独立性检验

独立性检验

-

2023年3月17日发(作者：人民币银行结算账户管理办法)

第4节独立性检验

课标要求掌握运用二维列联表的方法，领会独立性检验的基本思想，解决独立性检验的实

际问题.

知识衍化体验

知识梳理

1.利用2统计量来研究“两个对象Ⅰ和Ⅱ是否______”的方法称为独立性检验.

2.22列联表：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B，Ⅱ也

有两类取值，即类1和类2.我们得到如下22列联表所示的抽样数据：

Ⅱ

类1类2合计

Ⅰ

类Aab

ab

类Bcd

cd

合计

acbd

3．推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤为：

（1）提出假设H

0

：Ⅰ与Ⅱ没有关系；

（2）根据22列联表与公式2______，其中样本容量nabcd，计算2的值；

（3）查对临界值表，作出判断.

2

0

Px≥

0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0

x

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

例如：

①如果2≤2.706，那么就认为没有充分证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H

0

成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系；

②如果22.706，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

③如果23.841，那么有95%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；

……

⑥如果210.828，那么有______的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”.

4．假设检验的原理：

在一个假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，那么就推断这个假设______.

5．独立性检验所采用的思想：

要研究“Ⅰ与Ⅱ有关系”这一结论的可靠程度，先假设该结论不成立，在该假设下构造2统

计量.如果2观测值很_____，那么在一定程度上说明假设不合理.根据2的含义，通过查

对临界值表评价假设不合理的程度.

【微点提醒】

1．利用2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，在实际应用中，抽样数

据a，b，c，d应均不小于5.n越大，估计越准确；n很小时，估计不一定可靠，需要进行

近一步检验措施.

2．这里所说的“Ⅰ与Ⅱ有关系”是一种统计关系，指的是“Ⅰ与Ⅱ有关系”的可能性，不

是必然关系.

基础自测

疑误辨析

1．判断下列结论的正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）Ⅰ与Ⅱ关系越密切，则由观测数据计算得到的2值越大.（）

（2）假设检验的原理与反证法原理相似.（）

（3）在假设H

0

成立的情况下，26.6350.01P≥

表明对2进行多次观测，观测值超过

6.635的频率约为0.01.（）

（4）如果2观测值很大，那么在一定程度上说明假设不合理.（）

（5）如果2值不大于0，那么Ⅰ与Ⅱ一定没有关系.（）

教材衍化

2．为了鉴定新疫苗的效果，将60只豚鼠随机分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都

注射了病毒源，其结果列于下表：

则应提出统计假设H

0

：

A．疫苗有效B．疫苗无效

C．疫苗可能有效D．疫苗可能无效

发病没发病合计

接种32730

没接种171330

合计204060

3．66名学生的英语考试成绩与数学考试成绩如下表：

经过计算，

21.2785，则在显著性水平为0.05的前提下，（）

A．有95%的把握认为英语成绩与数学成绩有关

B．有25%~40%的把握认为英语成绩与数学成绩有关

C．英语成绩与数学成绩没有关系

D．不能作出英语成绩与数学成绩有关的结论

考题体验

4．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用22列

联表进行独立性检验，经计算26.705，则所得到的统计学结论是：有______的把握

认为“学生性别与支持该活动没有关系”

A．99.9%B．99%C．1%D．0.1%

5

．（

2019

全国

1

文）某商场为提高服务质量，随机调查了

50

名男顾客和

50

名女顾客，每

位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客

4010

女顾客

3020

（

1

）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（

2

）能否有

95%

的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

acbdabcd









．

2

0

Px≥

0.0500.0100.001

0

x3.8416.63510.828

6．（2014江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关

系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1~表4，则与性别有关联的可能性最大

及格不几个合计

英语61566

数学57966

合计11814132

2

0

Px≥

0.100.050.0250.0100.001

0

x

2.7063.8415.0246.63510.828

的变量是

考点一22列联表的统计意义

【例1】（2010新课标理）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方

法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

是否需要志愿性别男女

需要4030

不需要160270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老

年人的比例？说明理由．

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

acbdabcd









2

0

Px≥

0.0500.0100.001

0

x3.8416.63510.828

规律方法

1.根据公式计算2观测值，并对照临界值表进而给出判断结果；

2.利用计算结果，可以更好地优化调查方法，提高统计的实际价值．

【训练1】为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，

得到如下成22列联表：

已知23.8410.05P≥

，25.0240.025P≥

．根据表中数据，得到

2

250(1320107)

23272030





4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为______.

考点二独立性检验的应用

【例2】（2019湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考）环境问题是当今世界共同关注

的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：

空气污染指数

050，50100，100150，150200，200300，300，

空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染

指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度

理科文科

男1310

女720

污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号

为双号的车辆双号出行（尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有

一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．

（1）求频率分布直方图中m的值；

（2）若按分层抽样的方法，从空气质量等级为良与中度污染的天气中随机抽取6天，再从

这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；

（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60

天的空气质量进行统计，其结果如下表：

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数112711731

根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%

的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．

空气质量优、良空气质量污染总计

限行前

限行后

总计

参考数据：

2

0

Px≥

0.150.100.050.0250.0100.005

频率

组距

空气污染指数（3g/m）

250500

m

0.004

0.005

0.006

0

x

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

参考公式：2

2()

()()()()

nadbc

acbdabcd





，其中

nabcd

．

规律方法

1.在22列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足，adbc越小，说明两个变量之

间的关系越弱，adbc越大，说明两个变量之间的关系越强．

2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论，独立性检验的步

骤为：（1）根据样本数据制成22列联表；（2）根据公式

2

2

()

()()()()

nadbc

acbdabcd









计

算2观测值；（3）比较观测值与临界值的大小关系，作出统计推断．

【训练2】

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网

箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

新养殖法旧养殖法

频率/组距

箱产量/kg箱产量/kg

频率/组距

06570

0.068

0.046

0.044

0.020

0.010

0.008

0.004

703530250

0.040

0.034

0.032

0.024

0.020

0.014

0.012

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，

新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有

关：

箱产量50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

abcdacbd









2()PKk≥

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【例3】（2012辽宁）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随

机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看

该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10

名女性.

（1）根据已知条件完成下面22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷体育迷合计

男

女

合计

（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育

迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

abcdacbd









规律方法

1.根据频率分布直方图获取2×2列联表中的数据，进而利用2公式计算判断；

2.古典概型要抓住所有等可能基本事件数和所求事件数进行求解.

【训练3】

)(2kP

0.050.01

k3.8416.635

在研究某种药物对“H7N9”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据，对150只

动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对照组150只动物进行常规治疗，

其中114只动物存活，36只动物死亡．

（1）根据以上数据建立一个2×2列联表．

（2）试问该种药物以治疗“H7N9”病毒是否有效？

反思与感悟

【思维升华】

1.独立性检验是根据2的值判断两个变量有关的可信程度；

2.独立性检验常与统计中的频率分布直方图、概率等自然交汇，不要割裂其内在联系.

【易错防范】

1.独立性检验中统计量2的观测值的计算公式较复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，

代入公式时出错，而导致计算出错；

2.2的观测值如果不大于2.706，不能错误地理解为具体有多大可能性认为两个变量有关

系，而应理解为没有充分证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论Ⅰ与Ⅱ没有关系.