交错级数如何判断收敛

交错级数如何判断收敛

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2023年3月18日发(作者：如何服从)

1

关于数项级数敛散性的判定

摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项

级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过

程中需要注意的一些问题。使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。

关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性

引言：

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“无穷项相加”的理论，

它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。如今，无穷级数

已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，

而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散

的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究

与总结。

1.预备知识：

1.1级数的定义及性质

定义1：给定一个数列

n

u，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

......

21



n

uuu

称为数项级数。其中

n

u称为该数项级数的通项。

数项级数的前n项之和记为：





n

k

nkn

uuuuS

1

21

...

。称为数项级数第n个

部分和。

定义2：若数项级数的部分和数列

n

S收敛于S（即SS

n

n





lim），则称数项级

数收敛。

若

n

S是发散数列，则称数项级数发散。即：

n

n

S



lim不存在或为。

性质：

（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0

，0N,使得当Nm

以及对任意正整数P，都有



pmmm

uuu...

21

2

推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim



n

n

u。

（2）设有两收敛级数

n

us，

n

v，则其和与差)(

nn

vu也收敛，并且

svu

nn

)(。

（注意：对于两个级数

n

u与

n

v，当两个都收敛时，)(

nn

vu必收敛；当一

个收敛一个发散时，)(

nn

vu必发散；当两个都发散时，)(

nn

vu可能收

敛也可能发散）

（3）若Sa

n

，c是与n无关的常数，则n

ca也收敛，且cSacca

nn

。

（4）若级数

n

u收敛，在其项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，亦不改

变级数的和。

（5）去掉，增加或改变级数的有限个项，并不改变其敛散性。

（6）若两个级数

n

u和

n

v都收敛，则对任意常数c，d，级数)(

nn

dvcu亦

收敛，且：)(

nn

dvcu=

nn

vduc

1.1.4三个典型级数的敛散性：

（1）等比级数......2naqaqaqa，0a，

当1q时收敛，1q时发散

（2）调和级数...

1

...

3

1

2

1

1

n

是发散的

（3）p级数

1

1

n

pn

，在当1p时发散；当1p时收敛

1.2基本概念，基本性质的应用：

例题1、判断...

)15)(45(

1

...

1611

1

116

1

61

1















nn

的敛散性

解：因为





























































15

1

45

1

...

11

1

6

1

6

1

1

5

1

nn

S

n

)

15

1

1(

5

1





n

所以

5

1

lim



n

n

S，由级数敛散性定义知：原级数收敛

3

例题2、考虑级数...)1(1...)1(1)1(1的敛散性

解：

0

1



n

Skn

kn

2

12





，,...2,1k

从数列的极限理论易知

n

n

S



lim不存在

所以

当级数求和较困难时，常常采用分解，化简其部分和

n

S的方法，以求得

n

S

的极限：

例题3、...

2

12

...

2

5

2

3

2

1

32







n

n

分析：本例中分子是等差数列，分子是等比数列，这类问题的一般形式为：

......3

3

2

21

n

n

qaqaqaqa，其中

n

a为等差数列，公差为d，1q，

设





n

k

k

kn

qaS

1

则1

1

3

23

2

121

)(...)()(



n

n

n

nnnn

qaqaaqaaqaaqaqSS

q

qq

dqaqa

n

n

n









1

12

1

1

2

12

1

1

)1(

11

q

qq

dq

q

a

q

qa

S

n

n

n

n

















dnaa

n

)1(

1

，且0lim



n

n

nq，可得：

2

2

1

)1(

1

lim

q

dq

q

qa

S

n

n









而本例中，1

1

a，

2

1

q，2d，则：3S

2.数项级数敛散性判别

2.1正项级数敛散性判别法

定义3：若级数

1n

n

u

的一般项0

n

u，则称它为正项级数。

注：正项级数的显著特点是其部分和数列

n

S单调增加，所以，若能确

定

n

S有上界，级数敛散性就确定了。

由此可得出正项级数的收敛准则：

4

正项级数n

u收敛的充要条件是：部分和数列

n

S有界，即存在某正数M，

对一切正整数n，有MS

n



因此可将求

n

S极限问题转化到估计

n

S是否有上界的问题。

1、比式判别法（达朗贝尔判别法）：

设n

u为正项级数，且q

u

u

n

n

n





1lim，

则：(1)当1q时，级数n

u收敛；

（2）当1q或q时，级数n

u发散；

2、根式判别法：

设正项级数n

u的一般项满足qun

n

n





lim，

当（1）

1q

时，级数收敛；

当（2）

1q

（或

q

）时，级数发散；

说明：对于比式判别法和根式判别法，若1lim1



n

n

nu

u

，1lim



n

n

n

u，则推不

出级数的敛散性。

例如：

n

1

，2

1

n

，其1limlim1







n

n

n

n

n

n

u

u

u

，但

n

1

发散而2

1

n

收敛。

例题4、研究级数





1

2

)1(2

n

n

n

的敛散性。

解：记

n

n

n

a

2

)1(2

，当kn2（...2,1k）时，

有

2

1

2

3

2

2

2

2

k

k

k

k

a（k）

而当12kn（...2,1k）时，有

2

1

2

3

12

12

12

12









k

k

k

k

a（k）

从而

2

1

lim



n

n

n

a

由根式判别法知此级数收敛。

5

以上是用根式判别法解答的，若用比式法，注意到

2

3

lim

12

2





k

k

ka

a

，

6

1

lim

2

12



k

k

ka

a

，从而不能判断该级数是否收敛。

例题5、设0

n

a（

...2,1,0n

），若l

a

a

n

n

n





1lim，证明：

lan

n

n





lim

。

证明：记

1



n

n

na

a

b

（...2,1n）

则：

lb

n

n





lim

又n

n

n

n

n

n

n

n

bbba

a

a

a

a

a

a

aa



......

210

11

2

0

1

0

，

不难证明：1lim

0





n

n

a，lbbbn

n

n





...lim

21

，

从而：

lan

n

n





lim

。

由例4和例5可以看出：凡能用比式法判别敛散性的级数，一定可以用

根式法判别其敛散性，而反之则不一定。

一般来说，当两者均适用的时候，比式判别法往往比根式判别法更为方

便，也是最易使用的方法。而根式判别法一般在通项中含因式的n次方时才

使用。但它们的共同缺点是：当极限为1时这两种判别法就失效了，这时为

了判定级数收敛，就需要另辟蹊径。我们可以利用下面的比较原则：

3、比较原则：n

u，

n

v都是正项级数，若存在某正数N，对一切Nn

有

nn

vu，

则：（1）若级数

n

v收敛，则级数n

u收敛；

（2）若级数n

u发散，则级数

n

v发散。

推论1，（比较原则的极限形式）：若l

v

u

n

n

n





lim，则：

（1）l0时，级数n

u与

n

v同时收敛或发散；

（2）0l时，若

n

v收敛，则n

u收敛；

6

（3）l时，若

n

v发散，则n

u发散。

比较原则需要找出一个已知敛散性的级数（常用等比级数或p级数）与

之比较。

例题6：应用比较原则判别

21

1

n

的敛散性。

解：因为1n时

n

n

1

1

1

2





，而正项级数

n

1

发散，所以原级数发散。

推论2，若存在N，使得当Nn时，有

n

n

n

n

v

v

u

u

11，则：

（1）若级数

n

v收敛，则级数n

u也收敛；

（2）若级数n

u发散，则级数

n

v也发散。

证明：若

n

v收敛，

由题意知：当

0

Nn时，有

n

n

n

n

v

v

u

u

11，

即：

1

1

1

1

0

0...0









N

N

n

n

n

n

v

u

v

u

v

u

故：

1

1

1

1

0

0











n

N

N

n

v

v

u

u，)(

0

Nn

而

1

1

0

0





N

N

v

u

是常数，所以，由比式判别法知正项级数n

u亦收敛；

若正项级数n

u发散，同理也可证级数

n

v亦发散。

注：一般判别正项级数敛散性的条件都是充分条件，但不一定是必要条件。

如，对于正项级数n

u，若1lim1



q

u

u

n

n

n

，级数一定收敛。反之则不一

定成立。

例如，对于...

3

1

2

1

...

3

1

2

1

3

1

2

1

22



nn

，是一个收敛的正项级数，但

是

n

n

u

u

1有两种情形：

7

0)

3

2

(

2

1

3

1

n

n

n

n

；





n

n

n

n

2

1

)

2

3

(

3

1

2

1

1

，

所以，

n

n

nu

u

1lim



不存在。

注意：正项级数敛散性的判别有以上几种方法，通常按照下列步骤进行选择：

（1）考察

n

n

u



lim的值：若

n

n

u



lim

0，由级数收敛的必要条件知，级数发散；

（2）若

n

n

u



lim=0，级数敛散性不确定，用比式判别法或根式判别法。若

1q

，

级数收敛；若

1q

（或

q

）级数发散；

（3）若

1q

，级数敛散性不确定，此时再用比较判别法，可找出一个已知敛散

性的级数与之比较。

当然，对于一些具体问题要根据其特点具体分析。

2.2交错级数敛散性判别法

定义4：若级数的各项符号正负相间，即：...)1(...1

4321



n

nuuuuu

（,...)2,1,0nu

n

则称该级数为交错级数。

莱布尼茨判别法：若①数列

n

u单调递减；②

n

n

u



lim=0，则交错级数收敛。

说明：莱布尼茨判别法中，交错级数满足的两个条件对交错级数的收敛不是必要

的，不满足

nn

uu

1

时，交错级数也可能收敛。

例如，对于交错级数

...

)2(

1

)12(

1

...

4

1

3

1

2

1

1

23232







nn

显然，

3

12)12(

1





n

C

n

，

2

2)2(

1

n

C

n



，

而

23)2(

1

)12(

1

nn





，（2n）

所以，

nn

CC

212





，即该级数不满足级数收敛的条件。

但是，该级数是两个收敛级数...

)12(

1

...

3

1

1

33







n

与

8

...

)2(

1

...

4

1

2

1

222



n

的差，所以该级数是收敛的。

例题7，在级数





1

1

1

)1(

n

n

n

中，

n

a

n

1

，其单调递减且趋于0，由莱布尼茨

判别法易知：该级数收敛。

注意：交错级数的敛散性判别，应先判定其是否绝对收敛，若是绝对收敛，则

根据绝对收敛级数性质，其一定收敛；若不是绝对收敛，则用莱布尼茨判别法判

定其条件收敛；用

n

n

u



lim

0判定其发散。

2.3任意项级数敛散性判别法

2.3.1绝对收敛：

定义5：若级数n

u收敛，则级数n

u也收敛，此时称级数n

u为绝对收

敛；

若级数n

u收敛，但级数n

u发散，则称级数n

u为条件收敛。

绝对收敛级数与条件收敛级数虽然都是收敛级数，但他们有不同的特性。主要表

现在运算上。绝对收敛级数与有限和有相同的运算律——结合律，交换律，分配

律。而条件收敛级数不满足交换律。

绝对收敛级数有以下的性质：

性质：

（1）.绝对收敛的级数一定收敛；

（2）.设级数......

21



n

uuu绝对收敛，且其和等于S,则任意重排后所得到

的

级数......

21



n

vvv也绝对收敛亦有相同的和数。

（3）.（柯西定理）Auuuu

nn

......

21

；Bvvvv

nn

......

21

，

都绝对收敛，且其所有乘积

ji

vu按任意顺序排列所得到的级数n

w亦绝对

收敛，且其和等于AB.

（4）.对于级数n

u的子级数，绝对收敛级数有以下特性：级数n

u绝对收

敛的充要条件是它的一切子级数都收敛。

证明：若n

u的一切子级数都收敛，可令

2

nn

n

uu

u



，

2

nn

n

uu

u



，则

9



n

u和

n

u分别是n

u的正项部分与负项部分，且都是n

u的子

级数。由所设知

n

u和

n

u都收敛，而

nnn

uuu，故n

u收敛。

即：n

u绝对收敛。

反之，当n

u绝对收敛，由

nn

uu0，

nn

uu0，故

n

u和

n

u都

收敛。于是对n

u的任一子级数k

n

u

，令

n

v

0

k

n

u

k

k

nn

nn





，

则

k

nn

uv

，且

nn

uv0，

nn

uv0，依比较判别法知，

n

v

和

n

v都收敛，

nnn

vvv，故n

v收敛，从而k

n

u

收敛，得

k

n

u

收敛。

2.3.2一般项级数的敛散性判别法：

（1）阿贝尔判别法：若

n

a为单调有界数列，且级数n

b收敛，则级数nn

ba

收敛。

（2）狄利克雷判别法：若数列

n

a单调递减，且0lim



n

n

a，又级数n

b的

部分和数列有界，则级数nn

ba收敛。

例题8：判断







1

1

)1(

n

n

nn

x

x

n

（0x）的敛散性。

解：若记

n

n

nx

x

a





1

，则当0x时，10

n

a；

①当1x时，

级数为





1

2

)1(

n

n

n

满足莱布尼茨定理，故：级数收敛；

②当

1x

时，

n

n

n

n

nn

x

x

x

x

xx















111

1

1；

所以，数列

n

a单调递增，且有界，而级数





1

)1(

n

n

n

收敛，

由阿贝尔判别法证得原级数收敛。

10

例题9：判断

1

sin

n

an

nx

，)2,0(x，（

0a

）的敛散性：

解：数列













an

1

（

0a

），单调递减，且0

1

lim



a

nn

，

而

xn

x

kx

x

a

n

k

)

2

1

cos(

2

cossin

2

sin

1





，

则对于)2,0(x，有

2

sin

1

sin

1

x

kx

k





，从而nxsin的部分和数列

有界，

由狄利克雷判别法知：原级数收敛。

注意：对任意项级数n

u，若其绝对收敛，则一定收敛，因此任意项级数的收

敛可转化为判定正项级数n

u的收敛问题：

（1）若级数n

u收敛，则n

u绝对收敛，即：n

u收敛；

（2）若级数n

u发散，不能判断n

u也发散，但若根据比式判别法或根

式判别法判定n

u发散，则可判定n

u必发散。因为用上两种方法判断n

u

发散的依据是，当0lim



n

n

u时，0lim



n

n

u，从而n

u发散。

3．概括总结：

3.1一般地，若判定一个级数n

u的敛散性可以根据以下步骤：

（1）根据级数收敛的必要条件，判断0lim



n

n

u是否成立，若不成立，则级数

发散；若成立，则进入（2）或（3）；

（2）若级数是正项级数，先使用比式判别法或根式判别法，若二者均无效，可

考虑比较判别法。若三种判别法都无法得出结论，则转入（4）或（5）；

（3）若级数是任意项级数，先将其一般项取绝对值转化为正项级数，判定其是

否为绝对收敛，根据绝对收敛级数性质：绝对收敛的级数一定条件收敛；若不

是绝对收敛，看其是否是能用莱布尼茨定理判定敛散性的交错级数；若不是交

错级数，观察其是否可将级数的通项表示为两项乘积，且满足阿贝尔或狄利克

雷条件。若不满足，则进入（4）或（5）；

（4）级数收敛的柯西准则是判别级数收敛的充要条件，因此对一切收敛级数均

11

适用，但判断一个级数是否满足柯西准则的条件本身就不容易，因此在一般情

况下不考虑使用柯西准则；除非其它方法都不能解决时。

（5）对于某些级数，可利用级数收敛的定义，即求部分和的极限来判别。

3.2我们由命题的逻辑关系知：原命题为真时，其逆否命题也为真。

因此通过以下级数收敛的性质，我们可以推出一些结论：

（1）若级数n

u收敛，在其项中任意加括号，不改变级数的收敛性；

若加括号后所成的级数发散，则原级数发散。

（2）若级数n

u收敛，则0lim



n

n

u；

如果0lim



n

n

u，则级数发散。

另外，我们知道，当原命题为真时，其逆命题可能为真，也可能为

假。因此，我们需要注意以下一些命题：

（1）若级数n

u收敛，则0lim



n

n

u；

它的逆命题：“若0lim



n

n

u，则级数n

u收敛”不成立。

例题10、级数

11

1

nnn

：

虽然

0

1

1

limlim





nn

u

n

n

n

，

但由于nn

nn

u

n





1

1

1

，

于是11)1...2312(nnnS

n

所以



)11(limlimnS

n

n

n

所以，原级数发散。

（2）收敛级数在不改变各项顺序的情况下，对其项任意加括号后所得

新级数仍收敛；

逆命题：“若加括号所得的新级数收敛，则原级数也收敛”不成立。

例题11、（1-1）+（1-1）+…收敛于0，但级数

...1111)1(

1



n

n

却是发散的。

（3）若级数n

u收敛，则级数n

u也收敛；

12

逆命题：“若n

u收敛，则级数n

u收敛”不成立。

例题12：级数

n

n

n

1

)1(

1

1





收敛，而









11

1

11

)1(

nn

n

nn

为调和级数，却

是发散的。

（4）若两个级数n

u和n

v都收敛，则)(

nn

vu也收敛；

逆命题：“若)(

nn

vu收敛，则n

u和n

v都收敛”不成立。

例题13：判定)

3

1

2

1

(

nn

与)

3

11

(

nn

的敛散性

解：①因为n2

1

与n3

1

都收敛，所以)

3

1

2

1

(

nn

收敛；

②因为

n

1

发散，而n3

1

收敛，所以)

3

11

(

nn

必发散。

结束语

经这次论文的撰写，使我对大学所学知识有了较系统的回顾，特别是对有关

数项级数的敛散性判断有了更深刻的认识。数项级数敛散性问题是级数研究中的

一个基本问题，由级数的敛散性定义知，判别级数的敛散性实质上是判别级数部

分和数列的敛散性，因此，研究级数的基本思想方法就是将级数的问题转化为其

部分和数列的相应问题。同时，在实际问题中，我们还经常利用已知敛散性的级

数和一些级数的基本性质来帮助确定级数的敛散性及推断级数的其他性质。但是

由于所学知识的有限，论文有些方面还是不够完善，例如文中所论述的定理及性

质都只在一定条件下适用，而作为充要条件的“柯西定理”又较为复杂，对于某

些特殊情况下的数项级数敛散性无法进行深入的探讨，这是本文的遗憾。在今后

的学习中，我还将继续努力，以力求取得更大的进步！

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[2]杨万利.数学分析名师导学（下册）[M].中国水利水电出版社,2008：108-120.

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[5]王政,宋元平.数学分析（下册）[M].科学出版社，2007:239-263.

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[11]李成群.数项级数敛散性的判定[J].广西商业高等专科学校学报,2005，22(2):

17-21.

ACriterionforConvergenceandDivergenceofseries

Zhaona

(DepartmentofMathematics，Xi'anUniversityofArtsandScience,

Xi'an710065，China)

Abstract:ConvergenceandDivergenceofseriesareanalyzed,studiedandsummarizeddeeply

tementsfocusonthecriterionofConvergenceandDivergenceofpositive

horprovidesthegeneralproceduresofdiscriminating

ConvergenceandDivergenceofseries,andalsosummarizessomeissueswhichshouldbepaid

attentiontod

result,theknowledgeofConvergenceandDivergenceofseriesisunderstooddeeper,andthe

problemsolvingabilityisimproved.

Keywords:numberofseries;positiveseries;alternatingseries;generaltermseries;

ConvergenceandDivergence.