德惠高考
-
2023年3月17日发(作者：活性污泥)3.5正余弦定理（精练）（基础版）
1
．（
2022·
广西广西
·
模拟预测（文））在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，30B，sin1bA，
则
a
（）
A
．
1
2
B
．
1C
．
2D
．
4
2
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在
△ABC
中，
A=45°
，
C=30°
，
c=6
，则
a
等于（）
A
．
3
2
B
．
6
2
C
．
2
6
D
．
3
6
3
．（
2022·
四川
·
宁南中学）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，若
4a
，
3b
，
2
sin
3
A
，
则
B
（）
A
．
π
6
B
．
π
3
C
．
π
6
或
5π
6
D
．
π
3
或
2π
3
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角
,,ABC
所对的边分别是
,,abc
，已知
2,6,
3
abB
，则
A
（）
A
．
6
B
．
4
C
．
4
或
3
4
D
．
6
或
5
6
5
．（
2021·
宁夏
·
青铜峡市宁朔中学）在中，
a
、
b
、
c
分别为内角
A
、
B
、
C
所对的边，若
8a
，60B，75C°，
则
b
（）
A
．
42
B
．
43
C
．
46
D
．
32
6
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）
△ABC
的内角
A
､
B
､
C
的对边分别为
a
､
b
､
c
，若
a=4
，
b=3
，
c=2
，则中线
AD
的长为（）
A
．
5
B
．
10
C
．
5
2
D
．
10
2
7
．（
2021·
云南
·
丽江第一高级中学）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对边分别为
a
，
b
，
c
且
a
：
b
：
c=3
：
5
：
7
，
则
cosC___________.
8
．（
2022·
上海市奉贤中学）在ABC中，已知8,5,153abc，则ABC的面积S_______
．
9
．（
2022·
上海市实验学校高三阶段练习）在ABC中，内角
,,ABC
成等差数列，则22sinsinsinsinACAC
题组一正余弦定理公式选择
___________.
10
．（
2022·
上海市宝山中学）ABC的内角
A
､
B
､
C
的对边分别为
a
､
b
､
c
，已知
15
5,2,cos
16
acA
，则
b
________.
1
．（
2022·
四川达州
·
二模）在ABC中，
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
，2222sinbcAbca
，则
A
（）
A
．
6
B
．
4
C
．
3
D
．
2
2
．（
2022·
四川泸州
·
二模）ABC的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
sin3coscAaC
，
23c
，
8ab，则ab的值是（）
A
．
6B
．
8C
．
4D
．
2
3
．（
2022·
安徽马鞍山
·
一模）已知ABC的内角
,,ABC
的对边分别为,,abc，设
22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC，2sin2sin0AB，则
sinC
（）
A
．
1
2
B
．
3
2
C
．
62
4
D
．
6+2
4
4
．（
2022·
四川
·
乐山市教育科学研究所二模）设ABC的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
3
tantan0
cos
c
AB
aB
，则
A=
（）
A
．
π
6
B
．
π
4
C
．
π
3
D
．
2π
3
5
．（
2022·
广西
·
高三阶段练习）已知ABC中，
π
3
C
，
1
(2)cos
2
abcA，则
B
______.
6
．（
2022·
广西
·
高三阶段练习）在ABC中，2coscoscosbaBbAB
，
3
sin
3
C
，
3b
，则
c
的值为
____.
7
．（
2022·
吉林长春
·
模拟预测（理））已知
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
coscos
2
AC
abc
，
则
A=___________.
8
．（
2022·
上海市建平中学高三阶段练习）△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为角
A
，
B
，
C
所对的边．若
sinsinsin3sinabcBCAbC
，则
A
___________
．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）在
ABC
中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足
6
,sin6sin
6
abcBC
，则
cosB
___________.
题组二边角互化
1
．（
2022·
吉林
·
德惠市第一中学）在ABC中，内角
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
，
60A
，
2b
，
3
ABC
S
，
则ABC的外接圆直径等于（）
A
．
3
2
B
．
23
3
C
．
43
3
D
．
23
2
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，
a
，b，
c
分别是角A，B，
C
所对的边，若ABC的面积
222
4ABC
cab
S
△
，则C（）
A
．
3
B
．
2
3
C
．
3
4
D
．
5
6
3
．（
2022·
内蒙古赤峰
·
模拟预测（理））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的
“
三
斜求积
”
公式，设ABC的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，面积为
S
，
“
三斜求积
”
公式表示为
2
222
22
1
42
acb
Sac
.
在ABC中，若2sin6sinaCA
，2
216acb
，则用
“
三斜求积
”
公式求
得ABC的面积为（）
A
．
3
2
B
．
3
C
．
22
D
．
42
4
．（
2020·
全国
·
高三专题练习）已知ABC中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，若
422ac
，
tan7A
，
3
cos
4
C
，则ABC的面积为（）
A
．
47
B
．
27
C
．
14
D
．
7
5
．（
2022·
陕西
·
西安中学高三阶段练习（理））ABC的内角
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
.
已知
sinsinsin,coscos2bcBcCaAbCcB
，则ABC的面积的最大值（）
A
．
1B
．
3
C
．
2D
．
23
6
．（
2022·
天津市宁河区芦台第一中学）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
13c
，
3
C
，33
ABC
S，则ab___________
题组三三角形的面积
题组四判断三角形的形状
1
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）ABC的三边长分别为
4
，
5
，
7
，则该三角形的形状为（）
A
．没有满足要求的三角形
B
．锐角三角形
C
．直角三角形
D
．钝角三角形
2
．（
2022·
江苏
·
高三专题练习）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若coscBa，则这个
三角形的形状为（）
A
．直角三角形
B
．等腰三角形
C
．锐角三角形
D
．等腰或直角三角形
3
．（
2022·
内蒙古通辽
·
高三期末）ABC的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若222cos2coscbAbcA
，
则ABC为（）
A
．等腰非等边三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．等边三角形
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）已知ABC中，三内角
,,ABC
满足2=BAC，三边
,,abc
满足2bac
，则ABC
是（）
A
．直角三角形
B
．等腰直角三角形
C
．等边三角形
D
．钝角三角形
5
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，内角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，则
“
cos
cos
aB
bA
”
是
“ABC
是等腰三角形
”
的（）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
6
．（
2022·
西藏
·
拉萨中学高三阶段练习（理））在ABC中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，满足
coscosaAbB
，则ABC的形状为（）
A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰直角三角形
D
．等腰或直角三角形
7
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）若将直角三角形的三边
a
，b，
c
分别增加
1
个单位长度，组成新三角形，则
新三角形是（）
A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．无法确定
8
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角A，B，
C
的对边分别为
a
，b，
c
，若
cossincosbAcBaB
，
则
ABC
是（）
A
．等腰三角形
B
．等边三角形
C
．直角三角形
D
．等腰直角三角形
9
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在
△ABC中，若满足
sin
2
cos2
B
a
bA
，则该三角形的形状为（）
A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰直角三角形
D
．等腰三角形或直角三角形
10
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）ABC的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为,,abc
，已知
0cos2cos
3
2
2
AA
且
满足3abc
，则ABC的形状是（）
A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰直角三角形
D
．等边三角形
1
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）满足条件4a，
32b
，45A的三角形的个数是（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．不存在
2
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A
．10,45,70bAC
B
．
60,48,60acB
C
．5,7,8abc
D
．
14,16,45abA
3
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，
3a
，
3b
，
6
A
，则此三角形（）
A
．无解
B
．一解
C
．两解
D
．解的个数不确定
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）若ABC的内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c
，8010030abA，，，
则
B
的解的个数是（）
A
．
2B
．
1C
．
0D
．不确定
5
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，
3
A
，3a，若满
足条件的三角形有且只有一个，则边
b
的取值不可能为（）
A
．
3B
．
4C
．
22
D
．
23
6
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
，下列条件使
ABC
有两解的
是（）
题组五三角形解个数
A
．
2,1,30bcAB
．
8,45,65aBC
C
．
3;2,30acAD
．32,4,45abB
7
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）已知ABC的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
2a
，2b，
6
A
，
则满足条件的ABC（）
A
．无解
B
．有一个解
C
．有两个解
D
．不能确定
1
．（
2022·
陕西
·
模拟预测）已知ABC的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且60C，3a，
153
4ABC
S
△
，
则
AB
边上的中线长为（）
A
．
49B
．
7C
．
49
4
D
．
7
2
2
．（
2022·
内蒙古
·
霍林郭勒市第一中学）在
△ABC
中，
1
cos
3
BAC
，
AC
＝
2
，
D
是边
BC
上的点，且
BD
＝
2DC
，
AD
＝
DC
，则
AB
等于
___
．
3
．（
2022·
安徽安庆
·
二模（理））如图，在△
ABC
中，点
D
在边
AB
上，
CD
垂直于
BC
，
△A=30°
，
BD=2AD
，
53AC
，则△
ABC
的面积为
______.
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，33AB，
21CD，
14AD
，10BC，
A
，B均为锐角，则对角线
BD
___________.
5
．（
2022·
广东
·
深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，四边形ABCD内接
于一个圆中，其中
BD
为直径，
4AB
，
3BC
，
3
ABC
.
题组六几何中的正余弦定理
(1)
求
BD
的长；
(2)
求ACD△的面积
.
6
．（
2022·
河北廊坊
·
高三阶段练习）在平面四边形ABCD中，
,,4,3
62
ADBBDCBCDADCD
．
(1)
求
AB
；
(2)
求ABC的面积．
3.5正余弦定理（精练）（基础版）
1
．（
2022·
广西广西
·
模拟预测（文））在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，30B，sin1bA，
则
a
（）
A
．
1
2
B
．
1C
．
2D
．
4
【答案】
C
【解析】由正弦定理，得
sinsin
ab
AB
，所以
sin1
2
sinsin30
bA
a
B
故选：
C
2
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在
△ABC
中，
A=45°
，
C=30°
，
c=6
，则
a
等于（）
A
．
3
2
B
．
6
2
C
．
2
6
D
．
3
6
【答案】
B
【解析】由正弦定理得
sinsin
ac
AC
，
△a=
2
6
6sin45
2
62
1
sin30
2
.
故选：
B
3
．（
2022·
四川
·
宁南中学）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，若
4a
，
3b
，
2
sin
3
A
，
则
B
（）
A
．
π
6
B
．
π
3
C
．
π
6
或
5π
6
D
．
π
3
或
2π
3
【答案】
A
【解析】由题意可得
2
3
sin1
3
sin
42
bA
B
a
，则
π
6
B或
5π
6
B
.
因为
ba
，所以
BA
，所以
π
6
B.
故选：
A
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角
,,ABC
所对的边分别是
,,abc
，已知
2,6,
3
abB
，则
A
（）
A
．
6
B
．
4
C
．
4
或
3
4
D
．
6
或
5
6
【答案】
B
【解析】由正弦定理可得
sinsin
ab
AB
，则
3
2
sin2
2
sin
2
6
aB
A
b
.
题组一正余弦定理公式选择
因为
ab
，所以AB，则
4
A
.
故选：
B.
5
．（
2021·
宁夏
·
青铜峡市宁朔中学）在中，
a
、
b
、
c
分别为内角
A
、
B
、
C
所对的边，若
8a
，60B，75C°，
则b（）
A
．
42
B
．
43
C
．
46
D
．
32
【答案】
C
【解析】因为60B，75C°，所以180607545A，因为
sinsin
ab
AB
，
所以
3
8
sin
2
46
sin
2
2
aB
b
A
.
故选：
C.
6
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）
△ABC
的内角
A
､
B
､
C
的对边分别为
a
､
b
､
c
，若
a=4
，
b=3
，
c=2
，则中线
AD
的长为（）
A
．
5
B
．
10
C
．
5
2
D
．
10
2
【答案】
D
【解析】如图，由余弦定理得
AB2=DA2+DB2－
2DA·DBcos△ADB
，
AC2=DA2+DC2－
2DA·DCcos△ADC
，又
cos△ADB=
－
cos△ADC
两式相加得
AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即
22+32=2DA2+22+22，
△2DA2=5
，
△DA=
10
2
.
故选：
D
7
．（
2021·
云南
·
丽江第一高级中学）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对边分别为
a
，
b
，
c
且
a
：
b
：
c=3
：
5
：
7
，
则cosC___________.
【答案】
1
2
【解析】
::3:5:7abc
，
△
设
3,5,7abc
，
222925491
cos
22352
abc
C
ab
.
故答案为：
1
2
.
8
．（
2022·
上海市奉贤中学）在ABC中，已知8,5,153abc，则ABC的面积S_______
．
【答案】
12
【解析】
△
85153abc＝，＝，＝
，
△
根据余弦定理得
22222851534
cos
22855
abc
C
ab
＋＋
＝＝＝
，
△2
3
sin1cos
5
CC＝＝
△
113
sin8512
225ABC
SabC＝＝＝
，故答案为：
12
．
9
．（
2022·
上海市实验学校高三阶段练习）在ABC中，内角
,,ABC
成等差数列，则22sinsinsinsinACAC
___________.
【答案】
3
4
【解析】由内角
,,ABC
成等差数列，知：2BAC，而ABC，
△
3
B
，而由余弦定理知：222222cosbacacBacac
，
由正弦定理边角关系，得：222
3
sinsinsinsinsin
4
BACAC
.
故答案为：
3
4
.
10
．（
2022·
上海市宝山中学）ABC的内角
A
､
B
､
C
的对边分别为
a
､
b
､
c
，已知
15
5,2,cos
16
acA
，则
b
________.
【答案】
4
【解析】由余弦定理2222cosabcbcA
得2
15
544
16
bb
，
241540bb
，解得4b或
1
4
b
（舍去）．故答案为：
4
．
1
．（
2022·
四川达州
·
二模）在ABC中，
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
，2222sinbcAbca
，则
A
（）
A
．
6
B
．
4
C
．
3
D
．
2
【答案】
B
【解析】由2222sinbcAbca
得：
222
sincos
2
bca
AA
bc
，即tan1A，
0,A
，
4
A
.
故选：
B.
2
．（
2022·
四川泸州
·
二模）ABC的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
sin3coscAaC
，
23c
，
8ab，则ab的值是（）
A
．
6B
．
8C
．
4D
．
2
【答案】
A
【解析】因为
sin3coscAaC
，根据正弦定理得到：
sinsin3sincosCAAC
sin0A
故得到
tan3C0,
3
CC
再由余弦定理得到：
2
2
2222
1
cos
222
ababc
abc
C
abab
代入
23c
，8ab，得到6ab.
故选：
A.
题组二边角互化
3
．（
2022·
安徽马鞍山
·
一模）已知ABC的内角
,,ABC
的对边分别为,,abc，设
22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC，2sin2sin0AB，则sinC（）
A
．
1
2
B
．
3
2
C
．
62
4
D
．
6+2
4
【答案】
C
【解析】在ABC中，由22(sinsin)sin(22)sinsinBCABC及正弦定理得：22()(22)bcabc，
即2222bcabc
，由余弦定理得：
2222
cos
22
bca
A
bc
，而
0180A
，解得
135A
，
由
2sin2sin0AB
得
21
sinsin
22
BA
，显然
090B
，则
30B
，
15C
，
所以
62
sinsin(6045)sin60cos45cos60sin45
4
C
.
故选：
C
4
．（
2022·
四川
·
乐山市教育科学研究所二模）设ABC的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
3
tantan0
cos
c
AB
aB
，则
A=
（）
A
．
π
6
B
．
π
4
C
．
π
3
D
．
2π
3
【答案】
D
【解析】由题意知，
3
tantan
cos
c
AB
aB
，
3sinsin
coscoscos
cAB
aBAB
，
3
cossincossincos
c
AABBA
a
，
3
cossinsin
c
AABC
a
，
由正弦定理，得
3sin
cossin
sin
C
AC
A
，又sin0C，所以
3
cos1
sin
A
A
，
即
tan3A
，由0A，得
2
3
A
.
故选：
D
5
．（
2022·
广西
·
高三阶段练习）已知ABC中，
π
3
C
，
1
(2)cos
2
abcA，则
B
______.
【答案】
π
3
【解析】
△
1
(2)cos
2
abcA，
△
根据正弦定理得，
1
sin2sincossincos
2
ABACA，又
1
cos
2
C
，
△
sincoscossin2sincosACACBA
，
△sin2sincosBBA，
△B
是三角形内角，
△sinB≠0
，
△
1
cos
2
A
，
△A
是三角形内角，
△
π
3
A，
△
π
3
B.
故答案为：
π
3
.
6
．（
2022·
广西
·
高三阶段练习）在ABC中，2coscoscosbaBbAB，
3
sin
3
C
，
3b
，则
c
的值为
____.
【答案】
23
【解析】
△2coscoscosbaBbAB
，
△
根据正弦定理得，2sinsincossincoscosBABBAB
，
△sincos(sincoscossin)BBABAB
，
△sincossinBBC，
△
3
tansin
3
BC，
△B
是三角形内角，
△
π
6
B，由
正弦定理
sinsin
cb
CB
得，
sin3
23
1
sin
2
bC
c
B
.
故答案为：
23
.
7
．（
2022·
吉林长春
·
模拟预测（理））已知
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
coscos
2
AC
abc
，
则
A=___________.
【答案】
3
【解析】由正弦定理可知，
coscos
sin2sinsin
AC
ABC
，整理得
sincoscossin2sincosACACBA
即
sin()2sincosACBA
，sin2sincosBBA
因为sin0B，
(0,)A
所以
1
cos
2
A
，
3
A
故答案为：
3
8
．（
2022·
上海市建平中学高三阶段练习）△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为角
A
，
B
，
C
所对的边．若
sinsinsin3sinabcBCAbC
，则
A
___________
．
【答案】
3
【解析】结合正弦定理可得3abcbcabc
，即2
23bcabc，故222bcabc
，
所以
2221
cos
222
bcabc
A
bcbc
,
因为0,A
，所以
3
A
，故答案为：
3
.
9
．（
2022·
黑龙江
·
哈尔滨三中高三阶段练习）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，满足
6
,sin6sin
6
abcBC
，则
cosB
___________.
【答案】
1
4
【解析】因为
sin6sinBC
，所以由正弦定理得
6bc
，又
6
6
abc
，所以可得2ac，
所以
222222461
cos
2224
acbccc
B
accc
.
故答案为：
1
4
.
1
．（
2022·
吉林
·
德惠市第一中学）在ABC中，内角
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
，
60A
，
2b
，
3
ABC
S
，
则
ABC
的外接圆直径等于（）
A
．
3
2
B
．
23
3
C
．
43
3
D
．
23
【答案】
C
题组三三角形的面积
【解析】
1
sin3
2ABC
bcSA
，可得2c，由余弦定理得2222cos4abcbcA
，故2a，
由正弦定理得
43
2
sin3
a
R
A
故选：
C
2
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，
a
，b，
c
分别是角A，B，
C
所对的边，若ABC的面积
222
4ABC
cab
S
△
，则C（）
A
．
3
B
．
2
3
C
．
3
4
D
．
5
6
【答案】
C
【解析】由
1
sin
2ABC
SabC
，得
2221
sin
42
cab
abC
整理得：2222sincababC
由余弦定理得：2222coscababC
，即sincosCC，即tan1C
又
(0,)C
，解得
3
4
C
.
故选：
C.
3
．（
2022·
内蒙古赤峰
·
模拟预测（理））我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的
“
三
斜求积
”
公式，设ABC的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，面积为
S
，
“
三斜求积
”
公式表示为
2
222
22
1
42
acb
Sac
.
在ABC中，若2sin6sinaCA
，2
216acb
，则用
“
三斜求积
”
公式求
得ABC的面积为（）
A
．
3
2
B
．
3
C
．
22
D
．
42
【答案】
C
【解析】因为2sin6sinaCA
，所以26aca，即6ac，又2
216acb
，所以2224acb
，所以
1
36422
4
S，故选：
C
4
．（
2020·
全国
·
高三专题练习）已知ABC中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，若
422ac
，
tan7A
，
3
cos
4
C
，则ABC的面积为（）
A
．
47
B
．
27
C
．
14
D
．
7
【答案】
D
【解析】依题意
tan7A
，
3
cos
4
C
，所以A为钝角，
,BC
为锐角
.
22
sin
7
cos
sincos1
A
A
AA
，解得
142
sin,cos
44
AA
.
2
7
sin1cos
4
CC
.
由正弦定理得
14
sin
4
2,2
sin
7
4
aA
ac
cC
.
由
2
422
ac
ac
解得4,22ac
.
sinsinsincoscossinBACACAC
14327
4444
14
8
，
所以
1114
sin4227
228ABC
SacB
.
故选：
D
5
．（
2022·
陕西
·
西安中学高三阶段练习（理））ABC的内角
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
.
已知
sinsinsin,coscos2bcBcCaAbCcB
，则ABC的面积的最大值（）
A
．
1B
．
3
C
．
2D
．
23
【答案】
B
【解析】因为sinsinsinbcBcCaA
，所以222bbcca
，所以
1
cos
2
A
，
又0,A
，所以
3
A
，因为
coscos2bCcB
，所以
222222
2
22
abcacb
bc
abac
，所以2a，
由2222cosabcbcA
，得224bcbcbc
，所以
4bc
，当且仅当
2bc
时，取等号，
则
13
sin3
24ABC
SbcAbc
△
，所以ABC的面积的最大值为
3
.
故选：
B.
6
．（
2022·
天津市宁河区芦台第一中学）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
13c
，
3
C
，33
ABC
S，则ab___________
【答案】
7
【解析】
1
sin33
2ABC
SabC
，得12ab由余弦定理得2222coscababC
，即2213abab
可得21312349ab，故7ab故答案为：
7
1
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）ABC的三边长分别为
4
，
5
，
7
，则该三角形的形状为（）
A
．没有满足要求的三角形
B
．锐角三角形
C
．直角三角形
D
．钝角三角形
题组四判断三角形的形状
【答案】
D
【解析】因为222457
，由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形
.
故选：
D
．
2
．（
2022·
江苏
·
高三专题练习）在ABC中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若coscBa，则这个
三角形的形状为（）
A
．直角三角形
B
．等腰三角形
C
．锐角三角形
D
．等腰或直角三角形
【答案】
A
【解析】因为
coscBa
，所以由余弦定理可得
222
2
acb
a
ac
c
，即22222acba
所以222+cab
，所以三角形的形状为直角三角形故选：
A
3
．（
2022·
内蒙古通辽
·
高三期末）ABC的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若222cos2coscbAbcA
，
则ABC为（）
A
．等腰非等边三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．等边三角形
【答案】
B
【解析】由2
2cos2cos0cbAcbA
，可得2cos0cbA
，所以coscbA，所以
sincossinCAB
.
在ABC中，
sinsinsincoscossinCABABAB，故sincos0AB，
因为sin0A，所以cos0B，因为0πB，所以
π
2
B
，故ABC为直角三角形
.
故选：
B
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）已知ABC中，三内角
,,ABC
满足2=BAC，三边
,,abc
满足2bac
，则ABC
是（）
A
．直角三角形
B
．等腰直角三角形
C
．等边三角形
D
．钝角三角形【答案】
C
【解析】ABC中，
△
2BAC
且
ABC
，
△
3
B
，
将2bac
，
3
B
代入余弦定理2222cosbacacB
可得22
1
2
2
acacac
，
化简可得20ac，即
ac
，
又
△
3
B
，由等边三角形判定定理可知
ABC
为等边三角形
.
故选：
C.
5
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，内角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，则
“
cos
cos
aB
bA
”
是
“ABC
是等腰三角形
”
的（）
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
【答案】
D
【解析】在ABC中，由
cos
cos
aB
bA
结合余弦定理得：
222222
22
bcaacb
ab
bcac
，整理得：
224224acabcb
，即22222()()0ababc
，则
ab
或222abc
，ABC为等腰三角形或直角三角形，
即
“
cos
cos
aB
bA
”
不能推出
“ABC是等腰三角形
”
，而ABC为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，不能保证
有
cos
cos
aB
bA
成立，
所以
“
cos
cos
aB
bA
”
是
“ABC是等腰三角形
”
的既不充分也不必要条件
.
故选：
D
6
．（
2022·
西藏
·
拉萨中学高三阶段练习（理））在ABC中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，满足
coscosaAbB
，则ABC的形状为（）
A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰直角三角形
D
．等腰或直角三角形
【答案】
D
在ABC中，对于
coscosaAbB
，由正弦定理得：
sincossincosAABB
，即
sin2sin2AB
，
所以
22AB
或
22AB
即AB或
2
AB
.
所以ABC为等腰三角形或直角三角形
.
故选：
D
7
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）若将直角三角形的三边
a
，b，
c
分别增加
1
个单位长度，组成新三角形，则
新三角形是（）
A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．无法确定【答案】
A
【解析】由题意，不妨设
a
为直角三角形的斜边，故222abc
各边增加
1
，可得三边长为：
1,1,1abc
此时1a为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，
不妨设新三角形最大角为
故
222(1)(1)(1)2()1
cos
2(1)(1)2(1)(1)
bcabca
bcbc
由于
a
，b，
c
为三角形的三条边，故
bca
cos0
，又
(0,)
为锐角
新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形
故选：
A
8
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角A，B，
C
的对边分别为
a
，b，
c
，若cossincosbAcBaB，
则ABC是（）
A
．等腰三角形
B
．等边三角形
C
．直角三角形
D
．等腰直角三角形
【答案】
C
【解析】因为cossincosbAcBaB由正弦定理化边为角可得：sincossinsinsincosBACBAB，
所以sinsinsincossincossinsinπsinCBABBAABCC
，
因为sin0C，所以sin1B，因为0πB，所以
π
2
B
，所以ABC是直角三角形，故选：
C.
9
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在
△ABC中，若满足
sin
2
cos2
B
a
bA
，则该三角形的形状为（）
A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰直角三角形
D
．等腰三角形或直角三角形
【答案】
D
【解析】由正弦定理可得
sin()
sincos
2
sincos(2)cos
B
AaB
BbAA
，所以
sincossincosAABB
，
所以sin2sin20AB，所以
sin2sin22cos()sin()0ABABAB
，所以
cos()0AB
或
in0()sAB
，
因为
(0,)AB
，
(,)AB
，所以
2
AB
或0AB，所以
2
C
或AB，
所以ABC是直角三角形或等腰三角形，故选：
D
10
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）ABC的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为,,abc
，已知
0cos2cos
3
2
2
AA
且
满足3abc
，则ABC的形状是（）
A
．等腰三角形
B
．直角三角形
C
．等腰直角三角形
D
．等边三角形
【答案】
B
【解析】2
33
22cos12cos0cos2os
22
cAAAA
，解得
1
cos
2
A
，
3
A
，则
2
3
BC
，
△
3()abc，
△
由正弦定理得sin3(sinsin)ABC，
32
3sin()sin
23
CC
，
311
cossinsin
222
CCC
，
1
sin
32
C
，因为
2
0
3
C
，
△
333
C
，
△
36
C
，
△
6
C
，
2
B
，ABC是直角三角形、故选：
B
．
1
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）满足条件4a，
32b
，45A的三角形的个数是（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．不存在
【答案】
B
【解析】在ABC中，因为
4a
，
32b
，45A，
由正弦定理
sinsin
ab
AB
，可得
sin32sin453
sin
44
bA
B
a
，
因为
432
，即
ab
，则
0135B
有两解，所以三角形的个数是
2
个
.
故选：
B.
2
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）
A
．10,45,70bAC
B
．
60,48,60acB
C
．5,7,8abc
D
．
14,16,45abA
【答案】
D
【解析】对于
A
选项，45A，70C，65B，又10b，
由正弦定理
sinsinsin
abc
ABC
得：
2
10
52
2
sin65sin65
a
，
10sin70
sin65
c
，
三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；
对于
B
选项，60a，48c，60B，
由余弦定理得：2222cos3624,0bacacBb，
三角形三边唯一确定，
此时三角形有一解，不合题意；
对于
C
选项，
5,7,8abc
，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项
C
不合题意；
对于
D
选项，14a，
16b
，45A，
由正弦定理
sinsin
ab
AB
得：
2
16
422
2
sin
1472
B
，
ab
，45AB，
45135B
，B有两解，符合题意，故选：
D.
3
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，
3a
，
3b
，
6
A
，则此三角形（）
A
．无解
B
．一解
C
．两解
D
．解的个数不确定
【答案】
C
题组五三角形解个数
【解析】在ABC中，
3a
，
3b
，
6
A
，由正弦定理得
3sin
sin3
6
sin1
2
3
bA
B
a
，而A为锐角，
且
ab
，则
3
B
或
2
3
B
，所以ABC有两解．故选：
C
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）若ABC的内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c
，8010030abA，，，
则
B
的解的个数是（）
A
．
2B
．
1C
．
0D
．不确定
【答案】
A
【解析】由正弦定理知，
sinsin
ab
AB
，即
80100
sin30sinB
，解得
5
sin
8
B
，
又
(0,)B
，由三角函数性质知角
B
由两个解，
当角
B
为锐角时，满足
AB
，即存在；
当角
B
为钝角时，
39
cos
8
B
，
533915339
sin()0
828216
BA
，
则满足
AB
，即存在；故有两个解
.
故选：
A
5
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，b，
c
，
3
A
，3a，若满
足条件的三角形有且只有一个，则边b的取值不可能为（）
A
．
3B
．
4C
．
22
D
．
23
【答案】
B
【解析】由已知，
C
到直线
AB
的距离为
3
sin
32
bb
，所以当
3
2
ab
或
ab
时，即
23b
或
ab
时，
满足条件的三角形有且只有一个
.
所以对于
A
，符合
ab
，故三角形有一解；
对于
B
：当
b=4
时，符合
sin
3
bab
，故三角形有两解；
对于
C
：符合
ab
，故三角形有一解；
对于
D
：符合
3
2
ab
，故三角形有一解
.
故选：
B.
6
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）在ABC中，角
,,ABC
所对的边分别为
,,abc
，下列条件使
ABC
有两解的
是（）
A
．
2,1,30bcAB
．
8,45,65aBC
C
．
3;2,30acAD
．32,4,45abB
【答案】
D
【解析】选项
A.
由余弦定理可得222
3
2cos41212523
2
abcbcA
ABC的三边分别为
2,1,523bca
，所以满足条件的三角形只有一个
.
选项
B.45,65BC
，则
70A
,
由正弦定理可得
8
sinsinsinsin70
bca
BCA
所以
8sin458sin65
,
sin70sin70
bc
，ABC的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个
.
选项
C.
由
3;2,30acA
，则由正弦定理可得
3
6
sinsinsinsin30
bca
BCA
所以
21
sin
63
C
,
由
,ac
则AC，所以角
C
为一确定的角，且0300C
，
则角角B为一确定的角，从而边b也为定值，所以满足条件的三角形只有一个
.
选项
D.
作45B,
在B的一条边上取
32BCa
，过点
C
作CH垂直于B的另一边，垂足为H
.
则
3CH
,
以点
C
为圆心，
4
为半径画圆弧，
因为
432CHa
，所以圆弧与B的另一边有两个交点
12
,AA
所以
12
,BACBAC
均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个
.
故选：
D
7
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）已知ABC的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
2a
，
2b
，
6
A
，
则满足条件的
ABC
（）
A
．无解
B
．有一个解
C
．有两个解
D
．不能确定
【答案】
C
【解析】因为
22ab
，
6
A
，
由正弦定理可得
sinsin
ab
AB
，
BA
，所以
2
sinsin
2
b
BA
a
，
因为B为三角形内角，所以
5
66
B
，因此
4
B
或
3
4
B
，
若
4
B
，则
7
12
C
符合题意；若
3
4
B
，则
12
C
，符合题意；
因此ABC有两个解；故选：
C.
1
．（
2022·
陕西
·
模拟预测）已知ABC的内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且60C，3a，
153
4ABC
S
△
，
则
AB
边上的中线长为（）
A
．
49B
．
7C
．
49
4
D
．
7
2
【答案】
D
【解析】因为
ABC
S
113153
sin3
2224
abCb
，故可得5b，
根据余弦定理可得2222cos19cababC
，故
19c
，
不妨取
AB
中点为M，故1
2
CMCACB
，
故
221117
2cos259253
2222
CMCACBCACBC
.
即
AB
边上的中线长为
7
2
.
故选：
D
.
2
．（
2022·
内蒙古
·
霍林郭勒市第一中学）在
△ABC
中，
1
cos
3
BAC
，
AC
＝
2
，
D
是边
BC
上的点，且
BD
＝
2DC
，
AD
＝
DC
，则
AB
等于
___
．
【答案】
3
【解析】设
,DCxABy
，
因为
BD
＝
2DC
，
AD
＝
DC
，所以
3,BCxADDCx
，
在
ADC
中，由余弦定理可知：
2222241
cos
24
ACCDADxx
C
ACDCxx
，
在
ABC
中，由余弦定理可知：
2222249
cos
212
ACCBABxy
C
ACBCx
，
于是有
22
22
491
98(1)
12
xy
xy
xx
，
在
ABC
中，由余弦定理可知：
22222491
cos
243
ABCACByx
A
ABACy
，
题组六几何中的正余弦定理
22273412(2)xyy
，把
(1)
代入
(2)
中得，3y，
故答案为：
3
3
．（
2022·
安徽安庆
·
二模（理））如图，在△
ABC
中，点
D
在边
AB
上，
CD
垂直于
BC
，
△A=30°
，
BD=2AD
，
53AC
，则△
ABC
的面积为
______.
【答案】
753
4
【解析】因为
2BDAD
，设ADm，则2BDm，
在ACD△中，由余弦定理得2222cosCDADACADACA27515mm
，
在ABC中，由余弦定理得2222cosBCABACABACA297545mm
，
因为
CDBC
，即222BDBCCD
，于是得2210601504mmm
，解得5m，则15AB，
所以ABC的面积
11753
sin1553sin30
224
SABACA
.
故答案为：
753
4
4
．（
2022·
全国
·
高三专题练习）如图，在梯形ABCD中，//ABCD，33AB，21CD，
14AD
，
10BC，
A
，B均为锐角，则对角线
BD
___________.
【答案】
25
【解析】过点
D
作
//DEBC
交
AB
于点
E
，连接
BD
，
则10DE，12AE，
14AD
.
在
ADE
中，由余弦定理得
2221412105
cos
214127
A
，
在
ABD△
中，2222cos625BDABADABADA
，解得
25BD.
故答案为：
25.
5
．（
2022·
广东
·
深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，四边
形ABCD内接于一个圆中，其中
BD
为直径，
4AB
，3BC，
3
ABC
.
(1)
求
BD
的长；
(2)
求ACD△的面积
.
【答案】
(1)
239
3
BD
；
(2)
53
6ACD
S
.
【解析】
(1)
在ABC中，由余弦定理得：2222cos2524cos13
3
ACABBCABBCABC
，解得：
13AC
，
设R为ABC外接圆半径，由正弦定理得：
1313239
2
sin3
3
sin
3
2
AC
R
ABC
，即
239
3
BD
.
(2)BD为直径，
2
DABDCB
，
22
23
3
ADBDAB
，22
53
3
CDBDBC
，又
2
33
ADC
，
112353353
sin
223326ACD
SADCDADC
.
6
．（
2022·
河北廊坊
·
高三阶段练习）在平面四边形ABCD中，
,,4,3
62
ADBBDCBCDADCD
．
(1)
求
AB
；
(2)
求ABC的面积．
【答案】
(1)
2AB
；
(2)
3
=
2ABC
S
.
【解析】
(1)
因为BCD△为直角三角形，
,3
6
BDCCD
，
所以
3,23,
3
BCBDDBC
．
在
ABD△
中，
4,23,
6
ADBDADB
，
由余弦定理，得2222cos4
6
ABADBDADBD
，所以
2AB
．
(2)
由（
1
）知
2AB
，
23BD
，4AD，所以222ABBDAD，
所以
ABD△
为直角三角形，且
2
ABD
，
所以
5
236
ABCABDCBD
，故
153
sin
262ABC
SABBC
．