log图像

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科学领域-被雨淋湿的河

2023年3月17日发(作者：洋葱电商)

1．对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log

a

N，即

b＝log

a

Na>0，且a≠1.

2．对数log

a

N(a>0，a≠1)具有下列性质

(1)N>0；(2)log

a

1＝0；(3)log

a

a＝1.

3．对数运算法则

(1)log

a

(MN)＝log

a

M＋log

a

N.

(2)log

a

M

N

＝log

a

M－log

a

N.

(3)log

a

Mα＝αlog

a

M.

4．对数的重要公式

(1)对数恒等式：log

a

Na＝N.

(2)换底公式：log

b

N＝

log

a

N

log

a

b

.

5．对数函数的图象与性质

a>10

图象

性质

(1)定义域：(0，＋∞)

(2)值域：R

(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

(4)当x>1时，y>0；当0

(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数

6.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝log

a

x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若MN>0，则log

a

(MN)＝log

a

M＋log

a

N.(×)

(2)log

a

x·log

a

y＝log

a

(x＋y)．(×)

(3)函数y＝log

2

x及y＝

1

3

log3x都是对数函数．(×)

(4)对数函数y＝log

a

x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)

(5)函数y＝ln

1＋x

1－x

与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)

(6)对数函数y＝log

a

x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，









1

a

，－1

，函数图象只在第一、四象

限．(√)

1．(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案A

解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln

1＋x

1－x

＝ln









－1－

2

x－1

，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.

2．已知a＝

1

23，b＝

1

3

log

1

2

，c＝log

2

1

3

，则()

A．a>b>cB．b>c>a

C．c>b>aD．b>a>c

答案A

解析a＝3>1,0

1

3

log

1

2

＝log

3

2<1，c＝log

2

1

3

＝－log

2

3b>c，故选A.

3．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()

答案B

解析由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，

所以只有选项B正确．

4．(2015·浙江)若a＝log

4

3，则2a＋2－a＝________.

答案

4

3

3

解析2a＋2－a＝2

442

3

log

log3log3log3

32222

＝3＋

3

3

＝

4

3

3.

5．(教材改编)若log

a

3

4

0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________．

答案









0，

3

4

∪(1，＋∞)

解析当0

a

3

4

a

a＝1，

∴0

3

4

；当a>1时，log

a

3

4

a

a＝1，∴a>1.

∴实数a的取值范围是









0，

3

4

∪(1，＋∞)．

题型一对数式的运算

例1(1)设2a＝5b＝m，且

1

a

＋

1

b

＝2，则m等于()

A.10B．10

C．20D．100

(2)lg5＋lg20的值是________．

答案(1)A(2)1

解析(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log

2

m，b＝log

5

m，

∴

1

a

＋

1

b

＝

1

log

2

m

＋

1

log

5

m

＝log

m

2＋log

m

5＝log

m

10＝2.

∴m＝10.

(2)原式＝lg100＝lg10＝1.

思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对

式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．

(1)计算：

1－log

6

32＋log

6

2·log

6

18

log

6

4

＝________.

(2)已知log

a

2＝m，log

a

3＝n，则a2

m＋n＝________.

答案(1)1(2)12

解析(1)原式

＝

1－2log

6

3＋log

6

32＋log

6

6

3

·log

6

6×3

log

6

4

＝

1－2log

6

3＋log

6

32＋1－log

6

31＋log

6

3

log

6

4

＝

1－2log

6

3＋log

6

32＋1－log

6

32

log

6

4

＝

21－log

6

3

2log

6

2

＝

log

6

6－log

6

3

log

6

2

＝

log

6

2

log

6

2

＝1.

(2)∵log

a

2＝m，log

a

3＝n，∴am＝2，an＝3，

∴a2

m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.

题型二对数函数的图象及应用

例2(1)函数y＝2log

4

(1－x)的图象大致是()

(2)当0

1

2

时，4x

a

x，则a的取值范围是()

A.









0，

2

2

B.







2

2

，1

C．(1，2)D．(2，2)

答案(1)C(2)B

解析(1)函数y＝2log

4

(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；

又函数y＝2log

4

(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C.

(2)方法一构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log

a

x，当a>1时不满足条件，当0

出两个函数在









0，

1

2

上的图象，

可知f









1

2









1

2

，

即2

a

1

2

，

则a>

2

2

，所以a的取值范围为







2

2

，1

.

方法二∵0

1

2

，∴1<4x≤2，

∴log

a

x>4x>1，

∴0

1

2

，

x＝

1

2

，则有

1

24＝2，

1

2

log

1

2

＝1，

显然4x

a

x不成立，排除选项A.

思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零

点时，常利用数形结合思想．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

(1)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－log

b

x的图象可能是()

(2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x

1

，x

2

，则()

A．x

1

x

2

<0B．x

1

x

2

＝1

C．x

1

x

2

>1D．0

1

x

2

<1

答案(1)B(2)D

解析(1)∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，

∵g(x)＝－log

b

x的定义域是(0，＋∞)，故排除A.

若a>1，则0

此时f(x)＝ax是增函数，g(x)＝－log

b

x是增函数．

故选B.

(2)构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，

并作出它们的图象，如图所示．

因为x

1

，x

2

是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x

1

，

x

2

，不妨设x

2

<－1，－1

1

<0，则10x

1

＝－lg(－x

1

)，10x

2

＝lg(－x

2

)，因此10x

2

－

10x

1

＝lg(x

1

x

2

)，因为10x

2

－10x

1

<0，所以lg(x

1

x

2

)<0，即0

1

x

2

<1，故选D.

题型三对数函数的性质及应用

命题点1比较对数值的大小

例3设a＝log

3

6，b＝log

5

10，c＝log

7

14，则()

A．c>b>aB．b>c>a

C．a>c>bD．a>b>c

答案D

解析由对数运算法则得a＝log

3

6＝1＋log

3

2，b＝1＋log

5

2，c＝1＋log

7

2，由对数函数图象得

log

3

2>log

5

2>log

7

2，所以a>b>c，故选D.

命题点2解对数不等式

例4若log

a

(a2＋1)

a

2a<0，则a的取值范围是()

A．(0,1)B．(0，

1

2

)

C．(

1

2

，1)D．(0,1)∪(1，＋∞)

答案C

解析由题意得a>0，故必有a2＋1>2a，

又log

a

(a2＋1)

a

2a<0，所以0

同时2a>1，∴a>

1

2

.

综上，a∈(

1

2

，1)．

命题点3和对数函数有关的复合函数

例5已知函数f(x)＝log

a

(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的

值；如果不存在，请说明理由．

解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，

当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0.∴a<

3

2

.

又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪









1，

3

2

.

(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．

∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log

a

t为增函数，

∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log

a

(3－a)，

∴









3－2a>0，

log

a

3－a＝1，

即





a<

3

2

，

a＝

3

2

.

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求

解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．

(1)设a＝log

3

2，b＝log

5

2，c＝log

2

3，则()

A．a>c>bB．b>c>a

C．c>b>aD．c>a>b

(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()

A．[1,2)B．[1,2]

C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)

(3)设函数f(x)＝









log

2

x，x>0，

log

1

2

－x，x<0，

若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()

A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)

答案(1)D(2)A(3)C

解析(1)∵3<2<3,1<22，

∴log

3

3

3

2

3

3，

log

5

1

5

2

5

5，log

2

3>log

2

2，

∴

1

2

1

2

，c>1，∴c>a>b.

(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有









g1>0，

a≥1，

即









2－a>0，

a≥1，

解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.

(3)由题意可得









a>0，

log

2

a>log

1

2

a

或









a<0，

log

1

2

－a>log

2

－a，

解得a>1或－1

2．比较指数式、对数式的大小

典例(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log

0.3

0.2，则a，b，c的大小关系是()

A．cC．b

(2)设a＝log

2

π，b＝

1

2

logπ，c＝π－2，则()

A．a>b>cB．b>a>c

C．a>c>bD．c>b>a

(3)已知a＝2

log3.45，b＝4

log3.65，c＝(

1

5

)3

log0.35，则()

A．a>b>cB．b>a>c

C．a>c>bD．c>a>b

思维点拨(1)可根据幂函数y＝x0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c

大小．(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较．(3)化为同底的指数式．

解析(1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，

可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b

根据对数函数y＝log

0.3

x的单调性，可得log

0.3

0.2>log

0.3

0.3＝1，即c>1.

所以b

(2)∵a＝log

2

π>log

2

2＝1，b＝

1

2

log

π＝log

2

1

π

2

1＝0,0

1

π2

<1，∴b(3)c＝(

1

5

)3

log0.3＝3

log0.35＝3

10

log

35.

方法一

在同一坐标系中分别作出函数y＝log

2

x，y＝log

3

x，y＝log

4

x的图象，如图所示．

由图象知：

log

2

3.4>log

3

10

3

>log

4

3.6.

方法二∵log

3

10

3

>log

3

3＝1，且

10

3

<3.4，

∴log

3

10

3

3

3.4

2

3.4.

∵log

4

3.6

4

4＝1，log

3

10

3

>1，

∴log

4

3.6

3

10

3

.

∴log

2

3.4>log

3

10

3

>log

4

3.6.

由于y＝5x为增函数，∴2

log3.45>2

10

log

35>4

log3.65.

即2

log3.45>(

1

5

)3

log0.3>54

log3.65，故a>c>b.

答案(1)C(2)C(3)C

温馨提醒(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的

方法．

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构

造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

[方法与技巧]

1．对数值取正、负值的规律

当a>1且b>1或0

a

b>0；

当a>1且0

a

b<0.

2．对数函数的定义域及单调性

在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log

a

x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和

a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．

3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．

4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．

[失误与防范]

1．在运算性质log

a

Mα＝αlog

a

M中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log

a

Mα＝αlog

a

|M|(α∈N＋，

且α为偶数)．

2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．

A组专项基础训练

(时间：35分钟)

1．若函数y＝log

a

x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

答案B

解析由题图可知y＝log

a

x的图象过点(3,1)，

∴log

a

3＝1，即a＝3.

A项，y＝3－x＝(

1

3

)x在R上为减函数，错误；

B项，y＝x3符合；

C项，y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误；

D项，y＝log

3

(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误．

2．已知x＝lnπ，y＝log

5

2，z＝

1

2e

，则()

A．x

C．z

答案D

解析∵x＝lnπ>lne，∴x>1.

∵y＝log

5

2

5

5，∴0

1

2

.

∵z＝e－

1

2

＝

1

e

>

1

4

＝

1

2

，∴

1

2

综上可得，y

3．若函数f(x)＝



















1

2

xx≥4，

fx＋1x<4，

则f(log

2

3)等于()

A.

1

6

B.

1

12

C.

1

24

D.

1

3

答案C

解析∵1

2

3

2

4＝2，∴3＋log

2

3∈(4,5)，

∴f(log

2

3)＝f(log

2

3＋1)＝f(log

2

3＋2)

＝f(log

2

3＋3)＝f(log

2

24)

＝









1

22

log24＝22

log24

＝2

1

log

242＝

1

24

.

4．设f(x)＝lg









2

1－x

＋a

是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()

A．(－1,0)B．(0,1)

C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

答案A

解析由f(x)是奇函数可得a＝－1，

∴f(x)＝lg

1＋x

1－x

，定义域为(－1,1)．

由f(x)<0，可得0<

1＋x

1－x

<1，∴－1

5．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋

1

5

，则f(log

2

20)

等于()

A．1B.

4

5

C．－1D．－

4

5

答案C

解析由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4＜log

2

20＜5，所以f(log

2

20)＝f(log

2

20－4)＝－f(4－log

2

20)

＝－f(log

2

4

5

)＝－(2

4

log

52＋

1

5

)＝－1.

6．函数f(x)＝log

2

x·log

2

(2x)的最小值为________．

答案－

1

4

解析显然x>0，∴f(x)＝log

2

x·log2(2x)＝

1

2

log

2

x·log

2

(4x2)＝

1

2

log

2

x·(log

2

4＋2log

2

x)＝log

2

x＋(log

2

x)2＝









log

2

x＋

1

2

2－

1

4

≥－

1

4

.当且仅当x＝

2

2

时，有f(x)

min

＝－

1

4

.

7．设函数f(x)满足f(x)＝1＋f(

1

2

)log

2

x，则f(2)＝________________________________.

答案

3

2

解析由已知得f(

1

2

)＝1－f(

1

2

)·log

2

2，则f(

1

2

)＝

1

2

，则f(x)＝1＋

1

2

·log

2

x，故f(2)＝1＋

1

2

·log

2

2＝

3

2

.

8．(2015·福建)若函数f(x)＝









－x＋6，x≤2，

3＋log

a

x，x＞2

(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是

__________________________________________________．

答案(1,2]

解析由题意f(x)的图象如右图，则









a＞1，

3＋log

a

2≥4，

∴1＜a≤2.

9．已知函数y＝

1

2

log

(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，求a的取值范围．

解函数y＝l

1

2

log(x2－ax＋a)是由函数y＝

1

2

logt和t＝x2－ax＋a复合而成．

因为函数y＝

1

2

log

t在区间(0，＋∞)上单调递减，

而函数t＝x2－ax＋a在区间(－∞，

a

2

)上单调递减，

又因为函数y＝

1

2

log

(x2－ax＋a)在区间(－∞，2)上是增函数，

所以











2≤

a

2

，

22－2a＋a≥0，

解得





a≥22，

a≤22＋1，

即22≤a≤2(2＋1)．

10．设f(x)＝log

a

(1＋x)＋log

a

(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间[0，

3

2

]上的最大值．

解(1)∵f(1)＝2，

∴log

a

4＝2(a>0，a≠1)，

∴a＝2.

由









1＋x>0，

3－x>0，

得x∈(－1,3)，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log

2

(1＋x)＋log

2

(3－x)

＝log

2

(1＋x)(3－x)＝log

2

[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在[0，

3

2

]上的最大值是f(1)＝log

2

4＝2.

B组专项能力提升

(时间：25分钟)

11．(2015·陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f







a＋b

2

，r＝

1

2

(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的

是()

A．q＝r＜pB．p＝r

C．q＝r>pD．p＝r＞q

答案B

解析∵0＜a＜b，∴

a＋b

2

＞ab，

又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，

∴f







a＋b

2

＞f(ab)，即q＞p.

又r＝

1

2

(f(a)＋f(b))＝

1

2

(lna＋lnb)＝lnab＝p，

故p＝r＜q.选B.

12．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()

A．f(

1

3

)

1

2

)

B．f(

1

2

)

1

3

)

C．f(

1

2

)

1

3

)

D．f(2)

1

2

)

1

3

)

答案C

解析由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝

2－x＋x

2

＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝lnx，所以离对称轴

x＝1距离大的x的函数值大，

∵|2－1|>|

1

3

－1|>|

1

2

－1|，

∴f(

1

2

)

1

3

)

13．函数f(x)＝|log

3

x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．

答案

2

3

解析由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时x＝1，当f(x)＝1时x＝3

或

1

3

，所以区间[a，b]的最短长度为1－

1

3

＝

2

3

，所以b－a的最小值为

2

3

.

14．已知函数f(x)＝ln

x

1－x

，若f(a)＋f(b)＝0，且0

答案









0，

1

4

解析由题意可知ln

a

1－a

＋ln

b

1－b

＝0，

即ln









a

1－a

×

b

1－b

＝0，从而

a

1－a

×

b

1－b

＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－









a－

1

2

2＋

1

4

，

又0

∴0

1

2

，故0<－









a－

1

2

2＋

1

4

<

1

4

.

15．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝

1

2

log

a

(ax)·log

a

(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－

1

8

，求a的值．

解由题意知f(x)＝

1

2

(log

a

x＋1)(log

a

x＋2)

＝

1

2

(log2

a

x＋3log

a

x＋2)＝

1

2

(log

a

x＋

3

2

)2－

1

8

.

当f(x)取最小值－

1

8

时，log

a

x＝－

3

2

.

又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．

∵f(x)是关于log

a

x的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．

若

1

2

(log

a

2＋

3

2

)2－

1

8

＝1，则a＝

1

32

，

此时f(x)取得最小值时，x＝

1

3

3

2(2)



＝2∉[2,8]，舍去．

若

1

2

(log

a

8＋

3

2

)2－

1

8

＝1，则a＝

1

2

，

此时f(x)取得最小值时，x＝(

1

2

)

3

2



＝22∈[2,8]，

符合题意，∴a＝

1

2

.