两向量的向量积

两向量的向量积

圆的认识优秀教学设计-单向晶闸管

2023年3月17日发(作者：健康歌)

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张喜林制

2.3.2向量数量积的运算律

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

考点知识清单

1．向量数量积的运算律：

(1)交换律：

(2)分配律：

(3)数乘向量结合律：

2．常用结论：

3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若

a),,(

21

aa),,(

21

bbb则ba

4．设).,(),,(

2121

bbbaaa

如果,ba则

如果,0

2211

baba则

对于任意实数k，向量),(

1

2

bbk



与向量),(

21

bb垂直．

5．向量),,(),,(

2121

bbbaaa则||a,cosab

6．若),,(),,(

2211

yxByxA则),,(

1212

yyxxAB所以||AB

要点核心解读

1．向量数量积的运算律

abba)1(（交换律）；

)()())(2(bababa（结合律）；

cbcacba))(3(（分配律）．

2．向量数量积的运算律的证明

abba)1(（交换律）

证明：,,cos||||,cos||||abababbababa

)()()()2(bababa（结合律）

证明：.,cos||||)(bababa①

当0时，a与a同向，),,(,baba

当0时，,00)0()(bbaba

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,0时当ba与反向，),,,(baba

综合以上可得.,cos||||)(bababa

③由②同理可证得：.,cos||||)(bababa

综合以上可得：.||||)()()(babababa.,cosba

cbcacba))(3(（分配律）

证明：作轴L与向量c的单位向量

0

c平行．

如图2-3-2-1，作ABaOA,,b则

.baOB

设点0、A、B在轴L上的射影为、O,//BA

、

跟据向量的数量积的定义有

但对轴上任意三点,//BAO、、都有,0////BAAOB

即

,)(

000

cbcacba

上式两边同乘以|,|c由

ccc

0

||得：

∴得证．

3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点

(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交

换律．

(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有

(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律

(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，

.aCbacb)()(是错误的，这是因为

cbba与都是数量，所以cbacba)()(与分别表示a的共线向量和c的共线向量，当然就不能相等．

(5)由,)()(dbcbdacadcba可得向量的三个运算公式：

4．向量内积的坐标运算

建立正交基底}.,{

21

ee已知),(),,(

2121

bbbaaa，则

因为,0,1

12212211

eeeeeeee所以我们得到数量积的坐标表达式：

5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

设),,(),,(

2121

bbbaaa

则.0

2211

bababa

6．向量的长度、距离和夹角公式

(1)如图2-3-2-2，已知,

1

aa（),

2

a则),(),(||

2121

2aaaaaaa.2

2

2

1

aa

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因此①

这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，

这个公式用语言可以表述为：

向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．

(2)如果),,(),,(

2211

yxByxA则

),,(

1212

yyxxAB从而

②

AB的长就是A、B两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中

得到的两点距离公式完全一样．

(3)设),,(),,(

2121

bbbaaa

则两个向量夹角余弦的坐标表达式

7．如何运用坐标来解决垂直问题

(1)设两非零向量),,(),,(

2211

yxbyxa则ba.0

2121

yyxx

利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．

例如：已知：0)sin,(cos),sin,(cosba),则ba与ba是否互相垂

直？并说明理由．

解：由已知),sin,(cos),sin,(cosba有ba),sinsin,cos(cos

又(sin)cos)(coscos(cos)).(baba).sin)sin(sin

.0sinsincoscos2222所以).()(baba

(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a与b的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用

坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：

8．利用数量积求两个向量的夹角

一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也

不能得到它们的夹角一定为钝角．

设a，b为非零向量，如果,0ba那么a，b的夹角为锐角或a，b同向，反之也成立；如果,0ba

那么a，b的夹角为钝角或a，b反向，反之也成立，

典例分类剖析

考点1判断向量运算的正误

[例1]给出下列命题：①设a、b、c是非零向量，则cba)(与c共线；②若a,Rb

且),0



则0;baba③与a⊥b是等价命题；④若,.cbca则;ba⑤若a与b共线，则.||aba

|;|b⑥若.0ba则),(ba是钝角．

其中真命题为（填序号）．

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[解析]向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成

立．

①因为a×b是一个实数，不妨记作，故.)(cba,//ccC所以①正确．

,0)(0bababa②因为,0



所以,0ba所以,ba故②正确．

③因为,cos||||,0bababa所以0||0||ba或或,0cos所以0a或0b或

.90又因为规定O与任意向量垂直，所以.ba反之，.0cos90,ababa

,090cos||||bab故③正确．

cbca④不一定有.ba例如,,Cbca且,2ba此时,0cbCa但.ba

故④错．

⑤a与b共线ba与方向相同或方向相反0,ba或.||||),(bababa故⑤错，

⑥因为,cos||||,0baabba所以,0cos所以),,

2

(



所以为钝角或平角，故⑥错．

[答案]①②③

[点拨]此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用

也较广泛，注意特殊情况

1．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为()．

;//||||||bababa①②a、b反向.||aba|;|b

|;|||bababa③④a

;cbcab⑤.000baba或

考点2向量的混合运算

[例2](1)已知

,2||,4||,120baba则a|)()2(|babab

(2)若向量a、b、c满足,0cba且,1||,3||ba.4||c则accbba

[解析]（1）)()2(bababa

(2)根据已知条件，可知a与b同向，c与a+b反向．

解法一：由已知得.|,|||||bacbac可知向量a与b同向，而向量c与它们反向，

解法二：

),(2)(2222accbbacbacba

[答案]

2132)1(



13)2(

[点拨]①利用公式2||aaa和向量数量积的运算性质计算．

②(2)问解法二是利用2222)(bbaaba推广到2)(Cba222Cba

)(2accbba予以解答的．

2．已知

,21||,5||,4||baba

求：

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)2()2)(2(baba的值，

考点3利用数量积及运算律求横

[例3]已知向量a、b满足,1||||ba且,3|23|ba求|3|ba的值．

[解析]通过数量积a×b来探求已知条件3|23|ba与目标式|3|ba之间的关系.

又,9)23(,3|23|2baba

,9||412||922bbaa将,1||||22ba代入有,

3

1

ba

而,121

3

1

69||6||9)3(222bbaaba

[点拨]解题过程中要注意模与数量积之间的转换．

3．已知向量a、b、c满足：.0acba，（:)(:)cbb)(ac),23(:3:1

当1||a时；

求||b及||c的值．

考点4向量夹角问题

[例4]已知a，b是两个非零向量，且|,|||||baba求向量b与ba的夹角．

[解析]我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a、b为邻边的平行四边形．如图2-3-2-

3所示，若,,bBCaAB则

CA,B,baDba由aba||||||,b可知

,60oABCb与BD

所成角是.150

我们还可以利用数量积的运算，得出b与a-b的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种

方法解题，由

||||

)(

,cos

bab

bab

bab





作为切入点，

而.||

2

3

||||

2

1

)(2222bbbbabbab

①

由22222||)

2

1

(2||)(2)(bbbbaaba,|31||22bb

而

.||3||,||3)(||222bbabbaba②

代入①②得







2

3

||3||

||

2

3

,cos

2

bb

b

bab

又

6

5

),(],,0[,



babbab

4．已知.3||,4||ba

(1)若a与b的夹角为

,600求ababa|),3()2(|;3||,2bab

(2)若,61)2()32(baba求a与b的夹角．

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考点5垂直问题

[例5]已知,4||,5||ba且a与b的夹角为,60问：当且仅当k为何值时，向量bka与ba2

垂直？

[解析]利用,0baba得到关于k的方程，通过解此方程得到k的值．

于是,4||,5||ba且a与b的夹角为,60o

又向量bka与ba2垂直，.0)2()(babka

则有k,0||2)12(||22bbaka

即,042)12(10252kk

解得

15

14

k

[点拨]非零向量a，b若满足,0ba则,ba反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：

(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．

5．已知a、b都是非零向量，且ba3与ba57垂直，ba4与ba27垂直，求a与b的夹角．

考点6向量线性运算与数量积的综合问题

[例6]△ABC三边的长分别为a、b、c，以A为圆心，r为半径作圆，如图2-3-2-4，PQ为直径，

试判断P、Q在什么位置时，QBPC有最大值？

[解析]由三角形法则构造PB及QC的数量积转化为实数范围内求最大值，

即,APCCQAQAAC

当AP与

CB

同向时，

CBAP

最大为.||.||raCBAP

即当CBQP与共线且同方向时，QCBP有最大值Abccos.2rar

[点拨]利用||||baba求最值，但必须先构造出..QPCB

6．如图2-3-2-5，在Rt△ABC中，已知,aBC若长为2a的线段PQ以点A为中心，问：CQBP与

的夹角为何值时，.CQBP的值最大？并求出这个最大值，

考点7向量内积的坐标运算

[例7]已知),3,1(),1,2(ba若存在向量c，使得：.9,4Cbca试求向量c的坐标．

[解析]设),,(yxc则由4ca可得

;42yx又由9cb可得.93yx

于是有











,93

,42

yx

yx

解得











.2

,3

y

x

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[点拨]已知两向量a、b，可以求出它们的数量积a×b，但是反过来，若已知向量a及数量积a×b，

却不能确定b．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量

积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．

7．巳知,1),4,2(),3,2(（cba),2求.)()(),)((,2baCbabababa

考点8运用坐标运算处理垂直问题

[例8]在△ABC中，),,1(),3,2(kACAB且△ABC的一个内角为直角，求k的值．

[解析]题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，

当90A时，;

3

2

,0312,0C.BkkAA

当90B时，)3,21(BC,CAB),3,1(k

当oC90时，,0)3(1,0CCkkBA

3

2

k或



2

133

3

11

或

8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y轴上是否存在一点C，使得.90ACB若不存在，请

说明理由；若存在，求出点C的坐标．

(2)已知),2,4(a求与a垂直的单位向量的坐标，

考点9运用坐标运算求向量的夹角

[例9]已知a、b是两个非零向量，同时满足ba|||,|ba求a与ba的夹角．

[解析]解法一：根据

,|||||,|||22baba有

又由|,|||bab得

,||.2||||222bbaab

而

,||3||2||||2222abbaaba

设a与ba的夹角为，则

解法二：设向量),,(),,(

2211

yxbyxa

由|,|||bab

得),(

2

1

2

1

2

12121

yxyyxx即)(

2

1

2

1

2

1

yxba

由),(3)(

2

1

2)(2||2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2yxyxyxba

得.3||2

11

yxba

设a与ba的夹角为，则

解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2-3-2-6)．在平面内任取一点O．作

BOAbOBaOA0,,、以为邻边作平行四边形OACB.

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|,|||ba即|,|||OBOA

∴四边形OACB为菱形，OC平分,AOB

这时,,0baBAbaC

而|,|||||baba

即.||||||BAOBOA

∴△AOB为正三角形，则,60AOB于是,30AOC

即a与ba的夹角为.30

[点拨]基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．

9．(1)已知

),1,1(),432,2(ba

求a与b的夹角．

(2)已知),1,1(),2,1(ba且a与ba的夹角为锐角，求实数A的取值范围，

考点10向量坐标运算的综合应用

[例10]已知),

2

3

,

2

1

(),1,3(ba且存在实数k和t，使得,)3(2btax,tbkay且

,yx试求

t

tk2

的最小值．

[解析]由题意可得,2)1()3(||22a

,0

2

3

1

2

1

3ba故有.ba

由,yx知

,0)(])3([2tbkabta

即

,0)3()3(2232bakkttbttka

∴可得

4

33tt

k





故,

4

7

)2(

4

1

)34(

4

1

22

2





ttt

t

tk

即当2t时，

t

tk2

有最小值为

4

7

[点拨]向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函

数问题，然后利用函数的相关知识来解决，

10．已知向量

,sin2(),1,sin3xbxa（],

3

2

,

6

[),1



x记函数,)(baxf求函数)(xf的值域．

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学业水平测试

1．若),5,3(),2,(ba且a与b的夹角为钝角，则A的取值范围是()．

2．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A),1,0()1,4(CB、则△ABC的形状为()．

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不对

3．给定两个向量),1,2(),4,3(ba且),()(baxba则x等于()．

4．已知),1,1(),2,3(BA若点)

2

1

,(xP在线段AB的中垂线上，则x

5．已知,,21),1,0(),0,1(mjibjaji给出下列命题：

①若a与b的夹角为锐角，则;

2

1

m②当且仅当

2

1

m时，a与b互相垂直；③a与b不可能是方向

相反的向量；④若|,|||ba则.2m其中正确的命题的序号是

6．求与向量)1,2(),2,1(ba夹角相等的单位向量c的坐标

高考能力测试

（测试时间：45分钟测试满分：100分）

一、选择题（5分×8=40分）

1．（20XX年湖北高考题）设baa在),3,4(上的投影为,

2

25

b在x轴上的投影为2，且,14||b则b为

()．

2．（20XX年辽宁高考题）平面向量a与b的夹角为

,2,60（a|2|,1||),0bab则()．

3．与)4,3(a垂直的单位向量是(）．

)

5

3

,

5

4

.(A)

5

3

,

5

4

.(B)

5

3

,

5

4

.(C或)

5

3

,

5

4

()

5

3

,

5

4

.(D或)

5

3

,

5

4

(

4．若O为△ABC所在平面内一点，且满足OBO().OCB(,0)2OAOC则△ABC的形状为()．

A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D.A、B、C均不正确

5．（20XX年辽宁理）若a，b，c均为单位向量，且aba(,0,0)()cbc则||cba的最大值为

()．

6．（20XX年重庆高考题）已知向量),5,3(B),6,4(OOA且,OB//,C0ACOA则向量

C0

()

7．（20XX年安徽高考题）设向量),

2

1

,

2

1

(),0,1(ba则下列结论中正确的是()．

||||.baA

2

2

.baBbaC.与b垂直baD//.

8．（20XX年陕西高考题）在△ABC中，M是BC的中点，,1AM点P在AM上且满足PAPMAP则,2

)(PCPB等于()．

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二、填空题f5分x4=20分）

9．（20XX年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(BA、),7,9()2C、若E、F为线段BC的三等分点，

则FEAA

10．（20XX年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(baba),2与a垂直，则

11．（20XX年广东高考题）若向量cbxa),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(bac则

x

12．（20XX年安徽理）已知向量a，b满足)()2(baba,6且,2||,1||ba

三、解答题（10分×4=40分）

13．(1)已知,120,,1||,1||obaba计算向量ba2在向里ba方向上的投影．

(2)已知,4||,6||baa与b的夹角为,60求).2(ba)3(ba的值．

14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(Rtcba

(1)求||tba的最小值及相应的t值；

(2)若tba与c共线，求实数t的值．

15.如图2-3-2-7，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明：

16．平面内有向量)1,2(),1,5(B),7,1(OPOOA点X为直线OP上的一个动点．

(1)当XXA取最小值时，求

XO

的坐标；

(2)当点X满足(I)的条件和结论时，求AXBcos的值，