求根公式法

求根公式法

-

2023年3月17日发(作者：鲸ppt)

-

.z.

八年级数学学科总计20课时第5课时

课题求根公式与根的判别式

教学目标：

1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.

2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.

3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.

4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.

5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.

教学重点：

1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.

2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.

教学难点：

1、正确理解“当240bac时，方程20(0)axbxca无实数根.

2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.

一、学习新知，推导公式

我们以前学过的一元一次方程0bax（其中a、b是已知数，且a≠0）的根唯一存

在，它的根可以用已知数a、b表示为

a

b

x，则对于一元二次方程02cbxax（其

中a、b、c是已知数，且a≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我

们用配方法推导一元二次方程的求根公式.

用配方法解一元二次方程)0(02acbxax

解：cbxax2移常数项

a

c

x

a

b

x2方程两边同除以二次项系数（由于a≠0，因此不需要分类讨论）

222)

2

()

2

(

a

b

a

c

a

b

x

a

b

x两边配上一次项系数一半的平方

2

2

2

4

4

)

2

(

a

acb

a

b

x



转化为nmx2)(的形式

注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。

因此对上面这个方程要进行讨论

因为2040aa所以

-

.z.

（1）当240bac时，

2

2

4

0

4

bac

a



。

利用开平方法，得

2

2

4

24

bbac

x

aa



则

2

2

4

24

bbac

x

aa





所以

24

2

bbac

x

a



，

（2）当240bac时，

2

2

4

0

4

bac

a



。在实数范围内，*取任何值都不能使方程

2

2

2

4

4

)

2

(

a

acb

a

b

x



左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。

一元二次方程)0(02acbxax，当042acb时，它有两个实数根：

24

2

bbac

x

a





（04,02acba）

这就是一元二次方程)0(02acbxax的求根公式.

问题：1、在求根公式中，如果042acb时，根的情况如何？

2、如何用求根公式求一元二次方程的根？

解答：

1、如果042acb，则方程有两个相等的实数根，即

a

b

xx

221

.

2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042acb，则可代入

公式求出方程的根，如果042acb，则方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做

公式法.

二、根的判别式：

利用求根公式

24

2

bbac

x

a





，可以解任何一个一元二次方程20(0)axbxca.

（1）当240bac时，方程的根是

22

12

44

,

22

bbacbbac

xx

aa





.

（2）当240bac时，方程的根是

122

b

xx

a

.

-

.z.

（3）当240bac时，方程没有实数根.

提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？

1、定义：我们把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，通常用

符号“△”表示，记作△=24bac.

2、一元二次方程20(0)axbxca，

当△=240bac时，方程有两个不相等的实数根；

当△=240bac时，方程有两个相等的实数根；

当△=240bac时，方程没有实数根.

例题精讲：

例1：用公式法解下列方程：

（1）25610xx（2）22(1)(2)1xxx

注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a、b、c的值，并且注意a、b、

c的符号。

例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）24530xx；（2）22430xx；（3）22326xx.

例3、关于

x

的方程2(1)0xmxm（其中

m

是实数）一定有实数根吗"为什么？

三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理）

当一元二次方程有实数解

22

12

44

,

22

bbacbbac

xx

aa





例4：已知

12

,xx是一元二次方程22370xx的两个根，求22

12

xx

的值。

四、与根的判别式相关的证明题：

例5：已知

a

、b、

c

是△ABC的三边长，求证：关于*的方程222222()0bxbcaxc

没有实数根。

巩固练习

一、填空题：

1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式，接着确定

的值，然后求出，最后代入。

2、方程2523xx中，24bac。

-

.z.

3、若代数式2425xx与221x的值互为相反数，则*的值为。

4、当*=时，23xx与15x既是最简根式又是同类二次根式。

5、一元二次方程232620xx的根的判别式的值等于。

6、不解方程，判定方程2257xx是实根的个数为。

7、方程22(2)(2)30mxmx，当m=时，是关于*的一元二次方程，

它的根的判别式=。

8、已知方程220mxmx有两个相等的实数根，则m的值为。

二、求下列方程中24bac的值：

1、265xx2、28160xx

3、2232xx4、222xx

5、2

11

0

42

xx6、21xx

7、2xqpx8、2(23)60xx

三、不解方程，判断下列方程根的情况：

1、22520xx2、2

1

30

2

xx

3、22230xx4、241290xx

5、2

11

0

22

xx6、23330xx

7、250x8、2

2

10

4

xx

四、用公式法解下列方程：

1、22220xx2、222xx

3、22220xx4、291220xx

5、24421xx6、296610xx

7、23510xx8、2

1

510

2

xx

9、20.090.210.10yy10、(1)(1)22xxx

-

.z.

11、22442xx12、24(28)20yy

五、解答题：

1、判断关于*的方程20xpxq的根的情况。

2、关于*的方程2(2)20xmxm一定有实根吗？为什么"

3、如果关于*的一元二次方程28160kxx有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

能力提高

一、不解方程，判定下列方程根的情况

1、222(1)240mxmxm2、222220xmxm

3、29(7)30xpxp4、22

13

0

22

xmxmm

二、用公式法求关于*的方程的解

1、2240xxk2、210xpx

3、2222(3)0xstxst4、2

9

(1)2(3)0(,1)

7

kxkxkkk

二、解答题：

1、关于*的方程2(3)30mxmx一定有实数根吗？为什么？

2、若t是非负整数，且一元二次方程22(1)2(1)10txtx有两个实数根，求t的值

及对应方程的根。

思维拓展

1、求证：关于*的方程()()1xaxab的两根中一个大于a，另一个小于a.