鸡兔同笼的公式
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2023年3月17日发(作者：意大利品牌)鸡兔同笼问题五种基本公式和
例题讲解
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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的
脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只
兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、
兔各是多少只？”
解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………
兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………
鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
（答略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的
总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只
鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷
（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总
脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷
（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）
÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，
可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）
÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=
不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣
分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得
分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多
少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个
不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产
了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡
不合格？”
解一（4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
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＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到
完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运
费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套
用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换
后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公
式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+
（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2
=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）
-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷
2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡
数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”
解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕
÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕
÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答
略）
鸡兔同笼
目录1总述2假设法3方程法一元一次方
程二元一次方程
4抬腿法5列表法6详解7详细解法
基本问题特殊算法习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500
年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五
头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的
意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，
有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几
只鸡和兔？
算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的
脚数）=兔的只数
（94－35×2）÷2=12(兔子数)总头数（35）－兔
子数（12）=鸡数（23）
解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的
脚就减少了头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以
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笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子
数。虽然现实中没人鸡兔同笼。
2假设法
假设全是鸡：2×35=70（只）
鸡脚比总脚数少：94－70=24（只）
兔：24÷(4-2)=12（只）
鸡：35－12=23（只）
假设法（通俗）
假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：
94-35=59（只）
然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔
倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：
59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）鸡：
35-12=23（只）
3方程法
一元一次方程
解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
x=24÷2
x=12
35-12=23(只）
或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=94
2x+140-4x=94
2x=46
x=23
35-23=12(只）
答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在
套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程
解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=35
2x+4y=94
（x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入（x+y=35)
x+12=35
x=35-12（只）
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"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出
现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以
转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设
法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.
例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，
244只脚，鸡和兔各有多少只
解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站
着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚
站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就
是
244÷2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数
相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩
下的就是兔子头数
122-88=34（只），
有34只兔子.当然鸡就有54只。
答：有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数
特殊算法
上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法
和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这
样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又
是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，
"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不
通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，
比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡
(88×4-244)÷(4-2)=54（只）.
说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。
而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡
脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚
2×88=176（只），比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公
式
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兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡
脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡
数，再用总头数去减，就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，
有人称为"假设法".
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，
两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅
笔各买几支？
解：以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有
11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个
头，280只脚。
现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.
利用上面算兔数公式，就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特
殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可
以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这
一设想，脚数是
8×(11+19)=240（支）。
比280少40.
40÷(19-11)=5（支）。
就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝
铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已
知数的特殊性，靠心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例
如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有
脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只"鸡",要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你
的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子。
例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独
打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，
因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了
多少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10
的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每
8
小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间
看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"
的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔
同笼"问题了。
根据前面的公式
"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
"鸡"数=7-4.5
=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78
岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父
的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的
3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公
元哪一年？
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之
和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以
把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头
数。25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄
的年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
(25-14)×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄
是
(40-10)÷(3-1)=15（岁）.
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉
有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，
有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来
考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。
利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。
再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.
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因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共
做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1
道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道
的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把
他们看作是对2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.
答：做对4道题的有31人。
以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，
244只脚，鸡和兔各有多少只？
以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，
那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去
鸡的只数，即（88-X）只。
解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。
4X+2×（88-X）=244
上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就
是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）
就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54
只。
答：兔子有34只，鸡有54只。