求导方法

发布时间：2023-06-12 作者：admin 来源：文学

求导方法

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2023年3月17日发(作者：史爽)

高等数学第九章多元函数微分学1

§6隐函数的求导公式

回忆所学知识：求方程0

yyexy

所确定的隐函数的导数：方程两边对x求导，得

0











yyeyyeyyxy



eyex

yy





在一元函数微分学中，受知识的限制，在实际应用的需要下，我们回避了在什么条件下隐函数才

能存在并且可导这个关键问题，通过例题直接给出了在不显化隐函数的情形下求隐函数导数的方法—

—将y看成复合函数、方程两边对自变量x求导。现在有了多元函数偏导数的知识，我们不但可以给

出隐函数存在且可微的条件，而且可以给出隐函数的求导公式。

定理1(隐函数存在定理1)设函数F

(x,y)

在点P

)的某邻域内具有连续偏导数，且

),(,

),(

0000

yxFyxF

，则方程F

(x,y)

=0在点P

)的某邻域内能唯一地确定一个具有连续

导数的函数y=f(x)，它满足条件y

=f(x

)，且有

),(

yxF

x

.(1)

关于定理中隐函数的导函数的存在性与连续性的证明不能给出了，仅就公式的正确性予以证明：

将方程F

(x,y)

=0所确定的函数y=f(x)代入方程，得恒等式

)](,[xfx

F，

左端是x的复合函数，由复合函数求导法则，得

0







∵F

(x,y)

=0连续，且

0),(

yxF

，∴存在P

)的某邻域，使得在此邻域内

),(



yxF

y，

故有

),(

yxF

x

注(1)是用偏导数表示隐函数导数的公式，至此求由二元方程确定的一元隐函数的导数就有

了两种方法：①公式法；②直接求导法。

当F

(x,y)

的二阶偏导数也都连续时，我们还可由复合函数求导法则得到隐函数的二阶导数公

式(P.85)，其推导过程请自读。但千万不要死记这个公式，应像在上册中所做的那样，将其一阶导数

),(

yxF

x

看成复合函数，方程

),(

yxF

x两边直接对

求导即可。

例1验证方程

0122

yx

在点(0,1)的某邻域内能确定一个连续可导的隐函数，并求隐函数

在点x=0处的导数值。

解设F

(x,y)

122yx

，则

02)1,0(,0)1,0(,2,2

FFyFxF

，

由定理1知，方程

0122

yx

在点(0,1)的某邻域内能确定一个连续可导的隐函数，由(1)式可得

x





xxy

定理1是用偏导数的概念解决了上册中遗留的问题，即由二元方程确定的一元隐函数的导数。自

然的问题是如何由三元方程确定二元函数的偏导数？我们有

定理2(隐函数存在定理2)设函数F(x,y,z)在点P

)的某邻域内具有连续的偏导数，且

(x,y)

高等数学第九章多元函数微分学2

)

,(,

)



yxF

，则方程F

(x,y,z)

=0在点P

)的某邻域内能唯一地确定

一个具有连续的偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件z

=f(x

)，且有









.(2)

同于定理1，我们也只给出公式(2)的验证:

将方程F

(x,y,z)

=0所确定的函数z=f(x,y)代入方程，得恒等式

)]

(



，

左端是x,y的复合函数，分别对x,y求导，得

0,0









zyzx

，

∵F

(x,y,z)

=0连续，且

0),,(

zyxF

，∴存在P

)的某邻域，使得在此邻域内

)

z

yxF

，故有









例2求由方程



zxye

所确定的隐函数

),(yxzz

的偏导数



解解法一(公式法)令zxye

ezyx



2)

,,(

，则

eFxeFyeF2,,，

由公式(2)得

2















解法二：方程两边对x求偏导得

02

yxzezye



2





z，

同理得







注实际上方法二就是公式(2)的证明方法，不必记忆公式(2)，直接应用这个方法即可。

例3求由方程

022

3

yzx

所确定的隐函数

),(yxzz

的二阶偏导数



2

解设232),,(yzxzzyxF

，则xzFyFzF

23,2,22，

由公式(2)得

2





，再对y求偏导得

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

zzz

zyy























注由方程联立组成的方程组在一定的条件下也能确定一组可微的隐函数，并且这些隐函数的

(偏)导数也可由方程组直接求得，我们就不以定理的形式叙述了，只通过一个例子对方法进行说明。

例4设方程组











vuyx

确定u,v是x,y的隐函数

),(),,(yxvvyxuu

，求

yxyx

vvuu,,,

高等数学第九章多元函数微分学3

解方程组中每个方程两边对x求偏导数得







vuu

，解关于

vu,的二元一次方

程组

vuu









，

得

)(2

2222vu

yvxu

yuxv

xx

















，

类似地，方程组中每个方程两边对y求偏导数可得关于

vu,

的二元一次方程组



vuu









，

)(2

2222vu

xx

















§8多元函数的极值

一、多元函数的极值

模仿一元函数极值的概念可以给出多元函数极值的概念，并且也可以用多元函数的偏导数来判定

是否有极值。我们仍以二元函数为例介绍多元函数极值的概念与求法。

定义设函数z=f(x,y)在点P

)的某邻域内有定义，若对该邻域内任一异于P

)的

点P

(x,y)

，恒有

)),(),((),(),(

0000

yxfyxfyxfyxf或

则称函数在P

)点取得极大值(或极小值)，并称点P

)为函数z=f(x,y)的极值点，极大

值(或极小值)统称为极值。

例如，函数22yxz

在点

)

(

取得极小值(图9-1a)；函数223yxz

在点

)

(

处取

得极大值；函数

yxz

在点

)

(

处不取得极值。

图9-1a图9-1b图9-1c

定理1(极值存在的必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x

)具有偏导数，且在点(x0

)取到极

值，则函数在该点的偏导数为零，即

克拉姆法则：二元一次线性方程组

22221

11211

byaxa



的系数行列式D≠0时，

有唯一解

x21,



，其中

D是用

,bb替换D的第i列所得行列式

高等数学第九章多元函数微分学4

0),(,0),(

0000

yxfyxf

证∵二元函数z=f

(x,y)

在点(x

)取得极值，∴一元函数z=f(x,y

)就在点x

取得同类极值，

由一元函数取得极值的必要条件可知，必有

),(

0

xxxd

yxfd

0),(

yxf

，

同理可推得

0),(

yxf

注类似于一元函数，我们也称点(x

)为二元函数z=f

(x,y)

的驻点。显然驻点未必是函数的极

值点，如上例中

)

(

是函数

yxz

的驻点，但不是其极值点。但具有偏导的函数的极值点必是驻点。

也就是说对于具有偏导数的函数其极值点的寻求范围就是驻点中换句话说，要求具有偏导的函数的极

值的第一步是将其全部可能的极值点找出来，即求其驻点。问题是找出驻点后，如何在驻点中将极值

点寻找出来，也就是说驻点满足什么条件就必是极值点？对此有下面的定理。

定理2(极值存在的充分条件)设函数z=f

(x,y)

在点(x

)的某邻域内有连续的二阶偏导数，且

)是其驻点，即

0),(,0),(

0000

yxfyxf

，

记

CyxfByxfAyxf

yyyx

),(,),(,),(

000000

，则

⑴当

02BAC

时，函数f

(x,y)

在(x

)取得极值，且)

(

0CA或

时，f(x

)为极小值，

)

(

0CA或

时，f(x

)为极大值；

⑵当

02BAC

时，函数f

(x,y)

在(x

)不取得极值；

⑶当

02BAC

时，函数f

(x,y)

在(x

)可能取得极值，也可能不取得极值，即定理失效。

证明略。

从以上可综合出求具有偏导数的二元函数极值的步骤如下：

①解方程组









),(

yxf

x求驻点，以及函数偏导数不存在的点；

②计算各驻点处二阶偏导数CBA

；

③由各驻点处2BAC

及A(或C)的符号，确定f(x

)是否是极值，是极大还是极小。

例1求函数

xyxyxyxf933),(2233

的极值。

解解方程组















63),(

;0963

),(

yyyxf

yxf

得到四个驻点：)

(),

0,1

(，又66

66







yyxy

在驻点(1,0)处，6

12CBA

0120722







ABAC且

，

，所以

)

(f

为函数的极小

值；

(1,2)处，6

12CBA

722





BAC

，所以函数在该点无极值；

(-3,0)处，6

12CBA

722





BAC

，所以函数在该点无极值；

(-3,2)处，6

12CBA且

0120722









ABAC且

，

，所以31

)

(



为函数的

极大值。

注一元函数的驻点是可能的极值点，但非驻点也有可能是极值点，哪类点？——不可导点。完

全雷同于一元函数，二元函数的偏导数不存在的点，肯定不是驻点，但它仍然有可能是函数的极值点。

例如函数22yxz

在点

)

(

处的偏导数不存在，但此点是它的极小值点(图9-2)。应此在求二

高等数学第九章多元函数微分学5

元函数极值的步骤中的①应加上“以及函数偏导数不存在的点”

二、二元函数的最大值与最小值

类似于一元函数的最值问题，也可用多元函数的极值解决函数的最值问题，并且也不是任一最值

问题均可求解，同于一元函数，我们也只研究三种情形：

⑴若函数f=(x,y)在有界闭区域D上连续：由连续函数的性质知，它在D上必取得最大值M

和最小值m，且最值或在内部取到，或在边界取到。若最值在内部取到，则它必为极值，因此只需将

函数在内部的极值和它在边界上的最值求出来，然后比较这些值的大小，最大的就是M，最小的就是

m，——称这种方法为比较法。

⑵若函数f(x,y)在开区域E内可微：可以证明，如果可微函数f(x,y)在开区域E内有唯一的驻

点(x

)，则f(x

)是极大(小)值时，也就是函数的最大(小)值。——这是一种很特殊的情况。

⑶实际问题：利用⑵的结论可知，若由实际可确定问题的最大(小)值一定在内部取到，且目标函

数在开区域E内可微且只有唯一驻点(x

)，则f(x

)就是所求的最大(小)值。

我们举两个例子。

例2要造一容积为V

的长方体无盖水池，问应如何选择水池的尺寸，使其表面积为最小。

解设水池的长为x，宽为y，则高应为

z0

，水池所用材料的面积为

)),

(()(200x

yyxS，

令

0

ySy

，得函数的唯一驻点：

)

，由于在此驻点处有

2

yyxyxx

SSS

，所以

032

BAC

，且

02A

，故

)

是极小值。

由于函数在内处处可微，且在唯一驻点处取到极小值，所以

)

就是函数的最小值，

即水池的长、宽均为3

，高为3

时，其表面积最小。

注例2采用的是⑵的方法，即可微函数在开区域内求得的驻点唯一后，再判定驻点是否极值、

极大还是极小即可。

例3有一宽为24cm的长方形铁皮，将它两边折起做成一截面积为等腰梯形的水槽(图9-3)，问

如何截其截面积为最大。

解设等腰梯形的腰长为x，腰与底边的

夹角为，则截面积

)

(

cosinssin2sin24

sin

)

224cos2224

(

),(









xxxx

xxxxxS

图9-3

令











0)sincos(cos2cos24

;0cossin2

s4sin24

22



xxS

注意到0

sin

x，故上式等价于

0)sincos(cos2cos24

;0cos221

22







解得驻点



x

，由题意可知水槽的最大截面积一定存在，且在区域

120),{(





高等数学第九章多元函数微分学6

内部取到，又因截面积函数),(xS在内可微且只有唯一的驻点，故当

8x

(cm),





时截面积最大。

注例3是按方法⑶解的，即在求得可微函数在开区域内有唯一驻点后，再判断所给实际问题的

最值是否必在此开区域内取到即可。

三、条件极值与拉格朗日乘数法

前面讨论的极值问题中，例1除了限制自变量在定义域内变化外，无其他限制条件，故统称为无

条件极值。但例2除对自变量长x和宽y在区间

(

内变化外，还限制它们与高z满足条件：

Vzyx，这类另有附加条件(或说约束条件、限制条件)的极值问题，我们统称之为条件极值。

由于例2的附加条件比较简单，可直接从中解出

z0

，代入其面积函数S(x,y,z)就转化为无

条件极值问题了。但很多情形下难以完成这个转化，自然的想法是：能否不转化而直接求条件极值，

拉格朗日乘数法解决了这个问题。我们就从问题的结果推导一下这个方法：

函数z=f(x,y)在点(x

)取得极值，则必定满足0

),(



yx

，假设f、在(x

)的某邻域内

具有连续的偏导数，且

),(







，由隐函数存在定理1(P.85)知，

0),(yx

可确定一个有连续

导数的函数

)(xy

，将它代入函数z=f(x,y)可得一元复合函数)](,[xxfz，则函数z=f(x,y)

在点(x

)取得极值就转化为复合函数)](,[xxfz在点x0

处取得同类极值。由一元函数取得极值

的必要条件知

0),(),(]),(),([

000

0000



xx

xxxd

yxfyxf



),(

),(),(

0000







yxfyxf

yx



，

∴函数z=f(x,y)在条件

0),(yx

下取到极值的必要条件为：

















),(

;

),(

),(),(

0000

yxfyxf



若记

),(





，这里可视为待定常数，又

),(





0

),(),(

0000





，

因此函数z=f(x,y)在约束条件

0),(yx

下取到极值的必要条件就是















),(

,0),(),(

0000

yxyxf









⑴

方程组⑴中的第一、二两式分别就是函数),(),(),,(yxyxfyxF在点(x

)处的两个偏导数，

第三个式子就是函数F对的偏导数。

由上面的讨论可得到下面求条件极值的

拉格朗日乘数法：要求函数z=f(x,y)在约束条件

0),(yx

下的极值，先设一辅助函数

),(),(),,(yxyxfyxF———称之为拉格朗日函数，

再由函数),,(yxF建立无条件极值的必要条件，即方程组(1)

高等数学第九章多元函数微分学7















),(

,0),(),(

0000

yxyxf









由此方程组解出,,yx的值后，则点),(yx就是函数),(yxf在约束条件

0),(yx

下可能的极值点。

注注意上述方法只是取得极值的必要条件，故由方程组⑴得到的点只是可能的极值点，还

必须进一步加以判定是否是极值点。

在实际问题中，若求得的可能极值点是唯一的，由上节方法⑶，则可以判定它是否是极值点。

但方法⑵不能用了，即不能对由拉格朗日乘数法得到的可能极值点判定CBA,,的符号来确定

是否取得极值。想一想为什么因此拉格朗日乘数法主要适用于实际问题。

例5经济学中有一生产函数(即产量函数)的模型为1),(yxcyxf

，其中表示劳动力数量，

表示单位资本数量，与都是常数，它们根据生产的具体条件而确定。

现已知某企业某种产品的生产函数是4

3),(yxcyxf，每个劳动力及每个单位资本的成本分别是

150元和250元，该企业的总投资预算是50000。如何分配这笔资金用于安排劳动力与单位资本投入，

才能使生产量最高？最高生产量是多少？

解问题即求条件yx下函数4

3100),,(yxyxf的最大值。作拉格朗日函数

)25015000050(100),,(4

3yxyxyxF，

解方程组

















）（

）

（

025025

015075

yxF



由两⑴、⑵式可得

1yxyxyx5，

再代入⑶式得

250

50xy

因为)

250

(是唯一可能的极值点，又由问题的实际意义知应有最大值，故企业应安排250个劳

动力，而把其余的资金作为资本投入方可获得最高生产量，最高生产量为71916)

250

(f.

注拉格朗日乘数法可以推广到二元以上的函数和一个以上的约束条件中去：

如函数),,(zyxfu在条件下0),,(,0),,(zyxzyx的极值问题，就应作拉格朗日函数为

),,(),,(),,(),,,(zyxzyxzyxfzyxf，

方程组则应由

0



FFFFF

zyx

构成。

例4用拉格朗日乘数法求解前面的例2。

解例2就是面积函数)(2),,(zxzyyxzyxS在约束条件

Vzyx

下的条件极值问题。

作拉格朗日函数

)()(2),,,(

VxyzxzyzxyzyxF，

求各偏导，得方程组















，

022

xyzF

yxxyF

zxzx

zyzyF



3

zyx

，

因为这是唯一可能的极值点，再由实际问题的意义知，条件最小值一定存在，所以

),,(zyxS

在点

)

VVV

处取得最小值。

高等数学第九章多元函数微分学8

§7多元函数微分法的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面

二、曲面的切平面与法线

设Σ为空间一曲面，M

是Σ上一点，如果Σ上任意一条过点M

的曲线在M

有切线，且所有切

线

PPDDDDDDE=00=0F=0F=0Fffffff0

0),(yxF§xOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxO

yxOyxOyU(P

,)U(P

,)U(F=0)U(P

,)U(P

,)

yzz(x)()①①①②②②①定义在有界闭区域上的连续函数；②(x0

)(x)u

uuuu

21212

OOOOrraa、→rrrrrr[r,-r][r,-r].R=，(x0

)

N∞∞[

dxxx



]由则(自然数)，⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑵⑵⑵⑵⑵⑶

⑷∵∵∵∵∵∴∴∴

),(

n

lim

ΣΣΣΣ

)

()

(

(x0

)(x0

)有条件极值问题



0),(yx

()urrss12

[

dxxx



][r,-r][r,-r]rraaaaaaabbbbbbIISSRPPPPPPPPSS

innnnnnnnnMmmmDMV

000

21212tttttttxxxxxyyyyyyyyy

1,,x2SS

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