非线性方程
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2023年3月16日发(作者：复位电路)Newton迭代法求解非
线性方程
一、Newton迭代法概述
构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如
果能将非线性方程f
(
x
)
=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解
决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设
k
x是方程f
(
x
)
=0的一个近似根，把如果
)(xf
在
k
x处作一阶Taylor展开，
即：
)xx)(x('f)x(f)x(f
kkk
(1-1)
于是我们得到如下近似方程：
0)xx)(x('f)x(f
kkk
(1-2)
设0)('
k
xf，则方程的解为：
x̅=x
k
+f(x
k
)
f(x
k
)
́
(1-3)
取x
~
作为原方程的新近似根
1k
x，即令：
)x('f
)x(f
xx
k
k
k1k
,k=0,1,2,…
(1-4)
上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，
简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。方程：
)xx)(x('f)x(fy
kkk
(1-5)
是曲线
)x(fy
上点
))x(f,x(
kk
处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)
的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值
0
x的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。若
要保证初值在较大范围内收敛，则需对
)x(f
加一些条件。如果所加的条件不满足，
而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：
)x('f
)x(f
xx
k
k
k1k
,
,2,1,0k
(1-6)
上式中，10，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿
下山法。
牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算
)x(f
k
之外，还要计算
)x('f
k
的值。如果
)x(f
比较复杂，计算
)x('f
k
的工作量就可能比较大。为了避免
计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法：
1.割线法
如果用
1kk
1kk
xx
)x(f)x(f
代替
)x('f
k
，则得到割线法的迭代格式为：
)x(f
)x(f)x(f
xx
xx
k
1kk
1kk
k1k
(1-7)
2.拟牛顿法
如果用
)x(f
))x(fx(f)x(f
k
1kkk
代替
)x('f
k
，则得到拟牛顿法的迭代格式为：
))x(fx(f)x(f
)x(f
xx
1kkk
k
2
k1k
(1-8)
nson法
如果用
)x(f
)x(f))x(fx(f
k
kkk
代替
)x('f
k
，则得到拟牛顿法的迭代格式为：
)x(f))x(fx(f
)x(f
xx
kkk
k
2
k1k
(1-9)
二、算法分析
1.割线法
割线法的迭代公式为：
)x(f
)x(f)x(f
xx
xx
k
1kk
1kk
k1k
,k=0,1,2,…
割线法是超线性收敛，其程序流程图为：
2.拟牛顿法
牛顿拟迭代法迭代公式为：
))x(fx(f)x(f
)x(f
xx
1kkk
k
2
k1k
(1)对单根条件下，牛顿拟迭代法平方收敛，牛顿拟迭代法程序框图如下所
示：
(2)对重根条件下，此时
迭代公式修改为：
))x(fx(f)x(f
)x(f
mxx
1kkk
k
2
k1k
,m为根的重数
此时，牛顿迭代法至少平方收敛。
nson法
Steffenson迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。
三、牛顿法的程序
给定初值
0
p，用牛顿法格式
)p('f
)p(f
pp
1k
1k
1kk
，
,2,1k
，求解非线性方程
0)x(f
。
*********************************************************************
function[p1,err,k,y]=newton(f1041,df1041,p0,delta,max1)
%f1041是非线性函数。
%df1041是f1041的微商。
%p0是初始值。
%delta是给定允许误差。
%max1是迭代的最大次数。
%p1是牛顿法求得的方程的近似解。
%err是p0的误差估计。
%k是迭代次数。
%y=f(p1)
p0,feval('f1041',p0)
fork=1:max1
p1=p0-feval('f1041',p0)/feval('df1041',p0);
err=abs(p1-p0);
p0=p1;
p1,err,k,y=feval('f1041',p1)
if(err break, end p1,err,k,y=feval('f1041',p1) end ********************************************************************* 四、程序实例与计算结果 例用上述程序求方程0233xx的一个近似解，给定初值为，误差界为610。 解：先用m文件先定义二个名为和的函数文件。 functiony=f1041(x) y=x^3–3*x+2; functiony=df1041(x) y=3*x^2-3; 建立一个主程序 clear newton('f1041','df1041',,10^(-6),18) 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序，即： >>prog1041 计算结果如下： p0= ans= p1= err= k=1 y= p1= err= k=1 y= p1= err= k=2 y= p1= err= k=2 y= p1= err= k=3 y= p1= err= k=3 y= p1= err= k=4 y= p1= err= k=4 y= p1= err= k=5 y= p1= err= k=5 y= p1= err= k=6 y= p1= err= k=6 y= p1= err= k=7 y= p1= err= k=7 y= p1= err= k=8 y= p1= err= k=8 y= p1= err= k=9 y= p1= err= k=9 y= p1= err= k=10 y= p1= err= k=10 y= p1= err= k=11 y= p1= err= k=11 y= p1= err= k=12 y= p1= err= k=12 y= p1= err= k=13 y= p1= err= k=13 y= p1= err= k=14 y= p1= err= k=14 y= p1= err= k=15 y= p1= err= k=15 y= p1= err= k=16 y= p1= err= k=16 y= p1= err= k=17 y= p1= err= k=17 y= p1= err= k=18 y= ans= 这说明，经过18次迭代得到满足精度要求的值。 以下 是程 序运 行截图：