复数的知识点总结
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2023年3月18日发(作者：帽子款式)复数知识点小结
1、复数的概念
复数(,)zabiabR
Re
Im
az
bz
——实部——
——虚部——
，其中21i，
i
叫做虚数单位.
2、复数的分类
(0)
(,)
(0)(0
b
zabiabR
ba
实数
复数
虚数特别地，时为纯虚数)
3、两个复数相等
定义：如果两个复数),(
1
Rbabiaz和),(
2
Rdcdicz的实部与虚部分别相等，
即
dbca且
，那么这两个复数相等，记作
dicbia
.
只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不
相等两种关系，不能比较大小.
4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中，x轴叫做实轴，y轴叫做
虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。
5、复数的向量表示
OZZ向量复平面上点复数),(babiaz
6、复数的模
复数模（绝对值）的定义，几何意义：
复数z=a+bi（a,b∈R）所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离。
|z|=|a+bi|=022ba.
[说明]2||0||zzaa为实数时，，所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当
a=b=0时，|z|=0
7、复数的四则运算性质：Rdcba,,,
1）、加法：idbcadicbia)()()()(
2）、减法：idbcadicbia)()()()(
3）、乘法：ibcadbdacdicbia)()())((
4）、除法：i
dc
adbc
dc
bdac
dic
bia
2222
（目的：分母实数化）
[要点说明]①计算结果一律写成),(Rbabia的代数形式；
②复数的加法满足交换律、结合律；
③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律；
交换律：
1221
zzzz
结合律：)()(
321321
zzzzzz
分配律：
3121321
)(zzzzzzz
④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即
nn
nmnnmnmnmzzzzzzzzzNnmCzzz
2121
*
321
)(,)(,,,,,时：
8、i的整数指数幂的周期性特征：
414243441,1,,1kkkkkiiiiii若为非负实数，则（）；
kkkkiiii）（
9、||
21
zz的几何意义：
设
12
,(,,,)zabizcdiabcdR
则22
21
)()(|)()(||)()(|||dbcaidbcadicbiazz
几何意义：对应复平面上点
12
(,),(,)ZabZcd两点间距离22)()(dbcad
10、共轭复数
1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复
数，记为biaz
问题：当
Rz
时，是否有共轭复数？两者关系如何？zzRz
2）运算性质：结论可推广到n个
2121
)1(zzzz
2121
)2(zzzz
)0()()()3(
2
2
1
2
1z
z
z
z
z
3）模的运算性质：①
121212
||||||||||zzzzzz；
②
1212
zzzz，可推广至有限多个，特别地
n
nzz
③
2
1
2
1
z
z
z
z
④
2
2zzzz，特别地，当1z时，1zz即
1
z
z
.
11、复数的平方根：
在复数集C内，如果),,,(,Rdcbadicbia满足：dicbia2)(，
则称bia是
dic
的一个平方根.
从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.
12、复数的立方根
设i
2
3
2
1
，则：
322
331322
(1)1;(2)10;(3);
(4)1,{}
即是的等比数列
13、实系数一元二次方程根的情况
1）20(0)axbxca实系数一元二次方程在复数集内根的情况：
①0,当时有两个不相等的实根；②0当时，有两个相等的实根；
③0当时，有两个共轭虚根.
2）0当时，22
1211212
2Re,||||
bc
xxxxxxx
aa
3）2
121212
0||()4=xxxxxx
a
当时，；
12
0||||
22||
bibi
xx
aaa
当时，
12
||
||
||
xx
a
综上：