克罗内克积
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2023年3月17日发(作者：miss的过去式)向量交换矩阵一种新的定义及应用
张华民;殷红彩
【摘要】ByusingtheKroneckerproductoftheidentitymatrixandthe
fundamentalvector,anewdefinitionofvec-permutationmatrixis
presented,nthenew
definition,
proofoftheequivalencebetweenthenewdefinitionandtheoriginalone
,anewresultonthesingularvaluesofKronekerproducts
ofseveralmatricesisestablished.%利用单位矩阵和基本向量给出了向量交
换矩阵的一种较以往表述简单的新的定义。基于新的定义证明了向量交换矩阵的性
质。给出了新定义与原有定义的等价性的证明。最后给出了矩阵克罗内克积奇异值
的一个新的结论。
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2013(000)003
【总页数】9页(P246-254)
【关键词】克罗内克积;向量交换矩阵;向量化算子;奇异值
【作者】张华民;殷红彩
【作者单位】蚌埠学院数理系，安徽蚌埠233030;江南大学控制科学与工程研究
中心，江苏无锡214122;安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠233000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
克罗内克积(Kroneckerproduct)是用数学家LeopoldKronecker(1823-1891)的
名子命名的一个概念.事实上它应该被称为Zehfussproduct,因为是Johann
GeorgZehfuss在1858年发表的一篇论文中给出了关于n阶方阵的公式[12]:
克罗内克积被广泛应用在系统理论[36],矩阵微分计算[79],线性矩阵方程[1015],系
统辨识[16-19],及其它领域[20-25].
本文在总结已有表述的基础上,提出了在克罗内克积的应用中起重要作用的向量交
换矩阵(vec-permutationmatrix)一种新的定义,并用新的定义证明了和克罗内克
积,向量交换矩阵及向量化算子(vectoroperator)相关的结论,给出了新定义和原定
义间的等价性证明,最后建立了关于矩阵克罗内克积奇异值的一个新结论.
设F是一个数域,例如是实数域R或复数域C.矩阵A=[aij]∈Fm×n和B∈Fp×q的
克罗内克积(直积或张量积),记为A⊗B,定义如下
由定义可得两个对角矩阵(上三角矩阵或下三角矩阵)的克罗内克积仍是对角矩阵
(上三角矩阵或下三角矩阵).设AT和AH分别表示矩阵A的转置和共轭转置,Im是
m阶的单位矩阵.由定义可直接验证下面的克罗内克积的一些性质:
其中性质1表明列向量α和行向量βT的矩阵乘积等价于二者的克罗内克积且α
和βT是可交换的,这一性质在后面的证明中经常用到,性质4表明多个矩阵的克罗
内克积适用结合律.
对于克罗内克积和矩阵乘法,下面称为混合积(mixedproducts)的定理是许多有用
结论的基础[7,20,26].
引理1若矩阵A,B,C,D维数的选取能让下面的运算都有意义,则有
向量交换矩阵在矩阵微分计算和解线性矩阵方程的理论中有重要的应用.在以往不
同的文献中向量交换矩阵常被被表述为不同的形式[7,20,2526],较为常用的表述如
下:
定义1约定基本向量ein表示第i个位置上是1其他位置全为0的n维列向量,即
有
向量交换矩阵定义如下:
下面给出它的一种新的定义.
定义2基本向量ein的意义如定义1,则向量交换矩阵定义如下:
即向量交换矩阵Pmn是一个mn×mn方阵,以往定义多是采用双重求和是一种立
体的形式,而本文给出新的定义是一个平面的形式,避开了双重求和符号的使用,显然
较原有定义简单.基于此定义,有如下的结论:
定理1根据向量交换矩阵Pmn的定义2,下面的两个结论成立
推证过程中等号由上到下,依次用到了克罗内克积的性质3,性质2,性质1,性质2.结
论1证毕.下面验证结论2,根据克罗内克积的定义及混合积定理可得,
下面给出向量化算子(vectoroperator)的定义.如果A=[a1,a2,···,an]∈Fm×n,其中
aj∈Fm,j=1,2,···,n,将矩阵A从左到右的n个列向量按从上到下的排成堆栈,形成一
个mn维的列向量,记为col[A],定义如下:
对于任意的矩阵A∈Fm×n,容易验证下面的结论col[A]=Pmncol[AT].这也是Pmn
命名为向量交换矩阵的原因.
定理2对于矩阵A∈Fm×n,B∈Fp×q,由向量交换矩阵如定义2,可得如下结论:
其中Bi∈F1×q,i=1,2,···,p,j=1,2,···,q表示矩阵B的第i行.根据Pmn定义,性质2
和混合积定理,有
即对于行列指标互换的非方阵有B⊗A相似于(A⊗B)P.进一步当A∈Fn×n和
B∈Ft×t是方阵时,有B⊗A=Pnt(A⊗B)P,即对方阵A和B,A⊗B与B⊗A有相同的特
征值.
下面证明这两种定义等价性,即有结论:
定理3相关符号约定如上,则有
即这两种定义是等价的.上面的证明中等式从上至下依次用到性质3,混合积定理,性
质1和性质4及克罗内克积的定义.
面给出酉矩阵的定义.如果方阵A满足AHA=AAH=I,则称其是酉矩阵.直接计算可
验证下面的结论.如果A和B是酉矩阵(正交矩阵),则A⊗B也是酉矩阵(正交矩阵).
约定σ[B]:={σ1,σ2,···,σn}是矩阵B∈Fm×n奇异值集合.由奇异值的定义和定理2,
对矩阵A,B,有下面的结论成立.
定理4若矩阵A∈Cm×n和B∈Cp×q的奇异值集合是
则有σ[A⊗B]={σiρj|i=1,2,···,n,j=1,2,···,q}=σ[B⊗A].
本文讨论了与克罗内克积相关的向量交换矩阵,给出了它的一个新的定义,并基于新
定义证明了向量交换矩阵的一些性质,最后给出了矩阵克罗内克积奇异值的一个新
的结论.值得指出的是矩阵方程的求解一直是数值线性代数的一个核心问题,求解线
性矩阵方程的新方法也不断出现[2730],但是如何利用矩阵的克罗内克积本身的丰
富结构,来求解相关的线性矩阵方程,例如求解西尔维斯特矩阵方程(Sylvester
matrixequation),仍然是一个需要研究的课题[3033].
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