannnnnnn−−−−−+−−+−+=+L
cabcabcbacba222)(2222+++++=++
))((3222333cabcabcbacbaabccba−−−++++=−++
三、有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
)0,1()1ln(
1
)0,1(1
)0,1(1
1
)0(
1
1
)0为自然数，(
!!2
1
)0,1(
1
1
)0(1
2
1
,104
)1(
sin
2
0
3
1
tan
)0(
6
1
sin
)0,(
2
1
1cos
22
2sin
)0(1
sin
cos
2
0tansin
1
1
2
3
3
2
≠−><+<
+
≠−>+<
≠−>−<
+
≠
−
>
>++++>
≠<
−
<
≠+>
≠<<<
−
<
<
>−>
≠∞<
<
<<<<
<<<<
+
−
−
xxxx
x
x
xxxe
xxe
x
x
x
x
e
xn
n
xx
xe
xx
x
e
xxe
xx
xx
x
xxxx
xxxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
x
x
x
n
x
x
x
L
π
π
π
ππ
π
π
π
特别取)(
1
为自然数n
n
x=，有
nnn
11
1ln
1
1
<
+<
+
)0,1(1)1(
2
1
0tansin
2
1
secln
)0,0()1(ln
)0,1(
1
)1ln(
)0(1ln
1
>>+>+
<<⋅<
>>−≤
≠<
−
<−−<
>−≤
xxx
xxxx
xnxnx
xx
x
x
xx
xxx
n
ααα
四、组合公式
C
n
k
C
k
n
C
k
nk
C
n
nk
C
CC
CCC
CC
CC
CCC
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
nk
n
k
n
k
n
k
n
k
nj
kj
j
k
nk
n
nj
n
j
k
mn
k
m
j
n
kj
j
k
==
+
+
=
+
−
=
−
=
=+
=
=
=
−
−
+
++
−
−
+
−
+−
−
=
++
+
+
=
+
−
=
∑
∑
∑
1
1
1
11
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
五、、函数的概念与分类
[函数与反函数]设
D
是给定的一个数集
.
若有两个变量
x
和
y
，当变量
x
在
D
中取某个特定值时，变量
y
依确定的关系
f
也有一个确定的值，则称
y
是
x
的函
数，f称为D
上的一个函数关系
上的一个函数关系，，记为y=f(x)，x
称为自变量
称为自变量，，y称为因变量
.
当
x
取遍
D
中各数，对应的
y
构成一数集
R
，
D
称为定义域或自变数域，
R
称为值
域或因变数域
.
反过来，若把
y
视为自变量，
x
视为因变量，用
y
写出
x
的表达式：
x=ϕ(y)
，则称
y=f(x)
与
x=ϕ(y)
互为反函数
.
例如
例如：：y=x+sin(x+3)
[
实变函数与复变函数
]
当自变数域为实数域时，函数称为实变函数
.
当自变
数域为复数域时，函数称为复变函数
.
[
一元函数与多元函数
]
只有一个自变量的函数称为一元函数
.
有两个或两个
以上自变量的函数称为多元函数
.
[
显函数与隐函数
]
因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称
为显函数.
例如
例如：：y=x+3,
这就叫显式表示
这就叫显式表示，，显函数
若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，
则称为隐函数.
例如
例如：：sin(x)+tg(2y)=5,
这就叫隐式表示
这就叫隐式表示，，隐函数
[简单函数与复合函数]若y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数，u=ϕ(x)，
则y称为x的复合函数，u称为中间变量，记作y=f[ϕ(x)]，无中间变量的函数称
为简单函数.
例如
例如：：y=sin[exp(cos(x+2))]
[
有界函数与无界函数
]
若存在两个数
m,M(m≤M)
，使
m≤f(x)≤M
，对定义域
上的任意x都成立，则称f(x)为定义域上的有界函数，m为其下界，M为其上界.
若这样的数
m
和
M
至少有一个不存在，则称
f(x)
为定义域上的无界函数
.
例如
例如：：sin(x)
就是有界函数
就是有界函数，，{-1，1}
[单调函数与非单调函数]若对于区间[a,b]中的任意x
1
>x
2
有f(x
1
)≥f(x
2
)[或
f(x
1
)≤f(x
2
)]
，则称
f(x)
为
[a,b]
中的递增函数
(
或递减函数
).
递增函数和递减函数通称
为单调函数
.
不是递增
(
或递减
)
的函数称为非单调函数
.
换句话说
换句话说：：对于区间[a,b]，f’(x)>0，
则为单调递增函数
则为单调递增函数；；而f’(x)<0,递减函数
[
奇函数与偶函数
]
若对于定义域中的任意
x
恒有()()xfxf−=−
，则称
f(x)
为
奇函数；若对于定义域中的任意
x
恒有()()xfxf=−
，则称
f(x)
为偶函数
.
例如
例如：：sin(x)，tg(x),ctg(x)
是奇函数
是奇函数、、而cos(x)是偶函数
[
周期函数与非周期函数
]
若有一实数
T≠0
，使对定义域中的任意
x
恒有
f(x+T)=f(x)
，则
f(x)
称为以
T
为周期的周期函数；否则称
f(x)
为非周期函数
.
孩子，注意周期的求法：按照定义来（保持
T
为最小！！！）
例如：
sin(x)=sin(2PI+x),
所以，
2PI
是函数
sin(x)
的周期
Sin^2(x)=1/2[1-cos(2x)]=1/2[1-cos(2PI+2x)]=1/2[1-cos2(PI+x)]=sin^2(PI+x)
所以，
PI
是
sin
平方的周期
[
单值函数与多值函数
]
若对于自变量
x
的一个值，因变量
y
有一个而且只有
一个值与其对应，则称y为x的单值函数.若对于自变量x的一个值，与其对应的
y
值不止一个，则称
y
为
x
的多值函数
.
[初等函数]幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为
“基本初等函数”，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合
步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数
.
[幂函数的图形与特征]
方程与图形特征
曲线通过点(0,0)和(1,1)；当
x>1
时，α越大曲线
上升越快.
当α为偶数，函数为偶函数，在区间(0,∞)中为递
增函数，在区间(-∞,0)中为递减函数.
当α为奇数，函数为奇函数和递增函数.
曲线通过点(1,1).
当α为负偶数，函数为偶函数，在区间(-∞,0)中
为递增函数，在区间(0,
∞
)中为递减函数.
当α为负奇数，函数为奇函数和递减函数.
方程与图形特征
指数函数曲线与y轴相交于点A(0,1).
渐近线为y=0.
曲线与x轴相交于点A(1,0).
渐近线为x=0.
[
三角函数的图形与特征
]
标准正弦曲线
周期：π2=T
与x轴交点（同拐点）：
L,2,1,0),0,(±±=kkB
k
π
极值点（极大点或极小点）：
L,2,1,0,)1(,)
2
1
(±±=
−+kkAk
k
π
余弦曲线
周期：π2=T
与x轴交点（同拐点）：
L,2,1,0,0,)
2
1
(±±=
+kkB
k
π
极值点：L,2,1,0),)1(,(±±=−kkAk
k
π
一般正弦曲线
)sin(
0
ϕω+=xAy周期：
ω
π2
=T
式中A>0为振幅，ω为角频率，
0
ϕ为初相与x轴交点（同拐点）：
L,2,1,0,0,0±±=
−
k
k
B
kω
ϕπ
极值点：
,)1(,
)
2
1
(
0
−
−+
A
k
Ak
kω
ϕπ
L,2,1,0±±=k
同时，)cos(
1
ϕω+=xAy也属于一般正弦曲它是将标准正弦曲线在y轴方向上伸
线(设
210
π
ϕϕ+=，可化为))
2
sin(
1
π
ϕω++xA长A倍，在x轴方向上压缩ω倍，并
向左平移
ω
ϕ
0
一段距离而得到.
正切曲线
周期：π=T
与x轴交点（同拐点）：
L,2,1,0),0,(±±=kkA
k
π，
该点切线斜率为1.
渐近线：π)
2
1
(+=kx
余切曲线
周期：π=T
与x轴交点（同拐点）：
L,2,1,0,0,)
2
1
(±±=
+kkA
k
π，
该点切线斜率为－1.
渐近线：πkx=
y=tanx
正割曲线
周期：π2=T
极大点：)1,)12((−+πkA
k
极小点：
L,2,1,0),1,2(±±=kkB
k
π
渐近线：π)
2
1
(+=kx
余割曲线
周期：π2=T
极大点：
−+1,)
2
3
2(πkA
k
极小点：
+1,)
2
1
2(πkB
k
L,2,1,0±±=k
渐近线：πkx=
反三角函数的图形与特征]
反正弦曲线反余弦曲线
拐点（同曲线对称中心）：拐点（同曲线对称中心）：
)0,0(O，该点切线斜率为1)
2
,0(
π
A，该点切线斜率为－1
反正切曲线反余切曲线
拐点（同曲线对称中心）：拐点：
)0,0(O，该点切线斜率为1)
2
,0(
π
A，该点切线斜率为－1
渐进线：
2
π
±=y曲线对称中心：)
2
,0(
π
A
渐近线：π==yy,0
反正割曲线反余割曲线
顶点：),1(),0,1(π−BA顶点：)
2
,1(),
2
,1(
ππ
−−BA
渐近线：
2
π
=y渐近线：0=y
六、双曲函数
1.双曲函数的定义、图形与特征
[双曲函数定义]
函数双曲正弦
shx
双曲余弦
chx
双曲正切
thx
双曲余切
cthx
双曲正割
sechx
双曲余割
cschx
定义
2
xxee−−
2
xxee−+
xx
xx
ee
ee
x
x
−
−
+
−
=
ch
sh
xx
xx
ee
ee
x
x
−
−
−
+
=
sh
ch
xxee
x
−+
=
2
ch
1
xxee
x
−−
=
2
sh
1
[双曲函数的图形与特征]
双曲正弦曲线双曲余弦曲线
xysh=xych=
曲线关于原点对称.曲线关于y轴对称.
拐点（同曲线对称中心）：顶点（同极小值点）：)1,0(A
)0,0(O，该点切线斜率为1
双曲正切曲线双曲余切曲线
xyth=xycth=
曲线关于原点对称.曲线关于原点对称.
拐点（同曲线对称中心）：不连续点：0=x
)0,0(O，该点切线斜率为1渐近线：1,0±==yx
渐近线：1±=y
双曲正割曲线双曲余割曲线
xysech=xycsch=
曲线关于y轴对称.曲线关于原点对称.
顶点（同极大点）：)1,0(A不连续点：0=x
拐点：
2
2
,
2
2
thArB
渐近线：0,0==yx
−
2
2
,
2
2
thArC
渐近线：0=y
1cschcth,1thsech,1shch
1cthth,cth
sh
ch
,th
ch
sh
222222=−=+=−
===
xxxxxx
xxx
x
x
x
x
x
[双曲函数基本公式]
和差的双曲函数
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxyx
yxyxyx
cthcth
cthcth1
)cth(
thth1
thth
)th(
shshchch)ch(
shchchsh)sh(
±
±
=±
±
±
=±
±=±
±=±
双曲函数的和差
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
shsh
)sh(
cthcth
chch
)sh(
thth
2
sh
2
sh2chch
2
ch
2
ch2chch
2
ch
2
sh2shsh
±
±=±
±
=±
−+
=−
−+
=+
±
=±
m
倍元公式
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
cth2
cth1
2cth
th1
th2
2th
ch3ch43ch
chsh2ch
sh4sh33sh
chsh22sh
2
2
3
22
3
+
=
+
=
−=
+=
+=
=
半元公式
x
x
x
xx
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
sh
1ch
1ch
sh
2
cth
1ch
sh
sh
1ch
2
th
2
1ch
2
ch
,0
,0
2
1ch
2
sh
+
=
−
=
+
=
−
=
+
=
<
>
−
±=
取负号
取正号
反双曲函数的定义及其对数表达式]
函数记号对数表达式
反双曲正弦若x=shy,
则y=Arshx
)1ln(2++xx
反双曲余弦若x=chy,
则y=Archx
)1()1ln(2≥−+±xxx
反双曲正切若x=thy,
则y=Arthx
)1(
1
1
ln
2
1
<
−
+
x
x
x
反双曲余切若x=cthy,
则y=Arcthx
)1(
1
1
ln
2
1
>
−
+
x
x
x
反双曲正割若x=sechy,
则y=Arsechx)10(
11
11
ln
2
1
2
2
≤<
−−
−+
±x
x
x
反双曲余割若x=cschx,
则y=Arcschx
−<
+>
+±
时取
，时取
0
0
11
ln
2
12
x
x
x
x
[反双曲函数的图形与特征]
反双曲正弦曲线反双曲余弦曲线
xyshAr=xychAr=
曲线关于原点对称.曲线关于
x
轴对称
.
拐点（同曲线对称中心）：顶点：)0,1(A
)0,0(O，该点切线斜率为1
反双曲正切曲线反双曲余切曲线
xythAr=xycthAr=
曲线关于原点对称.曲线关于原点对称.
拐点（同曲线对称中心）：不连续点：1±=x
)0,0(O，该点切线斜率为1渐近线：1,0±==xy
反双曲正割曲线反双曲余割曲线
xysechAr=xycschAr=
曲线关于
x
轴对称
.
曲线关于原点对称
.
顶点：)0,1(A不连续点：0=x
拐点：
2
2
thAr,
2
2
B渐近线：0,0==yx
和
−
2
2
thAr,
2
2
C
4.反双曲函数的相互关系与基本公式
[反双曲函数的相互关系]
=xshAr=xchAr=xthAr=xcthAr
*1Arch2+±x
1shAr2−±x
21
shAr
x
x
−1
1
shAr
2−x
1
thAr
2+x
x
x
x1
thAr
2−
±
*
1
1
Arch
2x−
±*
1
chAr
2−
±
x
x
x
x1
cthAr
2+
1
cthAr
2−
±
x
x
x
1
cthAr
x
1
thAr
有
*
号者，当
x>0
时取正号，当
x<0
时取负号
.
[基本公式]
xy
yx
yx
yxxyyx
xyyxyx
±
±
=±
−−±=±
+±+=±
1
thArthArthAr
])1)(1(ch[ArchArchAr
)11sh(ArshArshAr
22
22