毕奥萨伐尔定律

毕奥萨伐尔定律

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2023年3月17日发(作者：核桃粉的功效与作用)

安培定律和毕奥--萨伐尔定律

1.物质的磁性与电流的磁效应

从天然磁体到指南针的发明

人类对磁现象的最初认识，是发现天然磁体之间存在互相吸引或排斥作用，以及天然磁体对诸如

铁这类物体产生吸引力.

人们观察到，任何磁性物体都有两个不同的“磁极”，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引.

后来又发现，如果将一根条形小磁体的中心支撑起来并让它可以自由转动,小磁体的某一极总是

转向北方.人们由此认识到，原来我们所居住的地球就是一个巨大的天然磁体.磁性物体中指向北

方的那个极被称为“北磁极”或N极，指向南方的另一极称为“南磁极”或S极.

中国人对磁现象的发现和应用，比西方人要早得多.春秋战国时期（公元前770-221年）的文献

已有“磁石吸铁”的记载，北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海.

至公元1600年，英国人吉尔伯特（t）发表《论磁体》一书，这被认为是人类对磁现象

系统而定性研究的最早著作.

从库仑到奥斯特FromCoulombToOersted

库仑（omb）

大家已经知道，1785年,法国的库仑通过实验，总结出静电相互作用的规律.大约同期，库仑也

通过实验对磁力进行了测量，并指出与电力一样，磁力“与磁分子之间的距离平方成反比”.

库仑的“磁分子”包含有南、北两种磁荷，它们在磁体内首尾相吸形成“磁分子纤维”,使磁荷

不能象电荷那样从一个物体转移到另一个物体.

但是，电力与磁力有关吗？

库仑和他同时代的许多物理学家都认为：虽然磁力与电力在距离关系上有相似性，但并无同一性.

奥斯特（d）

然而，丹麦人奥斯特在德国哲学家康德（）和谢林（ing）关于自然力转化与

统一的思想影响下，经过20多年对电力、磁力及化学亲和力等的广泛研究，终于在1820年4

月发现了电流的磁效应——通有电流的导线使其附近的磁针发生了偏转！

奥斯特的伟大发现，轰动了当时欧洲的物理学界，由此开创了实验上与理论上研究电磁统一性的

纪元.

从奥斯特到安培、毕奥和萨伐尔

安培（）

法国物理学家安培获知奥斯特的发现之后，很快（1820年9月）就发现两根通电流的导线之间

也存在相互作用力，并于同年12月发表了这种相互作用力的定量公式——现在我们称之为安培

定律.(见教材P336)

安培进而用“分子电流”假说解释磁体的磁性——磁性体内分子电流的有规排列，呈现出宏观磁

化电流，正是宏观磁化电流使之产生宏观磁性（见教材P336）

毕奥和萨伐尔（）

也是在1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔,通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,

发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥--萨伐尔定律.稍

后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律.

从奥斯特到安培，两个引人深思的问题

一个引人深思的问题是：从奥斯特发现电流磁效应（1820年4月）到安培发现电流相互作用的

规律（1820年9月），前后只是相差5个月，我们可以从中获得什么教益？

另一个同样引人深思的问题是：安培提出磁性的“分子电流假说”，比1897年汤姆孙发现电子，

以及后来发现物质的原子和分子电结构，早了70多年以上.我们又可以从中获得什么教益？

安培的“分子电流圈”，按现在的理解，就是分子内的电荷运动形成的磁偶极矩m.由照经典模

型，分子磁偶极矩矢量描述为

其中，I是分子电流强度，为电流圈的面积矢量，规定它的方向与电流流向成右手螺旋关

系.

今天，人们对磁现象的认识，已经比安培那个时代深刻得多：

不仅原子和分子中的电子绕核运动形成一定的“轨道磁矩”，而且，电子、质子等“基本的”带

电粒子，都有一定的自旋磁矩.

分子的总磁矩是所有粒子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.

磁场

读者知道，电荷之间的相互作用，通过电荷的电场传递.

电流之间的相互作用，则是通过电流的磁场传递的.如果我们在一块水平放置的平板上，放上一

块条形磁铁，再在其周围撒上小铁粉，我们将会看到，小铁粉会呈现很有规律性的排列，如图

2-1.这是由于：磁铁内分子电流（磁矩）的有规排列所形成的宏观“磁化”电流产生了宏观磁场，

在这磁场作用下，小铁粉（小磁矩）发生了朝着“磁力线”方向的偏转而呈现有规律的排列.

同样的，两条电流线之所以存在互作用力，是一条电流线产生的磁场，作用于另一条电流线的结

果.

2.安培定律（Amperes’Law）（教材P337）

现在，让我们写出安培作用定律

真空中，两个稳恒的电流回路L1和L2，电流元I1dl1对I2dl2的作用力为

(2.2-1)

其中，I1和I2是两个回路的电流强度，r12是从I1dl1到I2dl2的距离，是这方向上的单位

矢量.

在MKSA单位制中，比例常数

（2.2-2）

其中，m0称为真空磁导率，它与真空介电常数0（真空电容率）共同构成作为基本物理常数的

真空中光速C：

（2.2-3）

读者将会看到，电流强度I的单位——“安培”，是由(2.2-1）来定义的.由于力的单位为牛顿，

距离的单位为米，故从定义“安培”这一需要出发，

真空磁导率取值为

（2.2-4）

这也是真空介电常数0为什么由下式表示

（2.2-5）

的原因.

由于回路L1的每个电流元对另一回路L2每个电流元都将产生作用力，因此，回路L1对回路L2的

合力应当是一个二重积分：

（2.2-6)

回路L2对回路L1的作用力则是

（2.2-7)

其中，r21=r12,

是电流元I2dl2到I1dl1的方向上的单位矢量.

可以证明，两个稳恒电流回路之间的作用力与反作用力，大小相等方向相反：

F21=-F12（2.2-8)

但是，对于两个“孤立的稳恒电流元”，一般地dF21≠-dF12这是因为：稳恒电流必定构成闭

合回路，既孤立又“稳恒”的电流元实际上并不存在.

3.磁感应强度(magneticinduction)（P346）

前面我们已指出，电流之间的相互作用是通过磁场来传递的.因此，安培定律（2.2-6)中，电流

回路L2受到的合力，实质上是电流回路L1产生的磁场对它施加的总作用力，因此，安培定律实

质上是：

（2.2-9)

B是电流回路L1在L2各点上产生的磁感应强度

（注：这一称胃是历史上形成的，现在，有些国外的教科书已把B称为磁场强度——magnetic

fieldstrength）.

对于任何一个稳恒的电流回路L，其中一个电流元Idl在任意点P产生的元磁感应强度为

（2.2-10)

其中，x是场点的位置矢量，r是电流元到场点的距离，

是这方向的单位矢量.

——图中，P点的dB沿什么方向？

类似于电场叠加原理,回路L的全部电流元在P点产生的总磁感应强度,也是一个矢量积分：

（2.2-11)

这称为毕奥—萨伐尔定律.应当注意，B是一个与场点P的坐标有关的矢量函数.

如果导线截面上的电流密度函数为J(x’)，则一个电流元是J(x’)dV’(小电流管中很小

一段)，（2.2-11)将写成

（2.2-12)

此处，r是电流分布点到场点P的距离，是这方向的单位矢量.

磁感应强度的物理意义

(1)像点电荷产生的电场强度与距离的平方成反比一样，电流元产生的磁感应强度，也与距离的

平方成反比；

(2）积分式（2.2-11)和（2.2-12)表示电流的磁场也遵从叠加原理

(3)电流的磁场分布于其周围空间.根据安培定律，一个电流元Idl在磁场中受到的作用力为

dF=Idl×B(2.2-13)

B是电流元所在点的磁感应强度.我们设想，在磁场中某一点有一个电流元，由上式，它受力的

大小为

dF=IdlBsin(2.2-14)

是矢量B与电流元的夹角，显然，仅当=/2，即电流元的方向与此处B的方向垂直时，它

受到的力才有

最大值（dF）max=IdlB，我们就以比值

(2.2-15)

来定义该点的磁感应强度，表示单位电流元在磁场某点受到的最大作用力.

（请将这个定义与由库仑定律定义的电场强度比较一下）

于是B的单位是：牛顿/安培·米（N/Am），通常把它称为特斯拉（tesla），即1特斯拉（T）

=1牛顿/安培·米（N/Am）你们以后将看到，B2/20表示磁场能量密度(电场能量密度为0E2/2).

在有些文献中，仍然用“高斯”作为磁感应强度的单位，它与特斯拉的换算关系是1高斯（gauss）

=10-4特斯拉

习题P351：3题

[例2-3]直线电流的磁场(MagneticFieldofaRectilinearCurrent)（P352）

[解]我们考虑某个稳恒电流回路的一段，电流是沿着直线流动的，电流强度为I,设其流向沿

坐标系的z轴正向，场点P到电流线的垂直距离为r0,我们就以o为坐标原点，如下图.

任意一个电流元到原点o的距离为z,到场点P的距离为r,从毕奥—萨伐尔定律

可知，电流元在场点P产生的元磁感应强度的方向，必定垂直于电流线和P点构成的平面，亦即

图中的方向，这正是以r0为半径的圆周的切线方向.因此我们有

其中是电流元与方向的夹角，从图中我们看到

对上式两边取微分，便可实现积分变量从z到的变换：

于是我们有

设这段直线电流的两个端点为a和b,则将从1变到2，对上式积分，便得到这段直线电流

在P点产生的磁感应强度

(2.2-16)

当直线电流的长度为“无限长”，即1→0，2→时,（2.2-16）将给出离开电流线为r0的任

一点处，磁感应强度为

(2.2-17)

这表明，“无限长”直线电流在其周围产生的磁感应强度，与距离的一次方成反比，它的场线—

—即B线按右手规则，相对于电流的流向形成一族与电流线为中心的同心圆.

在实际问题中，只要电流线足够长，在它中部附近r0远小于电流线长度的范围内，就有近似于

(2.2-17)的结果.

请大家考虑下面两个问题：

（1）对于通以稳恒电流的金属导线，通常我们只观测到它在外部产生的磁场，而没有观测到它

在外部产生的电场.这是为什么？

（2）但是对于离子束（无论是正离子束还是负离子束），我们会同时观测到它在外部的磁场和

电场，这又是为什么？

练习题：假定离子束沿着直线运动并且是稳定的，电流强度为I，试找出离开离子束中心为r处

的磁感应强度B和电场强度E.

例2-4]平行电流线之间的互作用力.电流强度的单位“安培”的定义.（教材P344，及P387）

[解]我们在第一章的开头就指出，在MKSA单位制中，除了长度（单位：米）、质量（单位：千

克）和时间（单位：秒）之外，电流强度（单位：安培）是第四个基本物理量.

而电流强度的单位“安培”，正是以安培定律为依据来定义的.

设两条很长且平行的线电流之间，相距为r0,电流强度分别为I1和I2,并且流向相同，如图.

由(2.2-17)，强度为I1的电流在

另一电流线上产生的磁感应强度为

于是据安培定律，电流I2中的一个电流元受到的作用力为：

(2.2-18)

负号表示此力是一个吸引力.显然，若两个电流的流向相反，则dF12将是排斥力.

两电流线单位长度相互作用力的大小是

(2.2-19)

我们以前指出，m0的数值取为4×10-7,现在令I1=I2=I,上式便给出

(2.2-20)

于是，当r0=1米，并且测得f=2×10-7牛顿/米时，两导线中的电流强度I就定义为“1安

培”.

下图就是用来测量平行电流线相互作用力的天平——“安培秤”.

[例2-5]圆电流圈的磁场（MagneticFieldofaCircularCurrent）（P355）

[解]设电流圈的半径为a，电流强度为I.我们以其中心O为坐标原点，对称轴为z轴，任一

电流元到轴上P点的距离为r,是这方向上的单位矢量.显然，由于，

故∣Idl×∣=Idl,因此，一个电流元在轴上P点产生的磁感应强度dB垂直

于与构成的平面，其值则为

由于电流分布存在着z轴对称性，我们注意到，与Idl对称的另一个电流元Idl’在P点产

生的dB’，与dB叠加后，与z轴垂直方向的分量为零，因而只剩下z方向的分量.因此，仅

需对dB的z分量

积分.记场点P到原点O的距离为z=R，则

于是，轴上P点的磁感应强度之值为

(2.2-21)

显然，在电流圈的中心O，即R=0处，有

(2.2-22)

但在远处，即R>>a时，

(2.2-23)

上面我们只求出电流圈对称轴上的场强，但大家应当注意到，这圆形电流圈的电流分布，是存在

着z轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.

电流圈的磁偶极矩（magneticdipolemomentofacurrentloop）（P390）

和它的磁场

设小电流圈的电流强度为I，面积为S，我们定义这电流圈的磁偶极矩矢量为

(2.2-24)

IS是磁偶极矩的值.按规定，矢量m的方向，亦即的方向，与电流的流向遵从右手螺旋规则，

如图.

对于上例的圆形电流圈，其磁偶极矩矢量为

于是，据（2.2-23）

这磁矩在其轴上而且很远的P点处，产生的磁感应强度就是

(2.2-25)

现在，让我们回过头去看看，一个位于坐标原点的电偶极矩在远处产生的电场强度为

（2.2-26）

它存在着z轴的对称性.在轴线上即=0的点，记r=R，我们看到，这电偶极子的电场强度

同样只有z分量：

（2.2-27）

它与上述磁偶极矩m在对称轴上的磁感应强度

(2.2-25)

十分相似——只需将p/0?与0m代换，便可实现同一点上E与B的代换！

事实上，由于这圆形电流圈的电流分布是存在着z轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同

样的对称性.更详细的理论计算表明：一个位于坐标原点、磁矩矢量为的磁偶极子，

在远处，即当r>>a（磁矩的线度）时，它所产生的磁场为

(2.2-28)

这告诉我们，磁偶极子m的磁场，与电偶极子p

的电场

存在着对称性.

磁偶极子和它的磁场

对于一般的闭合电流圈，其磁偶极矩由下式计算

（2.2-29）

其中，Idl是电流圈中的电流元，x’是电流元的位置矢量，积分遍及整个电流圈.在电流分

布于一定体积V的情形，电流

密度为J，电流元Idl是JdV’,于是

（2.2-30）

积分遍及全部电流分布的区域.

以后大家将会看到，带电粒子都有一定的自旋磁矩和轨道磁矩。

地球磁场

人们已经知道，地球的磁场很接近于磁偶极场.

但是我们发现，它的磁轴相对于地球的自转轴，一直在偏离，偏离角至今已达到110.尽管对于地

球磁场起源的物理机制，已经提出了许多模型，但是都未能很清楚地描述磁轴的偏离原因及其速

度！

由于地核的温度高达几千摄氏度，因此我们有理由相信，地球磁场主要是由地核的高温等离子体

所产生的，并且地核等离子体的转动肯定与地球的自转(地幔和地壳的自转)不同步，并且还有自

己的进动，才造成磁轴不断偏离地球自转轴.

[例2-6]通电螺线管的磁场（MagneticFieldofaSolenoidalCurrent）(p361)

[解]设螺线管的截面半径为a，长度为L，电流强度为I，总匝数为N，单位长度匝数为n=N/L,

如下图.

由上例，其中一匝在轴线上P点产生的磁感应强度为

长度为dR的一段有ndR匝,因此这段电流在P点的磁感应强度是

（2.2-29）

从图中我们看到

R=acot,dR=-acsc2d,a2+R2=a2csc2

将上述关系代入（2.2-29）式，便有

从螺线管的一端到另一端，角度b从b1变到b2.于是，全部电流圈在P点产生的总磁感应强

度就由下述积分给出

(2.2-30)

讨论上述结果：

(1)对于有限长的通电螺线管，它内部和外部都分布着磁场，如下图.

（2）当螺线管的长度L无限大，将有b1→p，b2→0，我们得到

（2.2-31）

这种理想情况相当于忽略螺线管两个端面附近磁场的不均匀性，因而把管内的磁场看成是均匀

场，磁场的B线平行于管轴；而在螺线管的外部，B=0.

在实际问题中，只要螺线管的长度L远大于其截面半径a，其内部中间附近区域的磁场就近似

于（2.2-31）表示的均匀场.

（3）对于“半无限长”螺线管，即当1=/2，2→0；或1→，2=/2，（2.2-30）

均给出

（2.2-32）

即“半无限长”螺线管在其端面的B值，只是其中部B值的一半.这从叠加原理可以得到解释.

习题：P367-3727，8，11，15，16，28

5．低速运动（非相对论的）电荷的电场和磁场（ElectricandMagnetic

FieldSofaMovingCharge-----Nonrelativistic）

现在，让我们考虑低速运动的带电粒子产生的电磁场.

大家已经知道，由n个运动带电粒子形成的电流密度为J=nqv，其中q是粒子的电荷，v

是它们的平均速度，这粒子束形成的电流元是JdV=nqvdV，ndV是体积元dV内的粒子数，于是

据毕奥—萨伐尔定律，一个运动带电粒子q在离它为r处的某点P产生磁感应强度为

（1）

令粒子的运动方向沿z轴，如图,就有

（2）

显然，磁场存在轴对称性，B线是一族与粒子运动方向正交的圆；

在q=0即粒子运动方向上，B=0，而在q=/2即粒子所在的横向平面上，磁场分布最强.

这运动电荷同时也产生电场.假定其运动速度v恒定不变，而且远小于真空中的光速c，则P点

的电场强度可表示为

(3)

如果我们在（1）式右方的分子和分母都乘以0，并注意到00=1/c2和（3），（1）式将给出

(4)

应当指出，（1）、（2）和（3）式，仅在粒子速度v<

的带电粒子（即相对论情形），上述结果必须加以修改.

(4)式告诉我们，带电粒子的电场E与磁场B，只是同一种物质的两种表现形式，两者之间存在

着紧密的关联.

[例2-7]基态氢原子中的电子在其轨道中心产生的磁感应强度.(P372第32题)

[解]按经典模型，电子围绕核运动的轨道半径a=0.53×10-10米.核和电子电荷量的绝对值均为e

=1.6×10-19库仑，电子质量me=9.11×10-31千克,1/40=8.99×109牛顿·米/库仑2,m0/4=10-7

牛顿/安培2.

电子受到的库仑力

（牛顿）

是一个向心力

由此解出电子运动速度

（米/秒）

比光速c低两个数量级，于是得到它在轨道中心（核所在处）产生的磁感应强度近似值

（特斯拉）

[例2-8]离子束的电流强度为I，求离开离子束中心为r处的E和B，并验证（4)

式.

[解]设离子束沿z轴方向流动，离子的电荷为q,平均运动速度为v=v，束截面积为S，

单位体积的离子数（密度）为n，则单位长度的电荷量=nqS，电流强度就是I=nqSv=

v.假定离子束可以看成无限长，于是在离束中心的垂直距离为r处

由此可知

某些磁场的强度

例如，在地球表面附近，从赤道（equator）到磁极，随着纬度的增高，

地球磁场的磁感应强度大约从B=3×10-5特斯拉至B=7×10-5特斯拉之间

（即0.3高斯至0.7高斯）.