系数行列式

系数行列式

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2023年3月17日发(作者：丰收的近义词)

朗斯基行列式

1

定义

:

由定义在区间上的

k

个可微

k-1

次的函数所作成的行列

式：

称为这些函数的朗斯基行列式。

定理

1:若函数在区间上线性相关

,

则它们在

[a,b]

上的朗斯基行

列式

.

证明

:

从题设可知

,

存在一组不全为零的常数使得

,①

依次对

t

微分此恒等式

,

得到

②

把方程

①

和方程组

②

看成是关于的齐次线性代数方程组，那么它的系数

行列式就是

.

由线性代数的理论我们可以知道

,

要此方程存在非零解

,

它的系数行列式必须为零

,

即

.

证毕

.

注意

:

定理

1

的逆定理一般是不成立的

.

实际上

,

很容易就能给出这样的函数

.

由其构成的朗

斯基行列式恒为零

,

但它们却是线性无关的

.

例

1:

和

在区间上

,

显然有

,

但它们在此区间上却是线性无关的

.

因为

,

假设存在恒等式

.

则当时，推得

;

而当时又推得

.

即除了之外，

找不到其它不全为零的常数可以使得恒等式在区间

[-1,1]

上都成立

.

因此是线性无关的

.

推论

1:

如果向量组

(

函数组

)

在区间

[a,b]

上存在一点处的朗斯基行列

式不等于零

,

即

W

(