数值方法

数值方法

初级管理者-中科院邮件系统

2023年3月18日发(作者：彩虹蛋黄酥)

第一章绪论

误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差

是的绝对误差,是的误差，为的绝

对误差限(或误差限）

为的相对误差，当较小时，令

相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:

绝对误差有量纲，而相对误差无量纲

若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共

有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例:设x==3。1415926…那么,则有效数字为1

位，即个位上的3，或说精确到个位.

科学计数法：记有

n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数

字，则其相对误差限为

由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为

为则它有n位有效数字

令

1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的

和

2.x-y近似值为

近似值为

4.

1．避免两相近数相减

2．避免用绝对值很小的数作除数

3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量

第二章非线性方程求根

1。逐步搜索法

设f(a)<0,f(b）〉0，有根区间为(a,b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如

h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk）=f（a+kh）的

符号，若f（xk)〉0(而f（xk-1）<0)，则有根区间缩小为［xk-1，xk]（若f（xk）=0,xk即为

所求根)，然后从xk—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜xk—xk-1｜

<为止，此时取x*≈(xk+xk-1）/2作为近似根.

2。二分法

设f（x）的有根区间为［a,b]=[a0，b0],f（a）<0，f（b)〉0。将［a0,b0]对分,中

点x0=（(a0+b0)/2），计算f（x0）。

3.比例法

一般地,设[ak，bk］为有根区间，过（ak，f（ak）)、(bk,f（bk）)作直线，与x轴

交于一点xk，则:

1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.

2。比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点

列(递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。

事先估计：

事后估计

局部收敛性判定定理：

局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确

解的附近

Steffensen迭代格式：

Newton法：

Newton下山法：是下山因子

弦割法：

抛物线法：令

其中：

则：

设迭代xk+1=g（xk)收敛到g（x）的不动点（根）x＊设ek=xkx＊若

则称该迭代为p(不小于1）阶收敛，其中C（不为0）称为渐进误差常数

第三章解线性方程组直接法

列主元LU分解法:计算主元选主元

对于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；

Crout分解：L为下三角矩阵,U为单位上矩阵.可分解为：

若利用紧凑格式可化为：

Cholesky平方根法:系数矩阵A必须对称正定

改进Cholesky分解法：

其中:

追赶法：Ax=d（A=LU），可化为Ly=d，Ux=y

向量范数::

矩阵范数：

谱半

径:

收敛条件:谱半径小于1

条件数:

第四章解线性方程组的迭代法

Jacobi迭代:

基于Jacobi迭代的Gauss—Seidel迭代：

迭代收敛:谱半径小于1,范数小于1能推出收敛但不能反推

逐次超松弛迭代（SOR)：

当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss—Seidel迭代（加权平均）。

第五章插值法

Lagrange插值法:

构造插值函数：

则：

若记：

则可改为：

则插值余项：

逐次线性插值法Aitken(埃特金法)：

Newton插值法:

N（x）=a0+a1(x—x0）+a2（x-x0)（x—x1)+…+an(x—x0）（x—x1)…（x—xn）并满足

N（x）=f(x）

差商的函数值表示：

差商与导数的关系:

则:

等距节点Newton插值公式：

Newton向前插值：

余项：

Newton向后插值：

余项:

Hermite插值:

插值余项：

待定系数：

三次样条插值:（三弯矩构造法）

记

对于附加弯矩约束条件：

对于附加转角边界条件：

对于附加周期性边界条件：

上式保证了s(x）在相邻两点的连续性

第六章函数逼近与曲线拟合

主要求法方程

第七章数值积分与数值微分

求积公式具有m次代数精度的充要条件：

插值型求积公式

Newton-Cotes（等分）

梯形求积公式（n=1），具有1次代数收敛精度

误差公式：

抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度

误差公式

Newton求积公式（Simpon3/8法则）具有3次代数收敛精度

Cotes求积公式（n=4)，具有5次收敛精度

误差公式

节点数为奇数时,代数精度为n；为偶数时，代数精度为n+1。代数精度都是奇数。

复化梯形求积公式:

截断误差：

复化Simpson公式：

截断误差：

复化Cotes求积:

截断误差：

若一个复化积分公式的误差满足且C0，则称该公式是p阶收敛的。

复化求积公式（需要2n+1个求积节点)

Romberg求积算法：

复化梯形求积公式：

复化Cotes求积公式：

Gauss型求积公式:

内积公式：

截断误差:

高斯求积公式代数精度为2n+1

Gauss—Legendre求积公式（注意区间（—1,1)，变换可得)：形如：

求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求

得:

截断误差：

Gauss-Chebyshev求积公式:形如：

求积系数：(必为正)

截断误差：

Gauss—Laguerre求积公式:形如:

求积系数：

截断误差:

Gauss—Hermite求积公式：形如：

求积系数：

截断误差：

三点数值微分公式:

泰勒级数展开：

第八章常微分方程求解

Euler法：为一阶法（f（x,y）为y的导数）

梯形方法（改进Euler法)：

四级四阶经典Runge—Kutta公式