材料力学公式汇总

材料力学公式汇总

实习基地-生活活动

2023年3月17日发(作者：积分卡)

材料力学公式汇总完全版

2

1截面几何参数

序号公式名称公式符号说明

（1.1）

截面形心位

置

A

zdA

zA

c



，

A

ydA

yA

c





Z为水平方向

Y为竖直方向

（1.2）

截面形心位

置





i

ii

cA

Az

z，







i

ii

cA

Ay

y

（1.3）面积矩

A

Z

ydAS，

A

y

zdAS

（1.4）面积矩

iiz

yAS，

iiy

zAS

（1.5）

截面形心位

置

A

S

zy

c

，

A

S

yz

c



（1.6）面积矩

cy

AzS，

cz

AyS

（1.7）轴惯性矩

dAyI

A

z2，dAzI

A

y2

（1.8）极惯必矩

dAI

A

2



（1.9）极惯必矩

yz

III



（1.10）惯性积

dAzyI

A

zy

（1.11）轴惯性矩

AiI

zz

2，AiI

yy

2

（1.12）

惯性半径

（回转半径）

A

I

iz

z



，

A

I

iy

y



（1.13）

面积矩

轴惯性矩

极惯性矩

惯性积



ziz

SS，

yiy

SS



ziz

II，

yiy

II



i

II



，

zyizy

II

（1.14）

平行移轴公

式

AaII

zcz

2

AbII

ycy

2

abAII

zcyczy



3

4

5

（2.26）

离中性轴最远的

截面边缘各点上

的最大正应力z

I

yM

max

max

.



（2.27）

抗弯截面模量

（截面对弯曲

的抵抗矩）max

y

I

W

z



（2.28）

离中性轴最远的

截面边缘各点上

的最大正应力z

W

M



max



（2.29）

横力弯曲梁横截

面上的剪应力

bI

VS

z

z

*



*

z

S被切割面

积对中性轴

的

面积矩。

（2.30）

中性轴各点的剪

应力

bI

VS

z

z

*

max

max



（2.31）

矩形截面中性

轴各点的剪应力

bh

V

2

3

max



（2.32）

工字形和T形截

面的面积矩

***

ciiz

yAS

（2.33）

平面弯曲梁的挠

曲线近似微分方

程

)("xMEIv

z



V向下为正

X向右为正

（2.34）

平面弯曲梁的挠曲

线上任一截面

的转角方程

CdxxMEIvEI

zz

)('

（2.35）

平面弯曲梁的挠曲

线上任一点挠度方

程

DCxdxdxxMvEI

z

)(

（2.36）

双向弯曲梁的合成

弯矩

22

yz

MMM

（2.37a）

拉（压）弯组合矩形

截面的中性轴在Z

轴上的截距p

y

zz

i

za

2

0



pp

yz,是集中

力作用点的

标

（2.37b）

拉（压）弯组合矩形

截面的中性轴在Y

轴上的截距p

z

yy

i

ya

2

0



6

3应力状态分析

序号公式名称公式符号说明

（3.1）

单元体上任

意截面上的

正应力









2sin2cos

22x

yxyx









（3.2）

单元体上任

意截面上的

剪应力









2cos2sin

2x

yx





（3.3）

主平面方位

角

yx

x













2

2tan

0

（反号与

x



0

）

（3.4）

最大主应力

的计算公式

2

2

max22x

yxyx





























（3.5）

最小主应力

的计算公式

2

2

max22x

yxyx





























（3.6）

单元体中的

最大剪应力

2

31

max









（3.7）

主单元体的

八面体面上

的剪应力

2

32

2

31

2

213

1



（3.8）



面上的线

应变













2sin

2

-2cos

22

xyyxyx









（3.9）



面与



+o90面之

间的角应变

2cos2sin)(

xyyxxy



（3.10）

主应变方向

公式yx

xy











0

2tan

（3.11）最大主应变

422

2

2

max

xyyxyx





























（3.12）最小主应变

422

2

2

max

xyyxyx





























7

（3.13）xy



的替代公

式

yxxy

045

2

（3.14）

主应变方向

公式

yx

yx











045

0

2

2tan

（3.15）最大主应变

2

45

2

45

max222

00















































yx

yx

（3.16）最小主应变

2

45

2

45

max222

00















































yx

yx

（3.17）

简单应力状

态下的虎克

定理

E

x

x





，

E

x

y





，

E

x

z





（3.18）

空间应和状

态下的虎克

定理



zyxxE



1



xzyyE



1



yxzzE



1

（3.19）

平面应力状

态下的虎克

定理（应变形

式）

)(

1

yxxE



)(

1

xyyE



)(

yxzE







（3.20）

平面应力状

态下的虎克

定理（应力形

式）

)(

12

yxx

E











)(

12

xyy

E











0

z



（3.21）

按主应力、主

应变形式写

出广义虎克

定理



3211

1



E



1322

1



E



2133

1



E

8

（3.22）

二向应力状

态的广义虎

克定理

)(

1

211



E

)(

1

122



E

)(

213







E

（3.23）

二向应力状

态的广义虎

克定理

)(

121

2

1











E

)(

112

2

2











E

0

3



（3.24）

剪切虎克定

理

xyxy

G

yzyz

G

zxzx

G

4内力和内力图

序号公式名称公式符号说明

（4.1a）

（4.1b）

外力偶的

换算公式

n

N

Tk

e

55.9

n

N

Tp

e

02.7

（4.2）

分布荷载集度

剪力、弯矩之

间的关系

)(

)(

xq

dx

xdV



)(xq向上

为正

（4.3）

)(

)(

xV

dx

xdM



（4.4）

)(

)(

2

2

xq

dx

xMd



9

5强度计算

序号公式名称公式

（5.1）

第一强度理论：最大拉

应力理论。

当

）f

）f

u

ut

塑性材料

脆性材料

.(

(

*

1

1









时，

材料发生脆性断裂破坏。

（5.2）

第二强度理论：最大伸

长线应变理论。

当

）f）（

）f

u

ut

塑性材料

脆性材料

(

()(

*

321

1321









时，

材料发生脆性断裂破坏。

（5.3）

第三强度理论：最大剪

应力理论。

当

）f

）f

uc

y

脆性材料

塑性材料

(

(

31

31









时，

材料发生剪切破坏。

（5.4）

第四强度理论：八面体

面剪切理论。

当



）f

）f

uc

y

脆性材料

塑性材料

(

2

1

(

2

1

2

32

2

31

2

21

2

32

2

31

2

21









时，材料发生剪切破坏。

（5.5）

第一强度理论相当应

力1

*

1



（5.6）

第二强度理论相当应

力

）（

321

*

2



（5.7）

第三强度理论相当应

力31

*

3



（5.8）

第四强度理论相当应

力

2

32

2

31

2

21

*

42

1



（5.9a）

由强度理论建立的强

度条件

][*

10

（5.9b）

（5.9c）

（5.9d）

由直接试验建立的强

度条件

][

maxtt



][

maxcc



][

max



（5.10a）

（5.10b）

轴心拉压杆的强度条

件

][

maxttA

N



][

maxccA

N



（5.11a）

（5.11b）

（5.11c）

（5.11d）

由强度理论建立的扭

转轴的强度条件

][

max1

*

1t

T

W

T

(适用于脆性材料)

）（

321

*

2

=

][)1()0(

maxmaxmaxt













1

][

max

t

T

W

T

(适用于脆性材料)

][2

maxmaxmax31

*

3



2

][

max





T

W

T

(适用于塑性材料)





][3

00

2

1

2

1

max

2

maxmax

2

max

2

max

2

32

2

31

2

21

*

4













3

][

max





T

W

T

(适用于塑性材料)

（5.11e）

由扭转试验建立的强

度条件

][

max



T

W

T

（5.12a）

平面弯曲梁的正应力

强度条件

][

maxt

Z

tW

M



11

（5.12b）

][

maxc

Z

cW

M



（5.13）

平面弯曲梁的剪应力

强度条件

][

*

max

max



bI

VS

Z

Z

（5.14a）

（5.14b）

平面弯曲梁的主应力

强度条件

][422*

3



][322*

4



（5.15a）

（5.15a）

圆截面弯扭组合变形

构件的相当弯矩

W

M

W

TMM

yZ

*

3

222

31

*

3









W

M

W

TMM

yZ

*

4

222

2

32

2

31

2

21

*

4

75.0

2

1









（5.16）螺栓的抗剪强度条件

][

4

2







dn

N

（5.17）

螺栓的抗挤压强度条

件

][b

c

b

ctd

N





（5.18）

贴角焊缝的剪切强度

条件

][

7.0

w

f

wf

lh

N





6刚度校核

序号公式名称公式符号说明

（6.1）构件的刚度条件

]

.

[max

ll







（6.2）扭转轴的刚度条件

][

max







GI

T

（6.3）

平面弯曲梁的刚度条

件

][max

l

v

l

v



12

7压杆稳定性校核

序号公式名称公式符号说明

（7.1）

两端铰支的、细长

压杆

的、临界力的欧拉

公式

2

2

l

EI

P

cr





I取最小值

（7.2）

细长压杆在不同

支承情

况下的临界力公

式

2

2

).(l

EI

P

cr





ll.

0



0

l—计算长度。

—长度系数；

一端固定，一端自

由：

2

一端固定，一端铰

支：

7.0

两端固定：

5.0

（7.3）压杆的柔度

i

l.



A

I

i

是截面的惯

性半径

（回转半径）

（7.4）压杆的临界应力

A

P

cr

cu



2

2







E

cu



（7.5）

欧拉公式的适用

范围

P

Pf

E



（7.6）抛物线公式

当

y

cf

E

57.0

时，y

f—压杆材料的屈

服极限；

13

])(1[2

c

ycr

f







AfAP

c

ycrcr

].)(1[2









—常数，一般取

43.0

（7.7）

安全系数法校核

压杆的稳定公式

][

cr

w

crP

k

P

P

（7.8）

折减系数法校核

压杆的稳定性

].[

A

P

—折减系数

][

][





cr，小于1

8动荷载

序号公式名称公式符号说明

（8.1）动荷系数

j

d

j

d

j

d

j

d

dN

N

P

P

K











P-荷载

N-内力



-应力

-位移

d-动

j-静

(8.2)

构件匀加速

上升或下降

时的动荷系数

g

a

K

d

1

a-加速度

g-重力加速度

（8.3）

构件匀加速

上升或下降

时的动应力

jjddg

a

K)1(

(8.4)

动应力强度条

件

][

maxmax



jdd

K

杆件在静荷载作用下][

的容许应力

（8.5）

构件受竖直方

向冲击时的动

荷系数j

d

H

K





2

11

H-下落距离

（8.6）

构件受骤加荷

载时的动荷系

数

2011

d

KH=0

（8.7）

构件受竖直方

向冲击时的动

荷系数j

j

dg

v

K





2

11

v-冲击时的速度

14

（8.8）疲劳强度条件

K







][

max





-疲劳极限

][





-疲劳应力容许值

K-疲劳安全系数

9能量法和简单超静定问题

序号

公式名称

公式

（9.1）

外力虚功：

Iiee

PMPPW...

332211



（9.2）

内力虚功：

















llll

TdlNdVddMW

（9.3）

虚功原理：

变形体平衡的充要条件是：0WW

e

（9.4）

虚功方程：

变形体平衡的充要条件是：WW

e



（9.5）

莫尔定理：



















llll

dTldNdVdM

（9.6）

莫尔定理：





















llll

dx

GI

TT

dx

EA

NN

dx

GA

VVK

dx

EI

MM



（9.7）

桁架的莫尔定理：

l

EA

NN





（9.8）

变形能：

WU（内力功）

（9.9）

变形能：

e

WU（外力功）

（9.10）

外力功表示的变形能：

Iiii

PPPPU

2

1

2

1

...

2

1

2

1

2211

15

（9.11）

内力功表示的变形能：

















llll

dx

GI

xT

dx

EA

xN

dx

GA

xKV

dx

EI

xM



2

)(

2

)(

2

)(

2

)(2222

（9.12）

卡氏第二定理：

i

iP

U







（9.13）

卡氏第二定理计算位移公式：









































lll

iiii

l

i

dx

P

T

GI

T

dx

P

N

EA

N

dx

P

V

GA

KV

dx

P

M

EI

M



（9.14）

卡氏第二定理计算桁架位移公式：

l

P

N

EA

N

i

i





（9.15）

卡氏第二定理计算超静定问题：

0







dx

R

M

EI

M

B

l

By

（9.16）

莫尔定理计算超静定问题：

0





dx

EI

MM

l

By

（9.17）

一次超静定结构的力法方程：

0

1111



P

X

（9.18）

1

X方向有位移时的力法方程：



P

X

1111



（9.19）

自由项公式：

dx

EI

MM

l

P

P





1

1

（9.20）

主系数公式：

dx

EI

M

l









2

1

11



（9.21）桁架的主系数与自由项公式：

16









lEA

lN

2

1

11











l

P

PEA

lNN

1

1