海伦定理
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2023年3月16日发(作者：油画风景画)海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦
（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris
Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
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注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的
公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地
导出答案。
证明（1）：
与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变
形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，
已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，
要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多
了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三
斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小
斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平
方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即
得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、
大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
当P＝1时，△2＝q,
S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
得
1/16[(c+a)2-b2][b2-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC
外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则
S△ABC
=1/2aha
=1/2ab×sinC
=1/2rp
=2R2sinAsinBsinC
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是着名的海伦公式，在希腊数学家海伦的着作《测
地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的证明
证一勾股定理
如右图
勾股定理证明海伦公式
。
证二：斯氏定理?
如右图。?
斯氏定理证明海伦公式
证三：余弦定理
分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。
证明：要证明S=
则要证S=
=
=ab×sinC
此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
恒等式证明(1)
恒等式证明(2)
证五：半角定理
∵由证一，x==－c=p－c
y==－a=p－a
z==－b=p－b
∴r3=∴r=
∴S△ABC=r·p=故得证。
二、海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形
内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边
形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA=eEB=f
∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○
∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD
∴===
解得：e=①f=②
由于S四边形ABCD=S△EAB
将①，②跟b=代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD=
所以，海伦公式的推广得证。
三、海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题
中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC=x
由海伦公式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2=27
x4－12x2－16x＋27=0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0
x=1或x3＋x2－11x－27=0
当x=1时，AD=BC=1
∴四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
dima,b,c,p,q,s
a=inputbox("请输入三角形第一边的长度")
b=inputbox("请输入三角形第二边的长度")
c=inputbox("请输入三角形第三边的长度")
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=(1/4)*q
msgbox("三角形面积为"&s),,"三角形面积"
在VC中实现
#include
#include
main()
{
inta,b,c,s;
printf("输入第一边n");
scanf("%d",&a);
printf("输入第二边n");
scanf("%d",&b);
printf("输入第三边n");
scanf("%d",&c);
s=(a+b+c)/2;
printf("面积为:%fn",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));
}
海伦公式