反演定理
死亡病例讨论模板-丙酮密度
2023年3月16日发(作者：企业概况怎么写)2020年第2期15
专麵侈作
—类麦比乌斯反演问题及其应用
刘志乐
(江西省吉安市第一中学,343000)
中图分类号:0156文献标识码：A文章编号：1005-6416(2020)02-0015-03
数论函数中的积性，是指若复值函数
/>0满足对于任意两个互素的正整数m、n,
均有
则称/■为积性函数.
麦比乌斯反演公式:对于任一正整数n,
设/'5)、g5)是定义在自然数集上的两个数
论函数，反演公式是/5)=
Y
g(d)当且仅
dn
当g(n)=乡)，其中，Y表示对n
dnaIdn
的所有正因数求和,“(n)为麦比乌斯函数，即
'1,"=1；
卩(")=•(-1)',”=P1P2…Pr,Pi为两两不同的素数；
.0,其他
从定义易知“5)为积性函数.
定义设/、g为数论函数，定义狄利克
雷乘积/*g:
(/*g)(n)=£/(d)g(询.
上面反演公式在数论及其他自然科学如
物理学研究中有十分重要的作用，且在密码
学和解析数论中应用非常广泛，本文主要介
绍其应用.
收稿日期：2019-06-03修回日期：2019-10-09
先看一个关于积性函数的应用.
例1证明：每一个正整数的所有形如
4k+1型的因子个数不少于4k-1型的因子
个数⑴
(1985,匈牙利数学竞赛)
证明对于每一个正整数用_/■(□)、
g5)分别记n的形如4k+lAk-型因子的
个数则/5)、g5)为定义在N上的函数,
并令D(“)=/5)-g(n).
题目要求证明:。5)三0.
若51,口2)=1，则结合Hj与n2的奇因
数，有
/5in2)=/5i)/52)+g5i)g(n2
)，
g(nln2)=g(s)/(“2)+/(5)g(«2)•
故D(n,n2)=/(
=/(“2)(/(5)-g5i))+
g(“2
)(g(^1)-/51))
=/(“2)-g(“2)D("1)
=D(ni)D(>2).
显然,0(2)=1.
可见,D&)为积性函数.
先计算D(p)(p为素数)，
r2,p=4k+1；
D(P)=",
[0,p=4k-1.
再考虑D(pJ・
16中等数学
(1)若Z为偶数，设Z=2n,则
D(p')=〃(p")=L
p=4/c+1
；
p=4k-1.
(2)若2为奇数，设Z=2n+1,则
D(pl)=D(p2n+1)=
2n+
2,p=4k+1；
0,p=4k一1.
无论什么情况，都有
D(Pl)^o(iez+).
综上,。5)MO.
例2记［幻表示不超过实数％的最大
n10=(n-l)10
设bn=a”-a”-,p(n)=n10-(n-1)10
.
利用麦比乌斯反演定理有
整数•设数列仏｝满足立ai-j=n10.若c为
i=1
正整数，证明：
c°°z.
n
(2018,土耳其数学奥林匹克)
证明引理yn10
证明根据定义an 注意到， 10 a”=n-2_1a|f| 2WiW"L」 1 210 引理得证. (1)若(c,n)=l,由 c°"-ca—-1), 结合欧拉定理，只要证明： e(n)I(a„-an_i)(»&Z+)• 定义a0=0.则 下面证明e(n)lc”(c”=，显然 Cl=1,满足0(1)IcJ. 若n=pk(p为素数)，贝g rkr(k-1)i/kkk- Cp*=P-p，e(P)=P-p• 显然,e(h)a*. 接下来证明c”为积性函数，也就是对于 整数P、q,(p,q)=l,有Cpq=CpCq. 又”卵% =尹)厲) mq mq 说“心川少僞)S 结合05)也为积性函数，知G5)ic ”. 从而，(n)16”. (2)若(c,n)>l,取其中一个公共素因子 P,利用引理得 rp(ca"-ca"-')=vp(ca"-')=a”“0p(c) >*(n-1)" 如果除去不互素的因子,剩下的结合情 2020 年第2期17 /5)={ 况(1),均有n(c°"-c0-1). 例3定义数列5宀，…，a”： 5=1,对 于正整数口>1,均有 a”=a肉+叫訝+…+a胃+1. 证明:存在无穷多个正整数口,使得 a”三n(mod22010). (2010,美国国家队拔考试) 证明定义a0=0,6„=a„-an_p 类似地,bn=an-a”-=Ybd. dn 则6”=/5)+»d，其中， dn d^n 1,n=1; 0,n1. 故26 ”-/(«)=Xbd- dn 由麦比乌斯反演定理得 bn=(2打-/(d)) =2執喈)吋-畑 据此式，由数学归纳法易得:若pk+'n, 则2讥 ”. 对于任意正整数m,选取m个不同的素 数P1，P2,…，Pm，由中国剩余定理，知存在正 整数仪使得 k+f=0(modp-)(1WiWm). 由引理得 ak^i~ak+i-=0(mod2'7)(1WiWm), 对于任意正整数N,取m>N+2心-1. 贝0存在正整数％和nek+N,k+N+l, •••/+N+2—-1｝,使得 a”三zi(mod2i_1). 由N的任意性，知n的取值是无限的. 例4设/、g为积性函数，则/*g也为 积性函数. 证明设h=f*g.则 h(mn)=工/(c)g(凹^(5/)=1). cImnC/ 令c=ab,其中9am9bn.则 =h(m)h(n)・ 利用上面结果，可解决下面这个问题. 例5定义数列｛a”｝满足£匂=2".证明： Jin nI色・ (第30届IMO预选题) 证明由麦比乌斯反演定理得 其中，/=2". 由于/、“均为积性函数,利用例4,可知 /*“为积性函数，于是，只需证明n=p(e6 Z+)的情况即可. 又ap-=Y彳引2d=龙(厂)2卅 =“(P°)2"+卩(p，)2P"'=2pe-2/_1 =2严(2宀严一1)=2严(2以刃-1), 利用欧拉定理，上面最后一式显然是//的倍 数，即"la“. 参考文献： [1]佩捷,王兰新等编著.从麦比乌斯到陈省身:麦比乌 斯变换与麦比乌斯带[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学 出版社,2014,2：17. [2]2010美国国家队选拔考试[J].中等数学,2012(8).