分块矩阵的行列式
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2023年3月17日发(作者：独体字结构)--
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十．研究创新题
解：
1.分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换与初等矩阵
吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到
定义1分块矩阵的行(列)初等变换是指:
（1）交换两行(列)的位置;
（2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个）（ih阶）阶）（（il左(右)保
秩因子Ｈ;
（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个）（ih阶）阶）（（il矩阵Ｋ后加到第ｊ行.
定义2对应于分块矩阵
tsij
A
）（
的初等分块矩阵是指:
（1）
))((kjiP
i
=
ss
ll
ii
E
E
KE
E
11
或
ijk
P
=
ii
ll
ii
jj
E
OE
EO
E
（2）
)(HP
il
=
ss
ll
E
H
E
或
)(HP
ik
=
ii
E
H
E
11
其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子；
--
--
(1)))((kjiP
i
=
ss
ll
ii
E
E
KE
E
11
(2)或))((kjiP
k
=
ll
ll
ii
E
E
KE
E
11
初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、
右两种.直接验算可得:
定理1(1)交换
tsij
A
）（
的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵
ijL
P,其中
ijL
P
中的元素
ii
E为ｈ(i)阶单位矩阵,
jj
E为ｈ(j)阶单位矩阵,
当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,
rr
E为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换
tsij
A
）（
的第ｉ列与第ｊ列相当于
右乘一个ｎ阶初等分块矩阵
ijk
P,其中
ii
E为ｌ(i)阶单位矩阵,
jj
E为ｌ(j)阶单位矩阵,
当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,
rr
E为ｌ(ｒ)阶单位矩阵；
(2)
tsij
A
）（
的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于
tsij
A
）（
左乘一个ｍ阶分块
矩阵
）（HP
iL
中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵;
tsij
A
）（
的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相
当于
tsij
A
）（
右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵
）（HP
ik
,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵；
(3)
tsij
A
）（
的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,
相当于
tsij
A
）（
左乘一个初等分块矩阵））（（kjiP
L
;第ｊ列的每一个元素分别右乘
ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于
tsij
A
）（
右乘
））（（kjiP
k
.
定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵
tsij
A
）（
施行第一种行初等变换后,对应的行列式为
Ajih），（）（1,
其中
h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)],
l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],
施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行
列式的值不变.
证明:HHP
i
）（,AkjiP））（（显然成立.
下证），（）（jih
irL
P1,
ii
E所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至
jj
E
前,共进行ｈ
(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至
jj
E
前,
同样进行相同次交换两行,依此类推,把
ii
E所在的行移至
jj
E
所在的行前,共进行
--
--
ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把
jj
E移至适当的位置,同
理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数
为ｈ(ｉ,ｊ),故），（）（jih
irL
P1;同理），（）（jil
irR
P1.
所以有AP
ilj
=
ilj
P•A=(-1)),(lihA或
ilk
AP=A•
ilk
P=（-1）),(jilA
AHP
il
)(=)(HP
il
A=H•A或A)(HP
ik
=H•A
Akjip
l
))((=)((kjiP
l
A•=A))((kjiAP
K
=A))((kjiP
k
=A
定理3分块矩阵进行初等变换后,秩不变.
证明:对于(1),相当于对
nmij
aA
)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据
定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把
nmij
aA
)(行(列)乘以一个倍数后加
到另一行(列),故命题成立.
定理4(1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当rank(Ａ)=rank(Ａ,Ｂ)=ｍ
时有唯一解,当rank(Ａ)=rank(Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解,
当rank(Ａ) (2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当rank(Ａ)=）（TTBArank,=ｎ时 有唯一解,当rank(Ａ)=）（TTBArank,<ｎ有无穷多解, 当rank(Ａ)<）（TTBArank,时无解. 证明:(1)设rank(Ａ)=rank(Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使 Q OO OI PAr ，Q OO BB PB 21 其中 r I为ｒ阶单位矩阵, 1 B为ｒ阶方阵,设Q BB BB QX o 43 21 1, 则有:Q OO OI PAXr o Q BB BB Q 43 21 1= 43 21 BB BB OO OI Pr =Q OO BB P 21 =B 所以 o X为ＡＸ=Ｂ的解,其中 3 B, 4 B是任意的. 当rank(Ａ)=rank(Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ( m IＯ)Ｑ,Ｂ=( 1 B 2 B),显然,ＡＸ= Ｂ有唯一解: QBBQX o ）（ 21 1 ;当rank(Ａ) 同理可证(2)成立(当rank(Ａ)=rank(tA,TB)<ｎ时,X=P OO OI r 1P) 定义3对于任意的ｕ,ｖ,如果rank( ij A )=rank( ij A , iv A)=rank(T ij A,T iv A), 则称 ij A 为极大元. 定理5分块矩阵 22 ij A ）（可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是: 它有一个极大元. 证明:充分性.不妨设 11 A为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到 第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使 Q OO OI PAr 11 Q OB OA PA 2 1 21 ，Q OO AA PA 2 ' 1 ' 12 , -- -- 令Ｋ=-Ｐ 43 21 AA AA 1P,其中 3 A, 4 A为适当阶数的任意矩阵.则 K 11 A+ 21 A=P 43 21 AA AA 1PP OO OI rQ，所以 22 ij A ）（ 第一行左乘Ｋ加到第二行,得 2212 1211 AKAO AA .同理,令Ｋ＇=-1Q 42 31 ，， ，， AA AA Q, 则 11 AＫ′+ 12 A=0,所以 2212 1211 AKAO AA 的第一列右乘Ｋ′后加到第二列, 得 2212 11 AKAO OA . (如先进行列变换,再进行行变换,得 2221 11 AKAO OA ， , 因为 22 2 1 AKA= 2 ' 2 1 ' 2 2 ' 1 1 ' 1 AAAA AAAA + 22 A= 21 'AK+ 22 A,故两种运算顺序结果相同) 必要性.反证法,不妨设rank( 11 A)≠rank(TA 11 ,TA 21 )或rank(TA 11 ,TA 221 )rank( 21 A), 则由定理4,X 11 A=- 21 A或X 21 A=- 11 A无解,从而不存在Ｋ,使 22 ij A ）（对角化.同理, 当rank( 11 A)≠rank( 11 A, 12 A)或rank( 11 A, 12 A)≠rank( 12 A)时,不存在'K使 -A 11 K'=A 12 或-' 12 KA= 11 A成立. 定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块 矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化. 定理6矩阵 nm A 的一种分块方法 tsij A )(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是: 存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元. 证明:用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立; 设ｓ≤ｅ,ｔ≤ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元, 显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使 tsij A ）（ 的前ｅ 行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩 阵,记为 22 ij B ）（ .显然 11 B为极大元,根据定理4, 22 ij B ）（ 可以化成对角形: 2221 BKBO OB ,又 ）（ ）（ 111 feij AB ,它的每行、列都有极大,故由假设 11 B可以对 角化,从而 feij A ）（ ）（ 1 可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, ）（ ）（ 1feij A 可以对角 化.由此命题成立. 下面讨论对角化后的非零块 ii A进一步化简的方法. 设Q OO OI PAi ii ,1 2 1 P BO BI Li i 与 21 1 CC OI QRR i .根据定理1, i L, i R为 ii A的左(右)保秩因子,显然也是 ii A所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的 分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘 i L,右乘 i R后, ii A可以化成 OO OI i -- -- 讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式. 设I为S×S分块单位阵: I= s r r r r I I I I 3 2 1 其中Ir i 为r i 阶单位阵(1≤i≤S),对I施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等 阵,它们的行列式有下列计算公式. 引理分块初等阵的行列式有以下性质: (1)|I(i,j)|=)1(,其中τ=r i (r i +1+…+r j )+r j (r i +1+…+r j -1)(i 特别地,若j=i+1,则|I(i,j)|=(-1)r i r j ; (2)|I(i(K))|=|k|,其中K是r i 阶可逆阵; (3)|I(j(K),i)|=1,其中K是r i ×r j 矩阵.证 (1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性 质,|I(i,j)|=)1(|I|=)1(. (2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知. 由于对分块方阵A施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我 们有下列分块方阵的行列式计算性质. 定理7设A是一个分块方阵. (1)交换|A|的i,j两行(列),行列式变为(-1)τ|A|, 其中τ=r i (r i +1+…+r j )+r j (r i +1+…+r j -1); 特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i行和i+1行),行列式变为(-1)r i r i +1|A|; (2)用一个r i 阶可逆阵K左(右)乘|A|的第i行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|; (3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上, 行列式不变. 由定理7的(2)可得 推论分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式|K|的形式 提到行列式符号外. 2．分块矩阵初等变换的应用 一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆. 廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一 文中提到 例1:已知 CO DB P其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并 求1P.分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等 变换,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普 拉斯展开,有CB CO DB P·≠0,故Ｐ可逆.求C有三种办法: 解法一:利用广义初等行变换法. -- -- E E C DB 0 0 0 B1r 1 ,C1r 2 1 11 0 0 0C B E DBE (B1D) 2 r+r 1 1 111 00 0 C DCB E BE 故P1= 1 111 0C DCBB 本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩 阵相同.作初等行(列)变换时,对矩阵Ｐ应左(右)乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的 过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下: 解法二:可用左乘分块初等阵的方法求1P 1 1 0 0 C B C DB 0 = 1 1 0C DBE 有 E DBE 0 1 E DBE 0 1 = E E 0 0 即： E DBE 0 1 C B 0 01 C DB 0 = E E 0 0 =E 故有P1= C DB 0 1= E DBE 0 1 1 1 0 0 C B = 1 111 0C DCBB 例2：已知A= 10 01 000 000 6 4 3 5 2 1 100 010 001 ，求A1. 分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分 块矩阵初等变换法求1A. 利用分块矩阵初等变换法 先A化分成分块矩阵，即A= 10 01 000 000 6 4 3 5 2 1 100 010 001 = C DB 0 其中B= 100 010 001 ，C= 10 01 ，D= 65 4 3 2 1 从而求得B1= 100 010 001 ，C1= 10 01 然后对A进行广义初等变换，即： -- -- E E C DB 0 0 0 B1r 1 ,C1r 2 1 11 0 0 0C B E DBE (B1D)r 2 +r 1 1 111 00 0 C DCB E BE A1= 1 111 0C DCBB = 10000 01000 65100 42010 31001 如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单. 二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值 宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分 块矩阵”的逆矩阵》一文中提到 例3设P= DC BA 是一个分块方阵,其中A是r阶可逆阵,求|P|. 解:由推论及定理7的(3): P= DC BA =A DC BAI r 1 =A BCAD BAI r 1 1 0 =ABCAD1 若A与D可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A与C可交换(即AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例 例4设D n2 = dc dc ba ba ,其中a≠0,求|A| 解：D n2 = dc dc ba ba = DC BA 由于A,C可交换,所以 D n2 =CBAD= • bc bc ad ad ==|(ad-bc)I|=(ad-bc)n 例5设A,B,C和D是n阶方阵,试证明 DC BA = AB CD 证两次利用定理4的(1),得 -- -- DC BA =（-1）2n BA DC =（-1）2n（-1）2n AB CD = AB CD 三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩 史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一 文中提到： 矩阵的秩有以下初等性质: 设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒ B CA 0 ≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｂ) 并且当Ａ(或Ｂ)是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立. 例6.设Ａ是ｍ×ｎ阵 DC BA 的非异顺序主子阵, 则r DC BA =ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-ＣＡ1Ｂ) 证： rm r ICA I 1 0 • DC BA = BCAD BA 10 而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ DC BA = BCAD BA 10 ≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-CA1B) 例7.设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑ ij )为反对称矩阵,证明:ｒ(Ａ)必为偶数 证:对ｎ用归纳法 ｎ=1,2是命题显然成立 设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成 Ａ= DB CA 1,其中Ａ 1 = 0 0 12 12 a a 不妨设 12 a≠0. IBA I 1 1 0 DB CA 1 I CAI 0 1 1= CBAD A 1 1 1 0 0 ∴ｒ(Ａ)=ｒ DB CA 1=ｒ CBAD A 1 1 1 0 0 =ｒ(Ａ 1 )+ｒ(Ｄ-ＢＡ1 1 Ｃ) =2+ｒ(Ｄ-ＢＡ1 1 Ｃ) 但Ｄ-ＢA1 1 Ｃ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡ1 1 Ｃ)为偶数, 故ｒ(Ａ)为偶数. 四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用 例8.设Ａ=(ａ ij )是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零, 证明:存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ 证:对ｎ用归纳法 ｎ=1时显然成立 设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ= nn n a A 1 -- -- 由归纳假设对Ａ 1n = 1,11,1 1,11,1 nnn n aa aa 有Ａ 1n =Ｂ 1 Ｃ 1 其中Ｂ 1 Ｃ 1 分别是ｎ-1阶 非异下三角形与上三角形矩阵 1 0 1 1 1 n n A I • b aA n 0 1,其中b= a nn -1 1 n Aa 上式两端取行列式有：A= 1n A•b, b 0 b A n 0 0 1= I CB 0 0 11• b aBC 0 1 11 于是得：A m n a A 1= 1 0 1 1 1 n n A I • 10 0 1 B b BC 0 1 11 =BC 其中B= 1 0 1 1 1 n n A I 1• 10 0 1 B = 1 0 1 1 1 n n A I 10 0 1 B = 1 0 1 1 1 C B , C= b BC 0 1 11 B= 1 B 0,C=b 1 C0 B与C分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵. 类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵 进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.