定积分计算公式
-
2023年3月18日发(作者：举手投足之间)1
摘要
定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它
在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总
结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.
但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较
难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用
欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数
求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进
行说明.
关键词:定积分;被积函数;原函数;牛顿-莱布尼兹公式
2
目录
1引言
2定计算的计算方法
2.1分项积分
法·················································(1)
2.2分段积分
法·················································(2)
2.3换元积分
法················································(3)
2.4分部积分
法················································（5）
2.5欧拉积分在定积分计算中的应
用·······························（9）
2.6留数在定积分计算上的应
用···································（10）
2.7巧用二重积分求解定积
分·····································（10）
2.8反函数法求解定积
分·········································（10）
2.9带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应
用·····················（11）
3总
3
结················································(12）
浅谈定积分的计算
1.引言
定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其
他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积
分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.
另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出
其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此
基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括
欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法
求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通
过例子加以说明.
2.定积分的计算方法
2.1分项积分法
我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：
1122
()()fxkgxkgx()+，
4
若右端的积分会求，则应用法则
1122
()()bbb
aaa
fxdxkgxdxkgxdx()+,其中
1
k，
2
k是
不全为零的任意常数，就可求出积分()
b
a
fxdx，这就是分项积分法.
例2-1[1]计算定积分4
1
42
2
1
(1)
dx
xx
.
解利用加减一项进行拆项得
4
1
42
2
1
(1)
dx
xx
=
22
4
1
42
2
(1)
(1)
xx
dx
xx
=4
1
4
2
1
dx
x
22
4
1
22
2
(1)
(1)
xx
dx
xx
=4
1
4
2
1
dx
x
4
1
2
2
1
dx
x
+4
1
2
2
1
1
dx
x
=
3
1
3x
4
1
2
+4
1
2
1
x
+arctanx4
1
2
.
=
3
64415
arctan
323
.
例2-2计算定积分
2
11
x
dx
xx
.
解记J
2
11
x
dx
xx
=2
22
1
(1)
()(1)
xxx
dx
xx
=
3
2
2
1
xdx+2
1
1xxdx
再将第二项拆开得
J=
3
2
2
1
xdx+
3
2
2
1
(1)xdx+
1
2
2
1
(1)xdx=
5
2
2
1
2
5
x
+
5
2
2
1
2
(1)
5
x
+
3
2
2
1
2
(1)
3
x
=
5
2
2
2
5
+
2
3
.
2.2分段积分法
分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函
数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.
被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对
值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.
例2-3[2]计算定积分2
2
1
(1)min,cos
2
xxdx
.
5
解由于
1
min,cos
2
x
为偶函数，在0,
2
上的分界点为
3
，所以
2
2
1
(1)min,cos
2
xxdx
=2
2
1
min,cos
2
xxdx
+2
0
1
2min,cos
2
xdx
=
032
0
3
1
2(cos)
2
dxxdx
=
23
3
.
例2-4计算定积分
2
0
(1)fxdx，其中
1
,0
1
1
,0
1
()
x
x
x
x
e
fx
.
解由于函数
()fx
的分界点为
0
，所以，令
1tx
后，有
2
0
(1)fxdx=1
1
()ftdt
=0
1
1
1x
dx
e
+1
0
1
1
dx
x
=0
11
x
x
e
dx
e
+1
0
ln(1)x
=0
1
ln(1)xe
+ln2
=
ln(1)e
.
2.3换元积分法（变量替换法）
换元积分法可以分为两种类型：
2.3.1第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）
例2-5[3]计算定积分2
1sintan
dx
xx
.
解2
1sintan
dx
xx
=2
1
cos
sin(1cos)
xdx
xx
=
22
2
1
3
cossin
22
4sincos
22
xx
dx
xx
=
2
2
1
1tan
2
tan
2
2tan
2
x
x
d
x
=2
1
11
(tan)tan
222
tan
2
xx
d
x
=2
22
11
11
lntantan
2242
xx
=2
1111
lntantan
2424
.
例2-6计算定积分
2
2
4
0
1
1
x
dx
x
.
6
解
2
2
4
0
1
1
x
dx
x
=
2
2
0
2
2
1
1
1
x
dx
x
x
=2
0
2
2
11
()
1
dx
x
x
x
=2
0
2
11
()
1
()2
dx
x
x
x
=22
00
11
()()
1
11
22
()2()2
dxdx
xx
xx
xx
=
1
2
12
ln
1
0
22
2
x
x
x
x
=
11
ln
5
22
.
2.3.2第二换元积分法
常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．
下面具体介绍这些方法．
①三角替换
例2-7[4]计算定积分
3
1
2
4
0
(1)xxdx.
解由于
3
1
2
4
0
(1)xxdx=
3
1
2
42
0
1
(1)
2
xdx，故可令2sinxt，于是
3
1
2
4
0
(1)xxdx=arcsin1
4
0
1
cos
2
tdt=
2
arcsin1
0
1
(1cos2)
8
tdt
=arcsin1
0
1
(12cos2
8
t
1cos4
)
2
t
dt
=arcsin1
0
11
(32sin2sin4)
164
ttt
=2
1
(34sin1sin
16
ttt
22arcsin1
0
sin1sin(1sin))ttt
=2242441
0
1
(3arcsin41(12)1)
16
xxxxxx
=224641
0
1
(3arcsin5121)
16
xxxxx=
3
arcsin1
16
.
7
②幂函数替换
例2-8计算定积分
2
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
.
解作变量代换
2
xt
，得到
2
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
=
2
2
0
cos
sincos
t
dt
tt
，因此
2
2
0
sin
sincos
x
dx
xx
=
22
22
00
1sincos
()
2sincossincos
xt
dxdt
xxtt
=
2
0
11
2sincos
dx
xx
=2
0
11
22
sin()
4
dx
x
=
3
4
4
11
sin
22
dx
x
=
3
4
4
11cos
(ln)
sin
22
x
x
=
1
ln(12)
2
.
③倒替换
例2-9计算定积分
31
2
2
1321
dx
xxx
.
解
31
2
2
1321
dx
xxx
=
31
2
1
2
2
21
3
dx
x
xx
令
1
t
x
得
31
2
1
2
2
21
3
dx
x
xx
=31
2
14(1)
dt
t
=31
1
1
arcsin
2
t
=
6
.
2.4分部积分法
定理3-1[5]若()x
，()x
在,ab上连续，则
bb
b
a
aa
uvdxuvuvdx
或
bb
b
a
aa
udvuvvdu.
利用分部积分求
()
b
a
fxdx的解题方法
8
（1）首先要将它写成
b
a
udv()b
a
uvdx
或得形式．
选择,uv，使用分布积分法的常见题型：
表一
被积函数的形式所用方法
()x
n
Pxe，()sin
n
Pxx
，()cos
n
Pxx
，
其中()
n
Px为n次多项式，
为常数
进行n次分部积分，每次均取xe，
sinx，cosx
为
()vx
，多项式部分为
()ux
()
n
Pxlnx
,()
n
Pxarcsinx，
()
n
Pxarctanx即多项式与对数函数或
反三角函数的乘机
取()
n
Px为
()vx
，
lnx
，
arcsinx，
arctanx等为
()ux
．分部积分一次后被
积函数的形式发生变化
xesinx，xecosx取xe=
()vx
（或
()ux
），
sinx，
cosx
为
()ux
（或()vx
），进行两次分部积分
（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．
（3）用分部积分法有时可导出
()
b
a
fxdx的方程，然后解出．
（4）有时用分部积分法可导出递推公式．
例2-10[6]计算定积分22
2
0
sinxxdx
.
9
解于2
1
sin(1cos2)
2
xx
，所以
22
2
0
sinxxdx
=2
2
0
1
(1cos2)
2
xxdx
=32
2
2
0
0
11
sin2
64
xxdx
连续使用分部积分得
22
2
0
sinxxdx
=32
2
2
0
0
111
(sin2)sin2
642
xxxxxdx
=32
2
2
0
0
111
(sin2)cos2
644
xxxxdx
=32
2
0
1111
(sin2cos2sin2)
6448
xxxxxx
=
3
488
.
例2-11[7]计算定积分2
2
0
sinxxexdx
．
解因为2
0
sinxexdx
=2
0
sinxxde
=2
0
sinxex
2
0
cosxxde
=2
0
(sincos)xexx
2
0
sinxexdx
所以
2
0
sinxexdx
=
1
2
2
0
(sincos)xexx
=2
1
(1)
2
e
于是
2
0
cosxexdx
=cosxex2
0
+2
0
sinxexdx
=2
0
1
(sincos)
2
xexx
=2
1
(1)
2
e
从而2
2
0
sinxxexdx
=2
2
0
1
(sincos)
2
xxdexx
=2
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
(sincos)xxexxdx
=2
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
1
(sincos)
2
xxdexx
2
0
1
(sincos)
2
xxdexx
10
=2
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
1
(sincos)
2
xexxdx
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
1
(sincos)
2
xexxdx
=2
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
cosxxex
2
0
cosxexdx
=2
2
0
1
(sincos)
2
xxexx
2
0
cosxxex
2
0
1
(sincos)
2
xexx
=22
2
0
1
(1)sin(1)cos
2
xexxxx
=
2
21
(1)
242
e
.
例2-12[8]计算定积分
0
sinnxxdx
，其中n为正整数．
解
(21)
2
sink
k
xxdx
=(21)
2
sink
k
xxdx
作变量替换2txk得
(21)
2
sink
k
xxdx
=
0
(2)sintktdt
=
00
sin2sinttdtktdt
=
00
0
coscos2costttdtkt
=(41)k
(22)
(21)
sink
k
xxdx
=(22)
(21)
sink
k
xxdx
作变量替换2txk得
(22)
(21)
sink
k
xxdx
=2(2)sintktdt
=-22sin2sinttdtktdt
=2
22coscos2costtdttdtkt
=(43)k
当n为偶数时，
0
sinnxxdx
=
1
2
(21)(22)
2(21)
0
(sinsin)
n
kk
kk
k
xxdxxxdx
11
=1
2
0
(41)(43)
n
k
kk
(1)
22
42
22
nn
n
=2n
当n为奇数时，
0
sinnxxdx
=
3
2
(21)(22)
2(21)(1)
0
(sinsin)sin
n
kkn
kkn
k
xxdxxxdxxxdx
=
3
2
0
1
(41)(43)(41)
2
n
k
n
kk
=
3
2
0
4(21)(21)
n
k
kn
=
31
()()
1
22
42(21)
22
nn
n
n
=2n.
2.5欧拉积分在定积分计算中的应用
定义2-1[4]形如
(,)pq
=1
11
0
(1)pqxxdx的含参变量积分称为Beta函数，或
第一类Euler积分。形如1
0
()sxsxedx
的含参变量积分称为Gamma函数，或第
二类Euler积分。
定理2-2[4]Beta函数与Gamma函数之间具有如下关系：
(,)pq
=
()()
()
pq
pq
，
0,0pq
.
定理2-3[4]（余元公式）()(1),01
sin
sss
.
命题2-1[4]
2
0
sincosmmxxdx
=
11
(,)1,1
22
mn
mn
.
例2-13[4]计算
0
1cos
(01)
sin1cos
xdx
k
xkx
.
12
解令
1
tantan
212
tkx
k
，则有
1
tantan
212
xkt
k
，利用三角恒等式可得
cos
cos
1cos
tk
x
kt
，
21
sin
1cos
k
x
kt
，
21
1cos
k
dxdt
kt
将其带入原式得
0
1cos
sin1cos
xdx
xkx
=
2
4
2
0
11cos1
cot
1211cos
ktktk
dt
kkkt
=
1
11
4
22
3
0
4
(1)
sincos
22
(1)
ktt
dt
k
=
1
11
4
2
22
3
0
4
2(1)
sincos
(1)
k
ttdt
k
11
2
22
0
113
sincos(,)
244
ttdt
13
()()
1
44
13
2
()
44
=
1
2
2
sin
4
从而
0
1cos
sin1cos
xdx
xkx
=
1
4
3
4
(1)
2(1)
k
k
.
2.6留数在定积分计算上的运用
例2-14[9]计算积分
2
2
0
sin
cos
d
ab
.
解令ize，则
21
sin
2
z
iz
，
21
cos
2
z
z
，idzied
2
2
0
sin
cos
d
ab
=
2
2
2
1
(1)1
1
4
()
2
z
zdz
z
ziz
ab
z
=
2
22
1
(1)
2(2)
z
z
dz
izbzazb
=
2
2222
1
2
(1)
2()()z
z
dz
aabaab
izbzz
bb
=22()
2Re(),0Re(),
aab
isfzsfz
b
=
22
22
22aab
bb
=22
2
2
()aab
b
.
2.7巧用二重积分求解定积分
13
例2-15[10]计算积分
1
2
0
ln(1)
1
x
Idx
x
.
解因为
1
0
ln(1)
1
x
xdy
xy
，所以
11
2
0011
dxx
Idy
xxy
=11
2
00(1)(1)
x
dydy
xyx
=1
2
0
11
ln2ln(1)
124
yydy
y
=
ln2
4
I
故
ln2
8
I
.
2.8反函数法求解定积分
定理2-4[11]若函数
()fx
在,ab上严格单调且连续，其反函数是
1()xfy，且
(),fa()fb
，则1()()b
a
fxdxbafydy
．
定理2-5[11]设
()yfx
在,ab上可积，
(),fa()fb
.若
()yfx
在
,ab上存在反函数1()xfy（,y）,
()gx
在,ab上可积且存在原函数
()Gx
,1()Gfy
在,上可积，则
()b
a
fxgxdx=1()()()b
b
a
a
fxGxGfydy
.
例2-16[11]计算定积分6
1
lnexxdx.
解记6()gxx，它的一个原函数为7
1
()
7
Gxx
，
()fx
的反函数为yxe，
1,,(1)0,()1abeffe
由定理得6
1
lnexxdx1
77
1
0
11
ln
77
eyxxedy=77
11
(1)
749
ee
=7
1
(61)
49
e
.
2.9带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用
定理2-5[12]若函数()fx在
0
x点的领域
0
()Ux内有连续的1n阶导数，则
x
0
()Ux，有
2
00000
1
()()()()()()
2!
fxfxfxxxfxxx
()
00
1
()()
!
nnfxxx
n
+
()
n
Rx，其中
0
(1)
1
()()()
!
x
nn
n
x
Rxftxtdt
n
称为积分型余项．
14
例2-17[12]计算
2
()(0)
n
b
n
a
b
dxnNab
x
（-x）
.
解设
1
()fx
x
，则
1
(1)
2
(1)(1)!
()
n
n
n
n
fx
x
2
n
b
n
a
b
dx
x（-x）
=
1
(1)
(1)1
()()
(1)!
n
b
nn
a
bxdx
nx
=2
1231
11111(1)
!()()()
(1)(10!
n
n
nn
nbababa
ba
naaa
=
1
1
(1)
(1)
1
n
n
b
a
nb
.
总结
本文归纳总结了定积分计算方法,其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分
法、分部积分法、用欧拉积分求解定积分，运用留数计算定积分,巧用二重积分求解
定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用等,
进行了一一列举,并通过例子加以说明.