简单函数

简单函数

-

2023年3月18日发(作者：电位差计的使用)

页眉内容

函数概念与基本初等函数

（一）函数

1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.

2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法

表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，

会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.

6．会运用函数图像理解和研究函数的性质.

（二）指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景。

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。

4．知道指数函数是一类重要的函数模型。

（三）对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对

数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.

3．知道对数函数是一类重要的函数模型.

4．了解指数函数与对数函数互为反函数。

（四）幂函数

1．了解幂函数的概念。

2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。

（五）函数与方程

1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别

函数零点的个数.

（六）函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长

等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

知识网络

考纲导读

页眉内容

根据考试大纲的要求，结合历年高考的命题情况，我们可以预测集合部分在选择、填空和

解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符

号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、

方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考

查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，

包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有

函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.

考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图

象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相

应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问

题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

第1课时函数及其表示

一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在

集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，

记作.

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做

象，叫做原象。

二、函数

1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B

的，记作.

2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才

能称为同一函数。

3．函数的表示法有、、。

4.复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。

（1）（2）（3）（4）

1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）

典型例题

基础过关

高考导航

9

4

1

3

3

2

2

1

1

30

45

60

90

1

1

2

2

3

3

1

4

9

1

2

3

1

2

3

4

5

6

开平方求正弦求平方

乘以2

页眉内容

3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f：AB集合A到集合B的映射。

例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）.

A.

1,

x

yy

x



B.211,1yxxyxg

C.3

3,yxyxD.2||,()yxyx

解：C

方法小结：函数的三要素：对应法则、定义域、值域

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致(两点必须同时具备)

变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）

A.y=

x

x2B.y=(x)2C.y=lg10xD.y=x

2

log2

解：C

变式训练2：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？

1．

3

)5)(3(

1





x

xx

y

5

2

xy

2。11

1

xxy)1)(1(

2

xxy

3。xxf)(2)(xxg

4．xxf)(3

3)(xxF

5．2

1

)52()(xxf52)(

2

xxf

例2：已知：f(x)=x2x+3求：f(

x

1

)；f(x+1)。

解：f(

x

1

)=(

x

1

)2

x

1

+3

f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3

变式训练3：已知()21fxx，求(1)fx

1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．

2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法

时，要注意研究定义域的变化．

小结归纳

页眉内容

3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析

式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．

第2课时函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

①已知函数的解析式，就是.

②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的

域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.

二、值域：

1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：

①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧

有界性法；⑨换元法（又分为法和法）

例如：①形如y＝

2

2

1

x

，可采用法；②y＝

)

3

2

(

23

12







x

x

x

，可采用法

或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－

x1

，可采

用法；⑤y＝x－2

1x，可采用法；⑥y＝

x

x

cos2

sin



可采用法

等.

例1.求下列函数的定义域：

（1）y=

xx

x





||

)1(0;(2)y=2

3

2

5

3

1

x

x





;(3)y=1·1xx.

解：（1）由题意得,

0||

01











xx

x

化简得,

||

1











xx

x

即.

0

1











x

x

故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}.

（2）由题意可得,

05

03

2

2











x

x

解得.

55

3















x

x

故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}.

（3）要使函数有意义，必须有

基础过关

典型例题

页眉内容

,

01

01











x

x

即,

1

1











x

x

∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.

方法小结：

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它

的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

变式训练1：求下列函数的定义域：

（1）y=

212

)2lg(

xx

x





+(x-1)0;(2)y=

)34lg(

2

x

x

+(5x-4)0;(3)y=225x+lgcosx;

解：（1）由

















01

,012

02

2

x

xx

x

得

















1

,43

2

x

x

x

所以-3＜x＜2且x≠1.

故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).

（2）由

















045

,134

034

x

x

x

得

























5

4

,

2

1

4

3

x

x

x

∴函数的定义域为

).,

5

4

()

5

4

,

2

1

(

2

1

,

4

3

















（3）由











0cos

0252

x

x

,得,

)(

2

2

2

2

55















Zkkxk

x









借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为

.5,

2

3

)

2

,

2

(

2

3

,5

































例2.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.

（1）y=f(3x);(2)y=f(

x

1

);

(3)y=f()

3

1

()

3

1

xfx;(4)y=f(x+a)+f(x-a).

解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤

3

1

,y=f(3x)的定义域为［0,

3

1

］.

（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).

（3）由条件，y的定义域是f)

3

1

(x与)

3

1

(x定义域的交集.

列出不等式组

,

3

2

3

1

3

4

3

1

3

2

3

1

1

3

1

0

1

3

1

0









































x

x

x

x

x

页眉内容

故y=f)

3

1

()

3

1

(xfx的定义域为













3

2

,

3

1

.

（４）由条件得,

1

1

10

10























axa

axa

ax

ax

讨论：

①当











,11

,1

aa

aa

即0≤a≤

2

1

时，定义域为［a,1-a］;

②当











,1

,

aa

aa

即-

2

1

≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.

综上所述：当0≤a≤

2

1

时，定义域为［a，1-a］；当-

2

1

≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.

变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜

2

1

）的定义域是（）

A.



B.［a，1-a］C.［-a，1+a］D.［0，1］

解：B

例3求函数2,1

1

x

x

y，的值域。

解：（直接法）因为2,1x，所以1

1

2

1



x

，所以函数的值域为













1

2

1

，

方法小结：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,

其值域可通过观察直接得到。

变式练习3:求函数

2

1

2



x

y的值域。

例4：求函数522x

x

y，Rx的值域。

解：（配方法）因为522x

x

y=



4

12

x

4

所以函数的值域为，4

方法小结：配方法适用于二次函数及含有二次项的分式函数。

变式练习4：求函数)25(322xxyx的值域。

页眉内容

例5.求

12

2







x

x

x

x

y的值域。

解：（判别式法）由y=,

12

2





xx

xx

得(y-1).0)1(2yxyx

∵y=1时,x，∴1y

又∵xR，∴必须=(1-y)2-4y(y-1)≥0.

∴.1

3

1

y∵,1y∴函数的值域为













1,

3

1

.

方法小结：适用于分式函数（分子或分母中含有一个是二次项）都可通用，但这类题型有时也可以用

其他方法进行化简。

变式练习5：1.求函数

12



x

x

y的值域。

2.求函数

1

12







x

x

x

y的值域。

例6：求函数y=x-x21的值域。

解：方法一（单调性法）

定义域















2

1

|xx，函数y=x,y=-x21均在















2

1

,上递增，

故y≤.

2

1

2

1

21

2

1



∴函数的值域为















2

1

,.

方法二（换元法）令x21=t,则t≥0，且x=.

2

12t

∴y=-

2

1

（t+1）2+1≤

2

1

（t≥0）,∴y∈（-∞，

2

1

］.

方法小结：换元法适用于形如

dcxbaxy

，令

dcxt

变式训练6:求函数

xxy212

的值域。

页眉内容

例7：求函数

1

1







e

e

y

x

x

的值域。

解：（有界性法）由y=

1e

1e





x

x得,ex=.

1

1

y

y





∵ex＞0,即

y

y





1

1

＞0,解得-1＜y＜1.

∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.

例8：求函数

52

1







x

x

y的值域。

解：(分离常数法)y=-

)52(2

7

2

1





x

，∵

)52(2

7

x

≠0,

∴y≠-

2

1

.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-

2

1

}.

方法小结：分离常数法，适用形如：

bkx

akx

y

bkx

kx

y









或

变式训练8：求函数

1



x

x

y的值域。

例9：求函数

34

56

x

y

x







值域。

解：（反函数法）

3464

5634

5635

xy

yxyyxx

xy







,分母不等于0,即

3

5

y

所以函数的值域

3

5

y

例10．若函数f（x）=

2

1

x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.

解：∵f（x）=

2

1

(x-1)2+a-

2

1

.

∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.

∴f（x）min=f（1）=a-

2

1

=1①

f（x）max=f（b）=

2

1

b2-b+a=b②

由①②解得















.3

,

2

3

b

a

页眉内容

变式训练10：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(x∈R).

（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；

（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.

解：(1）∵函数的值域为［0，+∞),

∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=

2

3

.

（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤

2

3

,∴a+3＞0,

∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+

2

3

)2+

4

17

(a















2

3

,1).

∵二次函数f(a)在















2

3

,1上单调递减，∴f（a）min=f)

2

3

(=-

4

19

，f（a）max=f（-1）=4，

∴f(a)的值域为













4,

4

19

.

1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式，应抓住使整个解式有意义的自变量

的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，

此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.

2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有

界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综

合而灵活地选择方法.

第3课时函数解析式求法

例1设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf

解：（待定系数法）设baxxf)()0(a，则

方法小结：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

变式练习1：已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出f(x)的解析式.

例2已知

2

2

1

)

1

(

x

x

x

xf)0(x，求()fx的解析式

解：（配凑法）2)

1

()

1

(2

x

x

x

xf，2

1



x

x

方法小结：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配

成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定

义域，而是()gx的值域。

变式练习2：1、已知

xxxf2)1(

，求)1(xf的解析式。

小结归纳

典型例题

页眉内容

2、已知

2(31)965fxxx，求()fx解析式。

例3已知

xxxf2)1(

，求)1(xf

解：（换元法）令

1xt

，则1t，2)1(tx

方法小结：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑

法一样，要注意所换元的定义域的变化。

变式练习1．已知f(3x+1)=4x+3,求f(x)的解析式.

2．若

x

x

x

f





1

)

1

(,求)(xf的解析式.

3.已知

21

34

(31)

x

x

fx





，求()fx解析式。

例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式

解：（代入法）设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM



为),(yxM关于点)3,2(的

对称点

则























3

2

2

2

yy

xx

，解得：















yy

xx

6

4

，

点),(yxM



在)(xgy上

把















yy

xx

6

4

代入得：

整理得

672xxy

方法小结：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法

变式训练：已知()21fxx，求(1)fx的解析式。

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构

造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5设,)

1

(2)()(x

x

fxfxf满足求)(xf

解：（构造方程组法）

x

x

fxf)

1

(2)(①

显然,0x将

x

换成

x

1

，得：

x

xf

x

f

1

)(2)

1

(②

解①②联立的方程组，得：

页眉内容

方法小结：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，

通过解方程组求得函数解析式。

变式训练：已知2()()1fxfxx，求()fx解析式。

例6设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,

1

1

)()(





x

xgxf求)()(xgxf和的解析式

解)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，)()(),()(xgxgxfxf

又

1

1

)()(





x

xgxf①，

用

x

替换

x

得：

1

1

)()(





x

xgxf

即

1

1

)()(





x

xgxf②

解①②联立的方程组，得

1

1

)(

2



x

xf，

xx

xg





2

1

)(

例7已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，

求)(xf的解析式。

解：（赋值法）Q对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，

不妨令0x，则有

1)1(1)1()0()(2yyyyyyfyf

再令xy得函数解析式为：

1)(2xxxf

方法小结：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”

的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例8设)(xf是定义在



N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba,都有

abbafbfaf)()()(，求)(xf

解：（递推法）



Nbaabbafbfaf,)()()(，，

不妨令1,bxa，得：xxffxf)1()1()(，

又1)()1(,1)1(xxfxff故①

分别令①式中的1,21xnL得：

将上述各式相加得：nfnf32)1()(，

方法小结：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭

页眉内容

加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

第4课时函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y＝f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，

当x1、

个；②都有，则称f(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称

函数的一个.

若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为.

2．判断单调性的方法：

(1)定义法，其步骤为：①；②；③.

(2)导数法，若函数y＝f(x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f(x)

在这个区间上是增函数；②若，则f(x)在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)函数；

2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；

3．互为反函数的两个函数有的单调性；

4．复合函数y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]

为，若f(x),g(x)的单调性相反，则f[g(x)]为.

5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.

例1.已知函数f(x)=ax+

1

2





x

x

(a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),

不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,12

xxa＞1且1

xa＞0,

∴0)1(12112

xxxxxaaaa，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,

∴

)1)(1(

)(3

)1)(1(

)1)(2()1)(2(

1

2

1

2

21

12

21

2112

1

1

2

2























xx

xx

xx

xxxx

x

x

x

x

＞0,

于是f(x2)-f(x1)=12

xxaa+

1

2

1

2

1

1

2

2











x

x

x

x

＞0,

故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

方法二f(x)=ax+1-

1

3

x

(a＞1),

求导数得)(xf=axlna+

2)1(

3

x

,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,

2)1(

3

x

＞0,

)(xf＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

基础过关

典型例题

页眉内容

方法三∵a＞1,∴y=ax为增函数，

又y=

1

3

1

1

2











xx

x

，在（-1，+∞）上也是增函数.

∴y=ax+

1

2





x

x

在（-1，+∞）上为增函数.

方法小结：函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

○

1任取x1，x2∈D，且x1

○

2作差f(x1)－f(x2)；

○

3变形（通常是因式分解和配方）；

○

4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○

5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的

单调性密切相关，其规律：“同增异减”

变式训练1：讨论函数f（x）=x+

x

a

（a＞0）的单调性.

解：方法一显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，

设x1＞x2＞0,则

f(x1)-f(x2)=（x1+

1

x

a

）-（x2+

2

x

a

）=(x1-x2)·（1-

21

xx

a

）.

∴当0＜x2＜x1≤a时，

21

xx

a

＞1,

则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，a］上是减函数.

当x1＞x2≥a时，0＜

21

xx

a

＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),

故f（x）在［a，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，

∴f（x）分别在（-∞，-a］、［a，+∞）上为增函数；

f（x）分别在［-a，0）、（0，a］上为减函数.

方法二由)(xf=1-

2x

a

=0可得x=±a

当x＞a或x＜-a时，)(xf＞0∴f（x）分别在（a，+∞）、（-∞，-a］上是增函数.

同理0＜x＜a或-a＜x＜0时，)(xf＜0

即f（x）分别在（0，a］、［-a，0）上是减函数.

例2.判断函数f(x)=12x在定义域上的单调性.

页眉内容

解：函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},

则f(x)=12x,

可分解成两个简单函数.

f(x)=)(,)(xuxu=x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，)(xu为增函数.

∴f（x）=12x在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，)(xu为减函数，

∴f(x)=12x在（-∞,-1］上为减函数.

方法小结：复合函数)(xgfy在区间ba,上的单调性：

)(xgu,)(ufy增减性相同时,)(xgfy为增函数,

)(xgu,)(ufy增减性相反时,)(xgfy为减函数.

求复合函数单调区间的步骤是：

(1)求函数的定义域；

(2)用换元法把复合函数分解成常见函数；

(3)求各常见函数的单调区间；

(4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；

(5)按复合函数单调性的规律（同增异减），求出复合函数的单调区间。

变式训练2：1、求函数y=

2

1

log（4x-x2）的单调区间.

2、求下列函数y=log4(x2－4x+3)的单调区间。

3、求复合函数2

1

3

log(2)yxx的单调区间。

例3.求下列函数的最值与值域：

（1）y=4-223xx;(2)y=x+

x

4

;(3)y=4)2(122xx.

解：（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.

∴t∈［0，4］，t∈［0，2］，

从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.

(2)方法一函数y=x+

x

4

是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论

x＞0时,即可知x＜0时的最值.

∴当x＞0时,y=x+

x

4

≥2

x

x

4

=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,

等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.

方法二任取x1,x2,且x1＜x2,

页眉内容

因为f(x1)-f(x2)=x1+

1

4

x

-(x2+

2

4

x

)=,

)4)((

21

2121

xx

xxxx

所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.

故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,

所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.

（3）将函数式变形为y=2222)20()2()10()0(xx,

可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的

交点（横坐标）即为所求的最小值点.

ymin=|AB|=13)21()20(22，可求得x=

3

2

时，ymin=13.

显然无最大值.故值域为［13，+∞）.

例4．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()

2

1

x

x

=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.

（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.

（2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则

2

1

x

x

＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,

所以f)(

2

1

x

x

＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2),

所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

（3）由f(

2

1

x

x

)=f(x1)-f(x2)得f()

3

9

=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.

由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，

由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.

变式训练4：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,

则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.

f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.

∴f（x2）＞f(x1).

即f(x)是R上的增函数.

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，

∴f（2）=3，

页眉内容

∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),

∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,

解得-1＜m＜

3

4

,故解集为（-1,

3

4

）.

1．证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1)定义法.其过程是：作差——变形

——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2)求导法.

其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.

2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察

图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.

3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类

是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出

参数的取值范围.

第5课时函数的奇偶性

1．奇偶性：

①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有，则称f(x)为奇函数；

若，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具

有.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x).

②简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函

数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.

2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现)()(xfaxf、或mxfaxf)()(（

a

、

m

均为非零常

数，0a），都可以得出)(xf的周期为；

②)(xfy的图象关于点)0,(),0,(ba中心对称或)(xfy的图象关于直线

bxax,轴对称，均可以得到)(xf周期

例1.判断下列函数的奇偶性.

（1）f(x)=2211xx;

(2)f(x)=log2(x+12x)(x∈R);

基础过关

典型例题

小结归纳

页眉内容

(3)f(x)=lg|x-2|.

解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.

∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),

故f(x)既是奇函数又是偶函数.

（2）方法一易知f(x)的定义域为R，

又∵f(-x)=log2［-x+1)(2x］=log2

1

1

2xx

=-log2(x+12x)=-f(x),

∴f(x)是奇函数.

方法二易知f(x)的定义域为R，

又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+1)(2x］+log2(x+12x)=log21=0,即f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数.

（3）由|x-2|＞0，得x≠2.

∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.

方法小结：1、复合函数)(xgfy的奇偶性

若函数)(),(),(xgfxgxf的定义域都是关于原点对称的,那么由

)(),(ufyxgu的奇偶性得到)(xgfy的奇偶性的规律是:

函数奇偶性

奇函数奇函数偶函数偶函数

奇函数偶函数奇函数偶函数

奇函数偶函数偶函数偶函数

即当且仅当)(xgu和)(ufy都是奇函数时,复合函数)(xgfy是奇函数.

2、利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○

2确定f(－x)与f(x)的关系；

○

3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则

f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)

是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条

件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非

奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0

或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判

定.

变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：

（1）f（x）=（x-2）

x

x





2

2

；

页眉内容

（2）f（x）=

2|2|

)1lg(

2

2





x

x

；

（3）f（x）=

















.1(2

),1|(|0

),1(2

）xx

x

xx

解：（1）由

x

x





2

2

≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.

（2）由











.02|2|

01

2

2

x

x，

得定义域为（-1，0）∪（0，1）.

这时f（x）=

2

2

2

2)1lg(

2)2(

)1lg(

x

x

x

x







.

∵f（-x）=-



),(

)1lg(

)(

)(1lg

2

2

2

2

xf

x

x

x

x











∴f（x）为偶函数.

（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.

x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).

-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.

∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.

例2已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1）求证：f(x)是奇函数；

（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-

2

1

,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

（1）证明：∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.

∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数.

（2）解：方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,

∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，

∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.

∵f(1)=-

2

1

,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.

则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.

∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-

2

1

，

∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.

页眉内容

∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），

即f（x）=-xlg(2+x)（x＞0）.∴f(x)=











).0()2lg(

),0()2lg(

xxx

xxx

即f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R).

例3已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).

（1）求证：f(x)是周期函数；

（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=

2

1

x,求使f(x)=-

2

1

在［0，2009］上的所有x的

个数.

（1）证明：∵f（x+2）=-f（x），

∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x），

∴f（x）是以4为周期的周期函数.

（2）解：当0≤x≤1时，f(x)=

2

1

x,

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=

2

1

（-x）=-

2

1

x.

∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,

∴-f（x）=-

2

1

x，即f(x)=

2

1

x.

故f(x)=

2

1

x(-1≤x≤1)

又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,

∴f(x-2)=

2

1

(x-2),

又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），

∴-f（x）=

2

1

（x-2），

∴f（x）=-

2

1

（x-2）（1＜x＜3）.

∴f（x）=



















)31()2(

2

1

)11(

2

1

xx

xx

由f(x)=-

2

1

,解得x=-1.

∵f（x）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-

2

1

的所有x=4n-1(n∈Z).

页眉内容

令0≤4n-1≤2009,则

4

1

≤n≤

2

0051

,

又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z）,

∴在［0，2009］上共有502个x使f(x)=-

2

1

.

变式训练3：已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.

（1）试判断f(x)的奇偶性；

（2）若-

2

1

≤a≤

2

1

，求f(x)的最小值.

解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),

此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x)为非奇非偶函数.

（2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-

2

1

)2+a+

4

3

,

∵a≤

2

1

,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，

从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.

当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+

2

1

)2-a+

4

3

,

∵a≥-

2

1

，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的

最小值为f(a)=a2+1.

综上得，当-

2

1

≤a≤

2

1

时，函数f(x)的最小值为a2+1.

1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质.判

断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断

（或证明）函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到

一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.

2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对

称性得到整个定义域上的性质.

3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.

第6课时指数函数

1．根式：

(1)定义：若

ax

n



，则x称为a的n次方根

①当n为奇数时，

na的

次方根记作__________；

基础过关

小结归纳

页眉内容

②当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个

n

次方根且互为相反数，记作

________(a>0).

(2)性质：

①

aa

n

n)(

；

②当n为奇数时，

aa

n

n



；

③当n为偶数时，



n

n

a

_______＝











)0(

)0(

aa

aa

2．指数：

(1)规定：

①a0＝(a≠0)；

②a-p＝；

③(0,

m

n

m

naaam.

(2)运算性质：

①

aaaa

srsr

,0(

(a>0,r、sQ)

②

aaa

srsr

,0()(

(a>0,r、sQ)

③

rbababa

rrr

,0,0()((a>0,r、sQ)

注：上述性质对r、sR均适用.

3．指数函数：

①定义：函数称为指数函数，1)函数的定义域为；2)函数的值

域为；3)当________时函数为减函数，当_______时为增函数.

②函数图像：

1)过点，图象在；2)指数函数以为渐近线(当

10a

时，图

象向无限接近x轴，当

1a

时，图象向无限接近x轴)；3)函数

xx

ayay



与

的图

象关于对称.

③函数值的变化特征：

①

时0x

②

时0x

③

时0x

①

时0x

②

时0x

③

时0x

典型例题

页眉内容

例1.已知a=

9

1

,b=9.求：（1）;3

15

3

8

3

3

2

7

aaaa（2）

1

11

)(



ab

ba

.

解：（1）原式=3

1

2

7

a.3

1

2

3

a÷［a2

1

)

3

8

(·2

1

3

15

a］=2

1

6

7

a)

2

5

3

4

(=a2

1

.

∵a=

9

1

，∴原式=3.

（2）方法一化去负指数后解.

.

11

11

)(1

11

ba

ab

ab

ba

ab

ba

ab

ba















∵a=,9,

9

1

b∴a+b=.

9

82

方法二利用运算性质解.

∵a=,9,

9

1

b∴a+b=.

9

82

变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;

)(

6

5

3

1

2

1

2

1

1

3

2

ba

baba







（2）

.)4()3(

6

5

2

1

3

3

2

1

2

1

2

3

1





bababa

解：（1）原式=

.100

6

5

3

1

2

1

6

1

2

1

3

1

6

5

6

1

3

1

2

1

2

1

3

1







baba

ba

baba

（2）原式=-.

4

51

4

5

4

5

)(

4

5

)·2(

2

5

2

3

2

3

2

1

2

3

3

1

3

6

1

2

3

3

1

3

6

1

ab

ab

ab

bababababa











例2.函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是（）

A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)

C.f(bx)＞f(cx)D.大小关系随x的不同而不同

解：A

变式训练2：已知实数a、b满足等式ba)

3

1

()

2

1

(，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0

＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：B

例3.求下列函数的定义域、值域及其单调区间：

（1）f(x)=3

452xx

;（2）g(x)=-(5)

2

1

(4)

4

1

xx.

解：（1）依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,

∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.

令u=,

4

9

)

2

5

(4522xxx∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），

页眉内容

∴u≥0，即452xx≥0，而f(x)=3

452xx

≥30=1,

∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.

∵u=

4

9

)

2

5

(2x,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，

当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，

f（x）=3

452xx

在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.

故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.

（2）由g(x)=-(,5)

2

1

(4)

2

1

(5)

2

1

(4)

4

1

2xxxx

∴函数的定义域为R，令t=()

2

1x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,

∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,

即g(x)≤9,等号成立的条件是(x)

2

1

=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.

由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(x)

2

1

是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减

区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.

∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，

由0＜t=(x)

2

1

≤2,可得x≥-1,由t=(x)

2

1

≥2,可得x≤-1.

∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，

故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.

变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(226)

2

1

xx;(2)y=262xx.

解：（1）函数的定义域为R.

令u=6+x-2x2,则y=(u)

2

1

.

∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=

4

1

,

在区间［

4

1

，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数，

又函数y=()

2

1u是减函数，

∴函数y=(226)

2

1

xx在［

4

1

，+∞）上是增函数.

故y=(226)

2

1

xx单调递增区间为［

4

1

，+∞）.

（2）令u=x2-x-6,则y=2u,

∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=

2

1

,

页眉内容

在区间［

2

1

，+∞）上u=x2-x-6是增函数.

又函数y=2u为增函数，

∴函数y=262xx在区间［

2

1

，+∞）上是增函数.

故函数y=262xx的单调递增区间是［

2

1

，+∞）.

例4．设a＞0,f(x)=

x

xa

ae

e

是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

（1）解：∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴,

e

e

e

e

x

x

x

xa

a

a

a







∴（a-)

e

1

e)(

1

x

x

a

=0对一切x均成立，

∴a-

a

1

=0，而a＞0,∴a=1.

（2）证明在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,

则f(x1)-f(x2)=1ex+

1e

1

x

-2ex-

2e

1

x

=)ee(12

xx().1

e

1

21



xx

∵x1＜x2,∴,ee21

xx有.0ee12xx

∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴21exx＞1,

21e

1

xx

-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),

故f(x)在（0,+∞）上是增函数.

变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=

14

2

x

x.

（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；

（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.

（1）解：当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).

∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-.

14

2

14

2









x

x

x

x

由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),

得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=

































1,0,10

)0,1(

14

2

)1,0(

14

2

x

x

x

x

x

x

x

页眉内容

(2)证明当x∈(0,1)时，f(x)=.

14

2

x

x

设0＜x1＜x2＜1,

则f(x1)-f(x2)=,

)14)(14(

)12)(22(

14

2

14

2

21

2112

2

2

1

1















xx

xxxx

x

x

x

x

∵0＜x1＜x2＜1,∴1222xx＞0，221

xx-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),

故f(x)在（0，1）上单调递减.

1．bN

＝a，ab＝N，log

a

N＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，

因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，

根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.

2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.

3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”

大于1或小于1分类.

4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的

函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透

或综合.

第7课时对数函数

1．对数：

(1)定义：如果

Na

b



)1,0(aa且

，那么称为，记作，其中

a

称为对数的底，N称为真数.

①以10为底的对数称为常用对数，

N

10

log

记作___________．

②以无理数

)71828.2(ee

为底的对数称为自然对数，

N

e

log

记作_________．

(2)基本性质：

①真数N为(负数和零无对数)；②

01log

a

；③

1loga

a

；

④对数恒等式：

Na

N

a

log．

(3)运算性质：

①loga(MN)＝___________________________；

②loga

N

M

＝____________________________；

③logaMn＝(n∈R).

基础过关

小结归纳

页眉内容

④换底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)

⑤

log

m

n

a

a

n

bb

m



.

2．对数函数：

①定义：函数称为对数函数，1)函数的定义域为(；2)函数

的值域为；3)当______时，函数为减函数，当______时为增函数；

4)函数

xy

a

log

与函数

)1,0(aaay

x

且

互为反函数.

②1)图象经过点()，图象在；2)对数函数以为渐近线(当

10a

时，图象向上无限接近y轴；当

1a

时，图象向下无限接近y轴)；

4)函数y＝logax与的图象关于x轴对称．

③函数值的变化特征：

①

时1x

②

时1x

③

时10x

①

时1x

②

时1x

③

时10x

例1计算：（1）)32(log

32





（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg)2(lg2;

（3）

2

1

lg

49

32

-

3

4

lg8+lg245.

解：（1）方法一利用对数定义求值

设)32(log

32





=x,则(2+3)x=2-3=

32

1



=（2+3）-1,∴x=-1.

方法二利用对数的运算性质求解

)32(log

32





=

32

log

32

1



=

32

log



(2+3)-1=-1.

（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+12lg2)2(lg2=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|

=lg2+(1-lg2)=1.

（3）原式=

2

1

（lg32-lg49）-

3

4

lg82

1+

2

1

lg245

=

2

1

(5lg2-2lg7)-

3

4

×2lg

2

3

+

2

1

(2lg7+lg5)

=

2

5

lg2-lg7-2lg2+lg7+

2

1

lg5=

2

1

lg2+

2

1

lg5

=

2

1

lg(2×5)=

2

1

lg10=

2

1

.

典型例题

页眉内容

变式训练1：化简求值.

（1）log2

48

7

+log212-

2

1

log242-1;

（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;

（3）(log32+log92)·(log43+log83).

解：(1)原式=log2

48

7

+log212-log242

-log22=log2.

2

3

2log

22

1

log

24248

127

2

3

22







（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.

（3）原式=(.

4

5

2lg6

3lg5

·

3lg2

2lg3

)

2lg3

3lg

2lg2

3lg

(·)

3lg2

2lg

3lg

2lg



例2比较下列各组数的大小.

（1）log3

3

2

与log5

5

6

;（2）;

（3）已知log

2

1

b＜log

2

1

a＜log

2

1

c,比较2b,2a,2c的大小关系.

解：（1）∵log3

3

2

＜log31=0,而log5

5

6

＞log51=0,∴log3

3

2

＜log5

5

6

.

(2)方法一∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞

2.1log1.1log

7.00.7

,

∴

2.1log

1

1.1log

1

7.07.0

,

即由换底公式可得

方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.

如图所示两图象与x=0.7相交可知

(3)∵y=x

2

1

log为减函数，且cab

2

1

2

1

2

1

logloglog,

∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.

变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga

b

b

bba

1

log,log,

1

的大小关系是（）

b

b

bba

1

loglog

1



B.

bb

b

baa

1

log

1

loglog

C.

bb

b

aba

1

log

1

loglogD.b

bbaab

log

1

log

1

log

解：C

例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，

试求a的取值范围.

解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.

所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，

∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.

页眉内容

只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.

当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,

∴|f(x)|=-f(x).

∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，

∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.

∴对于任意x∈［3，+∞）都有

|f(x)|=-f(x)≥-loga3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，

只要-loga3≥1成立即可，

∴loga3≤-1=loga

a

1

,即

a

1

≤3,∴

3

1

≤a＜1.

综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［

3

1

，1）.

变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a

的取值范围.

解：令g(x)=x2-ax-a,

则g(x)=（x-

2

a

）2-a-

4

2a

,由以上知g(x）的图象关于直线x=

2

a

对称且此抛物线开口向上.

因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,

在区间（-∞,1-3］上是减函数，

所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.

∴





























0)31()31(

322

0)31(

2

31

2aa

a

g

a

，即

解得2-23≤a＜2.

故a的取值范围是{a|2-23≤a＜2}.

例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与

函数y=log2x的图象交于C、D两点.

（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

（1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,

由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.

因为A、B在过点O的直线上，所以

2

28

1

18

loglog

x

x

x

x



页眉内容

点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),

由于log2x1=

2log

log

8

18

x

=3log8x1,log2x2=3log8x2,

OC的斜率为k1=

1

18

1

12

log3log

x

x

x

x

,

OD的斜率为,

log3

log

2

28

2

22

2x

x

x

x

k由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.

（2）解：由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=

3

1

log2x2,x2=x3

1,

代入x2log8x1=x1log8x2，得x3

1log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x3

1=3x1,

又因x1＞1,解得x1=3,于是点A的坐标为（3，log8

3).

变式训练4：已知函数f(x)=log2

1

1





x

x

+log2(x-1)+log2(p-x).

（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.

解：（1）f(x)有意义时，有





























,③0

,②01

,①0

1

1

xp

x

x

x

由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).

（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］

=log2［-（x-

2

1p

）2+

4

)1(2p

］(1＜x＜p),

①当1＜

2

1p

＜p，即p＞3时，

0＜-(x-

4

)1(

4

)1(

)

2

122

2









ppp

,

∴log2



















4

)1(

)

2

1

(

2

2

pp

x

≤2log2(p+1)-2.

②当

2

1p

≤1，即1＜p≤3时，

∵0＜-(x-),1(2

4

)1(

)

2

12

2







p

pp

∴log2



















4

)1(

)

2

1

(

2

2

pp

x

＜1+log2(p-1).

综合①②可知：

当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;

当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).

1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.

小结归纳

页眉内容

2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用

自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.

3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以

“底”大于1或小于1分类.

4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次

函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注

意知识的相互渗透或综合.

第8课时函数的图象

一、基本函数图象特征（作出草图）

1．一次函数为；

2．二次函数为；

3．反比例函数为；

4．指数函数为，对数函数为.

二、函数图象变换

1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a)(a>0)

y＝f(x)→y＝f(x＋a)(a>0)

②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b(b>0)

y＝f(x)→y＝f(x)－b(b>0)

2．对称变换：

①y＝f(－x)与y＝f(x)关于对称

②y＝－f(x)与y＝f(x)关于对称

③y＝－f(－x)与y＝f(x)关于对称

④y＝f-1(x)与y＝f(x)关于对称

⑤y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的

⑥y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的

3．伸缩变换：

①y＝Af(x)(A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的.

②y＝f(ax)(a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的.

4．若对于定义域内的任意x，若f(a－x)＝f(a＋x)(或f(x)＝f(2a－x))，则f(x)关于对

称，若f(a－x)＋f(a＋x)＝2b(或f(x)＋f(2a－x)＝2b)，则f(x)关于对称.

例1作出下列函数的图象.

基础过关

典型例题

页眉内容

（1）y=

2

1

(lgx+|lgx|);（2）y=

1

12





x

x

;（3）y=)

2

1

(|x|.

解：（1）y=











).1(lg

).10(0

xx

x

（2）由y=

1

12





x

x

,得y=

1

1

x

+2.作出y=

x

1

的图象，将y=

x

1

的图象向右平移一个单位，再

向上平移2个单位得y=

1

1

x

+2的图象.

（3）作出y=（

2

1

）x的图象，保留y=（

2

1

）x图象中x≥0的部分，加上y=（

2

1

）x的图象中

x＞0的部分关于y轴的对称部分，即得y=（

2

1

）|x|的图象.其图象依次如下：

变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2x；（2）y=|log

2

1

（1-x）|；

（3）y=

1

12





x

x

.

解：（1）由函数y=2x的图象关于x轴对称可得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，

可得y=2-2x的图象.如图甲.

（2）由y=log

2

1

x的图象关于y轴对称，可得y=log

2

1

（-x）的图象，再将图象向右平移1

个单位，即得到y=log

2

1

(1-x).然后把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y=|log

2

1

（1-x）

|的图象.如图乙.

（3）y=

1

3

2

1

12









xx

x

.

先作出y=-

x

3

的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1个单位，向上平移2个

单位，即得到所求图象.如图丙所示的实线部分.

例2函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是（）

解：A

变式训练2：设a＞1,实数x,y满足|x|-logay

1

=0,则y关于x的函数的图象形状大致是()

解：B

例3设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).

（1）证明：f(x)是偶函数；

（2）画出函数的图象；

（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

（4）求函数的值域.

（1）证明f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),

页眉内容

即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.

（2）解：当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,

当x＜0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,

即f(x)=,

)03(2)1(

)30(2)1(

2

2











xx

xx

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.

（3）解：函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］.

f（x）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.（4）解：

当x≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;

当x＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2;

故函数f(x)的值域为［-2，2］.

变式训练3：当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜logax恒成立,则a的取值范围为.

解：(1,2］

1．作函数图象的基本方法是：

①讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；

②考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；

③准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).

2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.

3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.

第9课时幂函数

1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是

常数；

注意：幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点；

（2）当0时，幂函数在[0,)上；当0时，幂函数在(0,)上；

（3）当2,2时，幂函数是；当

1

1,1,3,

3

时，幂函数是．

3．幂函数的性质：

（1）都过点；

（2）任何幂函数都不过象限；

（3）当0时，幂函数的图象过．

基础过关

小结归纳

页眉内容

4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按

幂指数由小到大的关系幂函数的图象从到分布；

（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、

第二象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限

关于对称．

例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

（1）3yx（2）

1

2yx（3）2yx

（4）22yxx（5）

11

22yxx（6）

11

24()3()fxxx

解：（1）此函数的定义域为R，

∴此函数为奇函数．

（2）

1

2yxx

∴此函数的定义域为[0,)

Q此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数．

（3）2

2

1

yx

x



∴此函数的定义域为(,0)(0,)

∴此函数为偶函数

（4）222

2

1

yxxx

x



∴此函数的定义域为(,0)(0,)

22

22

11

()()()

()

fxxxfx

xx





Q∴此函数为偶函数

（5）

11

22

1

yxxx

x



∴此函数的定义域为[0,)

Q此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数

（6）

11

4

24()3()3fxxxxx

典型例题

页眉内容

∴此函数的定义域为{0}

∴此函数既是奇函数又是偶函数

变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：

（1）5yx（2）

4

3yx（3）

5

4yx（4）

3

5yx（5）

1

2yx

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式．

解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．

（2）定义域(,0)(0,)，值域(0,)，偶函数，在(,0)上单调递增，

在(0,)上单调递减．

（3）定义域[0,)，值域[0,)，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)上单调递增．

（4）定义域(,0)(0,)，值域(,0)(0,)，奇函数，在(,0)上单调递减，

在(0,)上单调递减．

（5）定义域(0,)，值域(0,)，非奇非偶函数，在(0,)上单调递减．

例2比较大小：

（1）

11

221.5,1.7（2）33(1.2),(1.25)

（3）1125.25,5.26,5.26

（4）30.5

3

0.5,3,log0.5

解：（1）∵

1

2yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴

11

221.51.7

（2）∵3yx在R上是增函数，

1.21.25，∴33(1.2)(1.25)

（3）∵1yx在(0,)上是减函数，

5.255.26，∴115.255.26；

∵

5.26xy是增函数，12，

∴125.265.26；

综上，1125.255.265.26

页眉内容

（4）∵300.51，0.531，

3

log0.50，

∴30.5

3

log0.50.53

变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：

（1）

222

3332.5,(1.4),(3)

（2）

3

33

8

420.16,0.5,6.25

（3）

1112

1

3333

2

2253

(),(),(),3,()

3532



解：（1）

222

333(1.4)2.5(3)

（2）

3

33

8

246.250.50.16,

（3）

1121

1

3333

2

2523

()()()()3

5332



例3已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，

求

m

的值．

分析：幂函数图象与

x

轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函

数为奇函数．结合mZ，便可逐步确定

m

的值．

解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与

x

轴、y轴都无交点，

∴2230mm，∴13m；

∵mZ，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，

∴223mm是奇数，∴0m或2m．

变式训练3：证明幂函数

1

2()fxx在[0,)上是增函数．

分析：直接根据函数单调性的定义来证明．

证明：设

12

0xx，

则

11

22

1212

()()fxfxxx12

12

12

xx

xx

xx







12

()()0fxfx即

12

()()fxfx

页眉内容

此函数在[0,)上是增函数

1．注意幂函数与指数函数的区别．

2.幂函数的性质要熟练掌握

第10课时函数与方程

1．一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数

这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二

次函数的图象与

x

轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也

是对应的一元二次函数的图象与

x

轴的交点的横坐标．

2．函数与方程

两个函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标就是方程()()fxgx的解；反之，要求

方程()()fxgx的解，也只要求函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标．

3．二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)mn，则必有()()0fmfn，

再取区间的中点

2

mn

p



，再判断()()fpfm的正负号，若()()0fpfm，则根在区

间(,)mp中；若()()0fpfm，则根在(,)pn中；若()0fp，则p即为方程的根．按

照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即

可得一个近似值．

例1.（1）若

x

x

xf

1

)(





，则方程

xxf)4(

的根是()

A．

2

1

B．－

2

1

C．2D．－2

解：A．

（2）设函数

()fx

对

xR

都满足

(3)(3)fxfx

,且方程

()0fx

恰有6个不同的实数

根，则这6个实根的和为（）

A．0B．9C．12D．18

解：由

(3)(3)fxfx

知

()fx

的图象有对称轴

3x

，方程

()0fx

的6个根在

x

轴上

对应的点关于直线

3x

对称，依次设为

123123

3,3,3,3,3,3tttttt

，故6个根的

和为18，答案为D．

典型例题

基础过关

小结归纳

页眉内容

（3）已知

1

5

5





a

cb

，（

a

、b、

c

∈R），则有（）

A．acb42B．acb42C．acb42D．acb42

解法一：：依题设有550abc

∴5是实系数一元二次方程02cbxax的一个实根；

∴△＝acb42≥0∴acb42，答案为B．

解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510baacc

10ac＋25ac＝20

ac

．

∴acb42，答案为B．

（4）关于

x

的方程22(28)160xmxm的两个实根

1

x、

2

x满足

12

3

2

xx，则

实数m的取值范围

解：设22()(28)16fxxmxm

，则2

39

()3(4)160

216

fmm

，

即：241270mm，解得：

17

22

m

．

（5）若对于任意[1,1]a，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零,则

x

的取值

范围是

解：设2()(2)44gaxaxx，显然，2x

则

2

2

(1)2440

(1)2440

gxxx

gxxx















，即

32

21

xx

xx











或

或

，解得：

x>3或x<1

．

变式训练1：当01x时，函数1yaxa的值有正值也有负值，则实数

a

的取值范围

是（）

A．

1

2

aB．1aC．

1

1

2

aa或D．

1

1

2

a

解：D

例2.设

123

,,xxx

依次是方程1

2

log2xx

,

2

log(2)xx

，

22xx的实数根，试比较

123

,,xxx

的大小．

解：在同一坐标内作出函数

2yx

，1

2

logyx

，

2xy

的图象

从图中可以看出，

31

0xx

又

2

0x

，故

231

xxx

变式训练2：已知函数

()()yfxxR

满足

(3)(1)fxfx

，且

x

∈[－1,1]时，

()||fxx

，则

()yfx

与

5

logyx

的图象交点的个数是()

A．3B．4C．5D．6

解：由

(3)(1)fxfx

知

(2)()fxfx

故

()fx

是周期为2的函数，在同一坐标系中作出

()yfx

与

页眉内容

5

logyx

的图象，可以看出，交点个数为4．

例3.已知二次函数2()(,fxaxbxab为常数，且0)a满足条件：(1)(3)fxfx，

且方程()2fxx有等根.

（1）求()fx的解析式；

（2）是否存在实数

m

、

n()mn，使()fx定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，

如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.

解：（1）∵方程22axbxx有等根，∴2(2)0b

，得b=2．

由

(1)(3)fxfx

知此函数图象的对称轴方程为

1

2

b

x

a



，得1a，

故2()2fxxx

．

（2）2()(1)11fxx

，∴4n



1，即

1

4

n

而抛物线22yxx

的对称轴为1x∴

1

4

n

时，

()fx

在［m，n］上为增函数.

若满足题设条件的m，n存在，则











nnf

mmf

4)(

4)(

，

又

1

4

mn

，∴

2,0mn

，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.

由以上知满足条件的m、n存在，2,0mn．

变式训练3：已知函数

11

()fx

ax



(

(0,0)ax

.

（1）求证：

()fx

在(0,+∞)上是增函数；

（2）若

()2fxx

在(0,+∞)上恒成立，求

a

的取值范围；

（3）若

()fx

在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求

a

的取值范围.

解：（1）证明任取

12

0xx

∵

12

0xx

，∴

12

0xx

，

12

0xx

，

∴

12

()()0fxfx

，即

12

()()fxfx

，故

()fx

在(0,+∞)上是增函数.

（2）解：∵

11

2x

ax

在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,

∴

1

1

2

a

x

x





在（0，+∞）上恒成立，

令4

2

1

22

1

1

2

1

)(









x

x

x

x

xg

，当且仅当

1

2(0)xx

x



即x=

2

2

时取等号

要使

1

1

2

a

x

x





在(0,+∞)上恒成立，则

2

4

a

页眉内容

故

a

的取值范围是［

4

2

,+∞)．

（3）解：由（1）()fx在定义域上是增函数.

∴(),()mfmnfn，即2

1

10mm

a

，2

1

10nn

a



故方程2

1

10xx

a

有两个不相等的正根m，n，注意到1mn，

1

0mn

a



故只需要(2

1

()40

a

,由于0a，则

1

0

2

a．

例4．若函数|1|()2xfxm的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（）

A．01mB．01mC．10mm或D．10mm或

解：令()0fx，得：|1|

1

()

2

xm，∵|1|0x，∴|1|

1

0()1

2

x，即01m．

变式训练4：对于函数

()fx

，若存在

0

x

∈R,使

00

()fxx＝

成立，则称

0

x

为

()fx

的不动点.

已知函数2()(1)1(0)fxaxbxba

（1）当

1,2ab

时，求

()fx

的不动点；

（2）若对任意实数b，函数

()fx

恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

解：（1）当

1,2ab

时，2()3fxxx

由题意可知23xxx，得

12

1,3xx

故当当

1,2ab

时，

()fx

的不动点

1,3

．

（2）∵2()(1)1(0)fxaxbxba

恒有两个不动点，

∴2(1)1xaxbxb

，

即210axbxb恒有两相异实根

∴2440()bababR

恒成立.

于是2(4)160aa





解得

故当b∈R，

()fx

恒有两个相异的不动点时，

01a

.

本节主要注意以下几个问题：

1．利用函数的图象求方程的解的个数；

2．一元二次方程的根的分布；

小结归纳

页眉内容

3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题

第11课时函数模型及其应用

1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题

中的变量；

2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都

是函数的解析式；

3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识

求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示是：

例1.如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截

取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.

解：设四边形EFGH的面积为S，

则S△AEH=S△CFG=

2

1

x2,

S△BEF=S△DGH=

2

1

（a-x）（b-x），

∴S=ab-2［x

2

12+

2

1

（a-x）（b-x）］

=-2x2+（a+b）x=-2（x-)

4

ba2+,

8

)(2ba

由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.

又0＜b＜a,∴0＜b＜

2

ba

,若

4

ba

≤b,即a≤3b时，

则当x=

4

ba

时，S有最大值

8

)(2ba

;

若

4

ba

＞b,即a＞3b时，

S（x）在（0,b］上是增函数，

此时当x=b时，S有最大值为

-2(b-

4

ba

)2+

8

)(2ba

=ab-b2,

综上可知，当a≤3b时，x=

4

ba

时，

四边形面积Smax=

8

)(2ba

,

典型例题

基础过关

实际问题

函数模型

抽象概括

实际问题的函数模型的

还原说

运用函数的性质

页眉内容

当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.

变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，

现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售

量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大

值.

解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，

进货总额为8（100-10x）元，

显然100-10x＞0,即x＜10,

则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10).

当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.

例2.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度

v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴

的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.

（1）当t=4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这

场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将

侵袭到N城？如果不会，请说明理由.

解：（1）由图象可知：

当t=4时，v=3×4=12,

∴s=

2

1

×4×12=24.

（2）当0≤t≤10时，s=

2

1

·t·3t=

2

3

t2，

当10＜t≤20时，s=

2

1

×10×30+30（t-10）=30t-150；

当20＜t≤35时，s=

2

1

×10×30+10×30+(t-20)×30-

2

1

×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.

综上可知s=































.35,20,55070

,20,10,15030

,10,0,

2

3

2

2

ttt

tt

tt

(3)∵t∈［0，10］时，smax=

2

3

×102=150＜650.

t∈（10，20］时，smax=30×20-150=450＜650.

∴当t∈（20，35］时，令-t2+70t-550=650.

解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,

页眉内容

∴t=30，所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.

变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，

需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收

入函数为R（x）=5x-

2

2x

（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）.

（1）把利润表示为年产量的函数；

（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？

（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？

解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台；

当x＞5时，只能售出5百台，

故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）

=



































).5(25.012

),50(5.0

2

75.4

)5()25.05.0()

2

5

55(

)50()25.05.0()

2

5(2

2

2

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

(2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x-

2

2x

-0.5，

当x=4.75时，L(x)max=10.78125万元.

当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，

此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.

（3）由

























.025.012

5

,05.0

2

75.4

,50

2x

，x

x

x

x

或

得x≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x＜48(百台).

∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本.

例3.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用

水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户

该月用水量分别为5x，3x吨.

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，

y=（5x+3x）×1.8=14.4x;

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，

即3x≤4且5x＞4,

y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.

当乙的用水量超过4吨时，

页眉内容

即3x＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，

所以y=

























)

3

4

(6.924

).

3

4

5

4

(8.44.20

)

5

4

0(4.14

xx

xx

xx

(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，

当x∈［0，

5

4

］时,y≤f（

5

4

）＜26.4;

当x∈（

5

4

，

3

4

］时，y≤f（

3

4

）＜26.4;

当x∈（

3

4

,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,

所以甲户用水量为5x=7.5吨，

付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);

乙户用水量为3x=4.5吨，

付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).

变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世

界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.

（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？

（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口

在2008年底至多有多少亿？

以下数据供计算时使用：

数N

1.0101.0151.0171.3102.000

对数lgN

0.00430.00650.00730.11730.3010

数N

3.0005.00012.4813.1113.78

对数lgN

0.47710.69901.09621.11761.1392

解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，

则y·(1+x)n=60，则当n=40时，y=30，

即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，

两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，

则lg（1+x）=

40

2lg

=0.007525，

∴1+x≈1.017，得x=1.7%.

（2）依题意，y≤12.48（1+1%）10，

得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.1392,

∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.

页眉内容

答每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.

解决函数应用问题应着重注意以下几点：

1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，

数据的单位等等；

2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数

模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；

3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)

值等，注意发挥函数图象的作用.

4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于

解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.

函数单元测试题

一、选择题

1.函数y=)23(log

2

1

x的定义域是（）

A.［1，+∞）B.（

3

2

,+∞）C.［

3

2

，1］D.（

3

2

,1］

2.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题：（）

①当b≥0时，函数y=f(x)是单调函数

②当b=0,c＞0时，方程f(x)=0只有一个实根

③函数y=f(x)的图象关于点（0，c）对称

④方程f(x)=0至多有3个实根，其中正确命题的个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x2

1

(x∈(0,+∞))B.y=3x(x∈R)C.y=x3

1

(x∈R)D.y=lg|x|(x≠0)

4.已知偶函数f(x)满足条件：当x∈R时，恒有f(x+2)=f(x),且0≤x≤1时，有)(xf＞0,则f（)

19

98

,

f（)

17

101

,f（)

15

106

的大小关系是（）

A.f（)

19

98

＞f（)

15

106

＞f（)

17

101

B.f（)

15

106

＞f（)

19

98

＞f（)

17

101

C.f（)

17

101

＞f（)

19

98

＞f（)

15

106

D.f（)

15

106

＞f（)

17

101

＞f（)

19

98

,

5.如图为函数y=m+log

n

x的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（）

A.m＜0,n＞1B.m＞0,n＞1

C.m＞0,0＜n＜1D.m＜0,0＜n＜1

小结归纳

页眉内容

6.已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2x-1，则f(log

2

12)的值为（）

A.

3

1

B.

3

4

C.2D.11

7.已知函数y=31xx的最大值为M，最小值为m，则

M

m

的值为（）

A.

4

1

B.

2

1

C.

2

2

D.

2

3

8.若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是（）

A.a＜-1B.a＞1C.-1＜a＜1D.0≤a＜1

9.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个

数的最小值是（）

A.5B.4C.3D.2

10.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调

查结果如下表：

表1市场供给表

表2市场需求表

根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（）

A.（2.3，2.4）内B.（2.4，2.6）内C.（2.6，2.8）内D.（2.8，2.9）内

11.已知函数f(x)=log

a

(12x+bx)(a＞0且a≠1)，则下列叙述正确的是（）

A.若a=

2

1

,b=-1,则函数f(x)为R上的增函数

B.若a=

2

1

,b=-1,则函数f（x)为R上的减函数

C.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，则b=±1

D.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则b=1

12.设函数f（x）=















,)0(

)0(7)

2

1

(

xx

xx若f(a)＜1,则实数a的取值范围是（）

A.（-∞,-3）B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)(1,+∞)

二、填空题

单价（元/kg）

22.42.83.23.64

供给量

（1000kg）

5

单价（元/kg）

43.42.92.62.32

供给量

（1000kg）

5

页眉内容

13.（2009·广西河池模拟）已知函数f(x)=log

2

(x2+1)(x≤0)，则）2（1f=.

14.已知函数f(x)=















)4()1(

)4()

2

1

(

xxf

xx则f(log

2

3)的值为.

15.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2，3］内的实根，取区间中点x

0

=2.5,那么下一个有实

根的区间是.

16.对于函数f(x)定义域中任意的x

1

,x

2

(x

1

≠x

2

),

有如下结论：

①f(x

1

+x

2

)=f(x

1

)f(x

2

);

②f(x

1

·x

2

)=f(x

1

)+f(x

2

);

③

21

21

)()(

xx

xfxf





＞0;

④f(

2

21

xx

)＜

2

)()(

21

xfxf

当f(x)=2x时，上述结论中正确结论的序号是.

三、解答题

17．设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时，

f(x)=x3.

（1）证明：f(x)是奇函数；

（2）当x∈［3，7］时，求函数f(x)的解析式.

18.等腰梯形ABCD的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P由B点沿折线BCDA

向A运动，设P点所经过的路程为x，三角形ABP的面积为S

（1）求函数S=f(x)的解析式；

（2）试确定点P的位置，使△ABP的面积S最大.

19.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，

当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部

分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农

业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元(a＞0).

（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农

民的年总收入，试求x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的

人均年收入达到最大.

20.设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=

x

ax

21

1

lg





是奇函数.

（1）求b的取值范围；

（2）讨论函数f(x)的单调性.

页眉内容

21.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

(2)设有且仅有一个实数x

0

,使得f(x

0

)=x

0

,求函数f(x)解析表达式.

22.（2008·南京模拟）已知函数y=f(x)是定义在区间［-

2

3

，

2

3

］上的偶函数，且

x∈［0，

2

3

］时，f（x）=-x2-x+5.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f(x)的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD

面积的最大值.