不定积分求导

不定积分求导

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2023年3月17日发(作者：star法则是什么)

(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804

c1

不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微

分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发

现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型

都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中

如有错误之处，望读者批评指正。

1换元积分法

换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换

元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

当出现22xa

，22ax

形式时，一般使用taxsin，taxsec，taxtan三种代

换形式。

Cxax

xa

dx

Cttttax

xa

dx













22

22

22

ln

tanseclnsectan

当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根

号。

CxxxCttt

tdttttdttxtdxx





sin2cos2sin2cos2

)coscos(2sin2sin

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

cx

dt

t

dt

t

t

dt

t

t

t

dt

t

t

t

t

x

xx

dx















































6

6

12

12

5

12

6

2

12

12

arcsin

6

1

1

1

6

1

11

1

1

1

1

11

1

3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换

(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804

c2

法。

使用万能代换

2

tan

x

t，





c

x

dt

t

dt

tt

dt

ttt

dx

x

























3

1

2

tan2

arctan

3

2

2/14/3

1

1

1

1

2

122

1

sin2

1

22

22

对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥

使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为

解题的一种好方法。

2不定积分中三角函数的处理

不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对

含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变

形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。

1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

被积函数



dx

xx22cossin

1

上下同乘xsin变形为











xx

xxd

dx

xx

cos1cos1

coscos

cossin

1

2

令xucos，则为









c

xx

c

x

x

x

du

uu

u

uu

udu































2

sec

4

1

2

tanln

2

1

cos1

cos1

ln

4

1

cos12

1

)

14

1

14

1

12

1

(

11

22

22

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关

系，注意1cossin22xx的使用。



c

x

xx

x

dx

xx

dx

xx

xx

dx

xx

xx

















































82

tanln

22

1

cossin

2

1

)4/sin(2

cossin

2

1

cossin

1cossin

2

1

cossin

cossin2





三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越

简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

3.函数的降次

(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804

c3

①形如的cossinxdxxnm积分（m，n为非负整数）

当m为奇数时，可令xucos，于是





duuuxxdxdxxxn

m

nmnm

2

1

211coscossincossin，

转化为多项式的积分

当n为奇数时，可令xusin，于是





duuuxxdxxdxx

u

mnmnm

2

1

211sincossincossin，

同样转化为多项式的积分。

当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

,

2

2cos1

cos

,

2

2cos1

sin

,2sin

2

1

cossin

2

2

x

x

x

x

xxx











不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

②形如xdxntan和xdxncot的积分（n为正整数）

令xdxutan，则uxarctan，

21u

du

dx



，从而





,

1

tan

2

du

u

u

xdx

n

n已转化成有理函数的积分。

类似地，xdxncot可通过代换xucot转为成有理函数的积分。

③形如xdxnsec和xdxmcsc的积分（n为正整数）

当n为偶数时，若令xutan，则

21

,arctan

u

du

dxux



，于是







duudu

u

udxxxdx

nnn

n

1

2

2

2

2

2

2

21

1

1

1tan1sec

已转化成多项式的积分。

类似地，xdxncsc可通过代换xucot转化成有理函数的积分。

当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804

c4



cxxxx

xdxxxxxxdx

xdxxxdx

x

xxdxx















2cos

8

1

2sin

4

1

4

1

2sin

4

1

2sin

4

1

4

1

2sin

4

1

4

1

2cos

2

1

4

1

2

2cos1

sin

2

22

22

3有理函数积分法的总结

有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分分式之和。有理假分式化

为有理真分式的方法由我们已经掌握的代数学的方法可得，这里不做讨论。

1.有理真分式化为部分分式之和求解

①简单的有理真分式的拆分



cxx

dx

x

x

x

dx

xx



























4

4

3

4

1ln

4

1

ln

1

1

1

1

②注意分子和分母在形式上的联系







c

xx

c

tt

dt

tt

tt

dt

xt

xx

dxx

xx

dx















































3

3lnln

3

3ln

3

ln

3

11

3

1

3

33

77

7

77

6

7

此类题目一般还有另外一种题型：

cxx

dx

xx

x

dx

xx

x















52ln

2

1

52

22

2

1

52

1

2

22

2.注意分母（分子）有理化的使用

Cxx

xx

xx

dx









2

3

2

3

32

12

1

32

12

1

4

1232

1232

4特殊题型

该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。但在平时训练这些题型有助于提高数学的思维逻

辑能力。

1.善于利用xe，因为其求导后不变。











c

xe

xe

c

t

t

dt

tt

xet

xed

xexe

dx

xexe

xe

dx

xex

x

x

x

x

x

xxxx

x

x



































1

ln

1

ln

1

1

1

1

1

1

1

1

这道题目中首先会注意到xxe，因为其形

式比较复杂。但是可以发现其求导后为xxxee与分母差xe，另外因为xe求导后不变，所以容易想到分子分

(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804

c5

母同乘以xe。

2.某些题正的不行倒着来

cyyydy

ydyy

y

y

yudu

u

u

du

u

u

uu

uuddu

u

uu

du

u

u

uu

u

xdx

x

x















































tantan

tansec

sec

tan

sec

1

1

ln1

1ln

1

ln

1

1

1

ln1

sin

sin

sinln

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



cxxxx

xdxxx

dx

x

x

x

x

xx

xxdxxxxd















cotsinlncot

cotsinlncot

sin

cos

sin

cos

sinlncot

sinlncotsinlncotcotsin原式

2

这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用xusin，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括

此类题的方法为“正的不行倒着来”，当xusin这类一般的换元法行不通时尝试下x

u

sin

1

。这种思路

类似于证明题中的反证法。

3.注意复杂部分求导后的导数















dt

ett

t

xtdx

xxxx

x

t2221

2

ln

ln21ln

2ln

注意到:

t

t

t

t

t

tt

ett

et

y

ett

ett

y

ett

etet

y

2

2

3

3

3

2

3

32

1

21

21

2

2

2

261



















321

2

3-

21

2

yyy

ett

t

t















cxxexx

cttett

dt

ett

et

dt

ett

ett

dt

ett

etet

dt

ett

t

x

t

t

t

t

t

t

tt

t





























lnln3lnln2lnln

ln32ln

21

21

3

2

2

2

261

21

2

ln

3

3

2

2

3

3

3

32

2

本题把被积函数

(表D.0.2)---绿化(子单位)工程质量竣工验收报告表29804

c6

拆为三部分：

321

,,yyy，

1

y的分子为分母的导数，

2

y的值为1，

3

y的分子为分母因式分解后的一部分。此类

题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。

4.对于



)0(),(2adxcbxaxxR型积分，考虑acb42的符号来确定取不同的变换。

如果0，设方程02cbxax两个实根为,，令

xtcbxax2，

可使上述积分有理化。

如果0，则方程02cbxax没有实根，令

txacbxax2，

可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设

cxtcbxax2，

至于采用哪种替换，具体问题具体分析。

世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。不要随意发脾气，谁都不欠你的