微积分学教程
一本好书读后感-底部剪力法
2023年3月18日发(作者：混凝土试模)大学数学基础教程：一元函数微积分
一、函数
微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。这个量可以是速度，可
以是加速度，可以是生产率等等。这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。因此从函数开始说
起。函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。对函数概念
的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就
确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法
则缺一不可。这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函
数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。研究
函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。掌握了研究方法
后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量
极限方法的本质就是无穷小量的分析。因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正
整数N，使得当n>N时成立
|εn|<η,
则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作
εn=ο（1）,n→∞.
由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。这个需
要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己
给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。这些概念要熟
记。
三、极限
极限是刻画变量变化趋势的重要工具。好多教材中数列的极限、
函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。对比这些概念，给出的
方法都相同，即ε-δ（N）语言。通用模型是这样的：
对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，
|f（x）-A|<ε,
则称f（x）在x→**时以A为极限，记作
或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数
列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明
这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
ε-δ（N）语言是重点，将极限的“无限逼近”直观判断转变成
精确的数学语言。极限的运算性质（极限的加减乘除）以及收敛数列
的基本性质（有界性、夹逼性）都可以应用ε-δ（N）语言给出证明。
关于这一知识点的题目可以出很多，往往要用到放缩的技巧。在做题
的过程中要注意总结。
单调有界数列毕竟是一类特殊的数列，那么对于一般数列，如何
判断是否存在极限？这时就用到了Cauchy收敛准则。大家可以自行
练习相关的习题。
四、两个重要极限
这个极限的重要性相信大家都知道。常数e在中学数理化科目中
经常见到，但是并不知道是怎么得来的。这个极限的证明过程用到了
从特殊到一般的思想。先证明x取正整数时，运用二项展开式以及单
调有界函数必有极限定理，公式成立。后用取整函数来放缩，再用夹
逼准则得出当x趋近于正无穷时公式成立。最后运用换元思想，取
y=-x证得当x趋近于负无穷时公式成立。整个证明过程运用了从特
殊到一般、分类讨论、换元的数学思想，以及巧妙的放缩技巧。在学
习中要反复体会证明过程，将证明过程烂熟于心，并学会用这些思想
将这一公式转化得到新的公式。
这个极限将三角函数和一次函数联系起来，其证明过程较简单。
运用数形结合、夹逼准则、分类讨论的方法证出。同样，这一证明过
程要烂熟于心，并能够扩展得到其他公式。
五、连续
这一知识点的考题常见是证明函数f（x）连续。理解好这两个
公式，套用第一个公式，这一类题都可以解决。
函数的间断点可分为无穷间断点、跳跃间断点、可去间断点。这
些概念经常在题干中出现，做题时候要会挖掘条件，列出相应的表达
式。
闭区间上的连续函数有一些非常好的性质，在以后中会体会到。
这些性质有有界性定理、最大最小值定理、介值定理、零点存在定理。
微分与导数
五、微分
理解好这个公式并明白这个公式的几何意义，就掌握了微分和可
微的概念。可微必连续。
六、导数
理解好这个公式并明白这个公式的几何意义，就掌握了导数和可
导的概念。左导数和右导数的概念可以类似给出。左导数与右导数相
等等价于导数存在。初等函数的求导公式、导数的四则运算、复合函
数的链式求导法则以及反函数的求导法则都可以根据这个公式得出。
这里还需要牢记基本初等函数的导数表，以后计算中都会用到。这里
高阶导数的运算比较复杂，往往要用到数学归纳法。
七、隐函数求导和参数方程求导
这两类函数的求导思路相同，都是应用了复合函数的求导法则。
考题以计算题为主，解法都是相同套路。
八、微分的应用：近似计算与误差估计
略去高阶无穷小，得
这个公式是微分用作近似计算的基本依据。
对该知识点的考察以应用题居多。解题思路是求出导数，然后再
求微分。
九、微分学中值定理
这是Cauchy中值定理的表达式。Cauchy中值定理是微分学中值
定理的一般表达式。Roll中值定理、Lagrange中值定理是特殊情况。
其证明过程体现了构造的思想。这几个定理的证明过程要牢记于心，
并知道各定理的几何意义。
十、L’Hospital法则
L’Hospital是计算极限的重要工具。由Cauchy中值定理可证
出。洛必达法则的考题形式多样。解法都是套公式。
十一、泰勒公式
带Peano余项的（n阶）Taylor公式
带Lagrange余项的（n阶）Taylor公式
当x0取0时
泰勒公式用来用多项式逼近函数。证明过程用到洛必达法则，要
牢记。用多项式逼近函数的思想需要细细体会。五个Maclaurin公式
要会用。用这几个公式解题往往很省事。
十二、函数的图像
函数图像的主要特征有单调性、凸性、拐点、极值。掌握这些概
念，并会求出给定函数的这些特征，描绘函数图像。
十三、函数方程的近似求解
掌握牛顿切线法。
一元函数积分学
十四、定积分的概念、性质
理解这个表达式的含义。定积分的性质根据定义可以自行得出。
原函数和变上限积分的概念要掌握好。对于微分与积分可逆的证明过
程要熟练掌握。
十五、微积分基本定理
这是科学史上最伟大的公式之一。既要自己推导出该公式，还要
从这个公式推导出变上下限积分函数的导数。
十六、不定积分和定积分的计算
不定积分的计算是导数的逆运算。熟记基本不定积分表，掌握换
元积分法和分部积分法。这一类题目只能多做多总结。定积分的计算
与不定积分相近，应用定积分的性质，有时可以减少计算量。
十七、定积分的应用
定积分的应用的考题以应用题为主，解题方法是微元法。常见问
题有面积问题、已知平行截面面积求体积、旋转体的体积、曲线的弧
长、曲线的曲率、旋转曲面的面积、由分布密度求分布总量、动态过
程的累积效应。
十八、反常积分
无穷限的反常积分
解决相关问题直接套公式即可。然而因为原函数并非初等函数的
情况是经常出现的，这时可以用比较判别法判断反常积分的敛散性。
使用比较判别法需要借助一个已知敛散性且形式简单、易于参照的函
数做标准。
无界函数的反常积分
解题方法与无穷限的反常积分相同。
Cauchy主值积分
解题方法同样是带公式。
Γ函数
B函数
这两个函数有一些很好的性质，并且两个函数之间有联系。这些
都要记牢。并通过练习题体会应用方法。